I 7 S>fo«. c.s £.£o 4 ■£>*> R E C U E I L DES PIECES QUI ONT REMPORTE LES PRIX DE L'ACADEMIE ROYALE DES SCIENCES. TOME HUITIEME. E C U E I L DES PIECES QUI ONT REMPORTt LES PRIX DE l/ACADEMIE RO YALE DES SCIENCES, DEPUIS LEUR FOND AT ION EN M.DCC.XX. TOM E HUITIEME. Qui contient une panic des Pieces de ij^Q, celles, de 1756 & I7S7j) & & rc fi e de celles de 1760. I. A P A R I S , Chez PANCKOUCKE , rue des Poitevins, a l'Hotel de Thou. M. DCC. LXXL v,v,. AVERTISSEMENT Au fujet des Pieces qui compofent ce VI1I C Volume. J /ans FAvertiflement que j'ai place a la tete du feptieme Vo- lume, publie en 1769, je rendis compte des raifons qui avoient fait intervertir Fordre chronologique des Pieces des Prix. Ce Vo- lume contenoit la Piece de M. Bernoulli, qui avoit remporte le Prix de 1753, ^ Lir ' a m 3niere la plus avantageufe de fuppleer a 1 aftion du vent fur les c^nds vaifTeaux. Celles de M. Euler. 8c de M. Mathon de la Cour, qui avoient eu ['AcceJJit , font les deux premieres de ce huitieme Volume. En 1754 le Prix ne fut point adjuge. La Piece de 1755 eft imprimee a part chez Delatour. En 1756 , FAcademie propofa la Theorie des inegalit.es de la Terre > la Piece de M. Euler eft la troifieme de ce Volume. En 17^7, M. Bernoulli remporta le prix fur le Roulis & le Tangage des vaifTeaux j fa Piece eft la quatrieme de ce Volume. La Piece de 175S , par le P. Frifi, a ete imprimee en Italic. En 1759, fur le Roulis & le Tangage, il y eut deux Pieces, Pune de M. Grognard , qui eft dans le Tome VII 5 Fautre , de M. Euler, qui eft la cinquieme de ce VHP Volume. En 1760, on propofa I'examen des alterations du moyen mou- vement des planetes > la piece de M. Charles Euler eft la fixieme de ce Volume j celle du P. Frili , qui eut YAccejJit , eft imprimee dans le fecond Volume du Recueil qu'il a donne en Italic La Piece compofee a Foccafion du Prix extraordinaire, fur les Verreries, eft dans le VIP Volume. En 1761 , il y eut deux Pieces fur FArrimage des VaifTeaux ? elles font dans le feptieme Volume. A V E R T I S S E M E N T. En 1762, M. l'Abbe Bofllit rcmporta le Prix , par fes Recker- ches fur les alterations que la rejtjlance de V Ether peut produtre d.:ns le mouvement moyen des Planetes , imprimees a parr en 1766 ; clles font jointes a ce Volume. La Piece de M. Jean- Albert Euler, qne l'Academie cita avec eWe , eft aulPi dans le Volume que nous publions aujourd'hui. Pour 1763 , l'Academie demanda la defcription des differentes methodes cju'on emploie pour 1'arrimage des vaiffeaux, & la ma- niere dc les perfectionner > le Prix ne fut point adjuge , il ne l'a ete qu'en 176^. En 1764, le Prix fut remporte par M. de la Grange, fur la libra tion de la lune. Cette Piece commencera le neuvieme Vo- lume , que nous efperons de publier inceflamment. La fondation du Prix de l'Academie , par M. Rouill£ de Meslay , ell une epoque interefTante dans 1'Hiftoire des Sciencesj elle a produit des recherches ineftimables fur les plus belles par- ties de la Phyfique Celefte & de la Theorie de la Navigation. Nos connoiflances fur les effets dc Pattraction font dues en grande partie a ce bel etabliflenrent 5 & il n'y a gueres de Recueil aulTi interefTant que celui que nous continuons de donner au Public. On fera peuc-ecre furpris que l'exemple de M. Rouille de Meflay nait determine perfonne a le fuivre , & a contribuer , par quelque etablifiemcnt de meme genre, au progres de nos Scien- ces. Ces etudes , auffi difficiles & aufl] rares qu'elles font curieufes & importantes , ont befoin de l'emulation & des fe cours que procurent de femblables inftitutions. A Paris , le pre- mier Avril 1771. DE LA LANDE. MEMOIRE M E M O I R E $ V R LA MANIERE LA PLUS AVANTAGEUSE D E SUPPLEER A L'ACTION DV VENT SUR LES GRANDS VAISSEAUX. Prefente a I'Academie aToccafion du Prix de 1753- Td/i remigio navisfe tarda movebat. Virg. ./Eneid. Liv. 5. Piix deijb3> IT | ■+ I # 4 *i .j TT-fH-tttJ *&1 *fj] ;', ++^vJV^^?^,._- + + + + IP :IW •<■++++++ +^++ *-***•* ^igQteigy^y.@.»^^y^fe^ M EM OIR E «5V.r la manure la plus avantageufe dc fuppleer a Faction da Vent fur les grands VaiJJeaux, DE PROMOTIONE NAV1UM SINE VI VENT I. §. I.LjUM vento ucinon licet adnavempropellandam, alia: vires non reliquuntur, prater eas, quas homines in nave verfantes prxftare valent. Primum igitur difpicien- dum erit , qua ratione homines ad quodvis opus applicari conveniat, ut maximum cffe&um producant. Determi- nari fcilicet opportetj quanta celeritas adtioni hominum tribui debeat , ut ex viribus , quas turn exercent , ma- ximus effe&us oriatur. Experientia quidem conftat , quo majori celeritate homo operetur , eo minorem vim eum exerere, nihilo tamen minus , cum effe&us non folum ex vi fed etiam ex celeritate , qua agit, arftitnandus fit, Aij 4 DePromotione navium etiamfi auda ejus cclericate vis diminuacur, tamen fieri poteft, uc inde major effedus exfiftat, qui, quo cafu omnium maximus evadac , hie primum definiendum vi- detur, quocumque enim modoa viribus hominum naves propelli pofTe deinceps deprchendemus, id Temper ma- ximo cum lucro efficietur fi adio hominum adjuftum celentatis gradum temperetur. §. II. Primum autem confideranda eft vis , quam homo quietus edere valet; qua: quidem non major eftcapienda, quam ut homo earn aliquamdiu fine nimia defatigatione fuftinere queat, exponatur hax vis pondere M, ita ut homo huic ponderi fufpenfo tenendo par fit. Hoc pon- dus fi ad experientiam fpedemus 70 circiter librarum conftitui poteft , feu arquale ponderi unius pedis cubici aqua:. §. III. Secundo loco fpedari debet maxima celeritas, qua homo vel currere vel membra fua vibrare five nimia defatigatione valet, tanta enim celeritate , fi homo adu movetur, nullam omnino vim exerere valebic, cum omnes ejus conatus in proprio motu confumantur. Sit igitur ifta celeritas— Vc leu debit* altitudini c> cum igitur ifta maxima celeritas cenferi pollit fex pedum uno minuto fecundo, altitudo huic celeritati debita erit y~^ P c dis. §. IV. Cum igitur homo, in quiete conftitutus, vi polleat=.M, motus autem celeritate —Vc omni vi deftituatur, videndum eft, quanta vis in eo fit futura, fi celeritate quacunque minore progrediatur. Exprimat v 1 v eeleritaeem minorem quam V c, fitque Q vis , qua homo in hoc ftatu erit prxdims, atque manifeftum eft Q ejufmodi efle debere fundionem ipfius v, ut, pofito v = , fiat Q =; M : fado autem v — c , prodeat (> = 3 quibus quidem conditionibus infinitis modis fatis fieri poteft , veluti fi ponatur : Q^=Myi — ~'J . §. V. Ad experientiam autem cafus videtur maxims accomodate fi ponatur n = i 6c m =s 2 5 ita uc fit SINE VIVENTI. celericace minore Vv latum, a fluvio propelletur vi —ff{ V c — V v ) z : jam ffc refpondet noftro M, unde obj^= - fie Q feu vis celeritati Vv refpondens = M §. VI. Ut hinc actionem Iiominis maxime lucrofam definiamus , ponamus , hominem ope axis in peritrochio datum pondus P elevarc debere i adhunc enim cafum omnes machinas utcunque pofitas reducere licet Sit ergo femidiameter cylindri = a , Sc longitudo Scytalx cui homo eft applicatus = r, homo autem procedat cele- ritate = Vv, erit celeritas , qua pondus P elevatur = * V v : vis autem hominis hac celeritate operantis eft = Af ( i — v Y' cujus moincntum Mr (i — —J jxquale eflb debet momento ponderis P renitentis , quod eft sa Pa j ita ut habeamus hanc xquationem ?a = Mr{ i — y c ); Qua determinatur flatus machinx. §. VII. Ex hac xquatione inventa elicimus 5 p — M Vv \z *t l -y7): Hinc ergo celeritas, qua pondus P aclu elevatur erit: Mr v-n , — ( 1 — — ) Vv. p \ VcJ Quam perfpicuum eft maxime pendere a celeritate V v j five enim !kv = o, five v == c, pondus plane non ele- vatur, quare necefie eft , cerium dari valorem pro Vv, t De Promotione n avium quo pondus citiflime elcvctur , atque hie ipfe ell gradus ille celeritatis , quo homo operans maximum effectum producere eft cenfendus. Ifte igitur vaior ipfiLis v per methodum Maximorum 6c Minimorum determina- bitur. §. VIII. In hunc finem ponamus v / v=^&\/c = e ita ut maximum reddi debeac ^ ( i — §•)* > cujus diffe- renriale nihilo aequatum prxrbetj d^(i — ^.j 1 — ~* (i — }) =o; unde elicicur ^ =\ e ideoque vV=-jVc; Celeritas ergo hominis maximo effeftui conveniens pre- cise eft pars tertia maxima; celeritatis cujus homo eft capax. Qux cum seftimata fit 6 pedum uno minuto fe- cundo, eric celeritas hominis efficaciflima duorum pe- dum pro uno minuto fecundo : ficque five homo cele- rius five tardius vires fuas impendac, debiliorem Temper effectum producat. §. IX. Cum fit Vv = j Vcerit v = ~c: ideoque AI- titudo huic celeritati maxima; lucrofe debita erit =y q £$ feu = ffj pedis j vis autem , quam homo, hac celeri- tate nitens excrcebit erit = | M. Unde fi M xftimetur 70 librarum , erit ifta vis = 33J libr. feu aiqualis pon- deri I pedis cubici aquas. Hax igitur determinatio latif- fime patet atque ad omnes cafus , quibus opus, quod- cunque viribus humanis perficiendum proponitur, ex- tendi debet. Omnes igitur Machinar, cujufcunque fint veneris, ita inftrui debent ut celeritas hominum asiitan- tium fingulis minutis fecundis bines pedes conficiat, five lit altitudo huic celeritati debita fit = ,-fj pedis. §. X. Hanc igitur regulam obfervari opportet in iis operationibus quibus navis vi hominum eft propellen- da , quod, quibus modis effici queat, nunc diligentius fum perfcrutaturus. §. XI. Quibufcunque autem viribus homo in nave conftitutus moliatur, nullam omnino vim ad navem propellendam exeret , nifi i;i objecta extra navem fita nitatur, dum autem navis in Alto verlauir, aliud objec-; SINE VI VENTi; -J turn externum , in quo homo vires fuas confumat , non occurrit prater ipfam aquam , nifi forte aerem quoque hue nnmerare velimus. §. XII. Omnes aiuem vires , qua: in hunc finem ab aqua peti pofiunt , ad duo genera refcrri obfervo. In aitero fcilicec genere eas complector vires, qua; a per- cufllone aqua: nafcuntur , quorfuin pertinent vires a remis oriundx , ad alterum autem genus refero vires , quas rea&io aqua: , dum ex receptaculo quopiam effluit, fup- peditat. Utrumque ergo genus hie ieorfim evolvam. 4fe De Pkomotione Navium -W>— '— ' 3JK- 1 W»— — vi^hJ/ — — — V^ SECTIO PRIMA. T)c virlbus ex pcrcujjlonc aqua oriundis, §. XIII. 1 AM ex Theoria quam Fxperientia fatis coti- ftat: fi fuperficies plana, qiiaefic ;equalisjf contra aquam dire&edmpingat celeritate altitudini v debita , fore vim aqua; arquaiem ponderi malPt aquea? , cnjus volumen fit —ffvi hanc ergo vim per ffv exprimam. Perfpi- cuum porro eft hanc vim eandem efte futuram ; five planum in aquam, five aqua in planum pari celeritate incurrat , five etiam utrumque moveatur , dummodg. celeritas relativa fuerit = Vv. I. Primus modus Navern propellendl §. XIV. Ex hoc jam principio fequentes modi navem Fig*?. propellendi obtinentur. Primum fcilicet ponamus; fu- perficiem vel tabulam planam FF, cups area=jf, in aqua horizontaliter agitari ope vetlis inrlexi A B G , qui ab hominibus fuper trochlea C horizontaliter promovea- tur; ubi quidem pcrfpicuum eft, hunc veclem , fi in prora applicetur attrahendo ad navem , fin aurem in puppi applicetur a nave repellendo , movere debere. Calculus autem perinde fe habebit five haec machina in prora, five in puppi adhibcatur. Notandum autem eft, cum ifte vcctis vel fatis fuerit attra&us vel protrufus , Tabulam , inclinando veftem , fuper aquam elevari de- bere, donee iterum ad novam a&ionem producendam aqua; immer2;atur. J. XV. SINE VI VENT I. t) §. XV. Quoniam autem hie imprimis ipfius navis motus ratio haberi debet , ponamus navem jam fecun- cundum directionem AB moveri celeritate = Vc : ta- bulam autem FF cum ve&e GBA in navi promoveri celeritate =>vV, qua; fi asqualis eflet celeritati navis Vc, nulla vis inde in navem redundarec, eatenus igitur tan- tum hinc vis ad navem propellendam orietur , quatenus eft vv> Vc, turn enim Tabula aquam feriet celeritate = Vv — Vc. §. XVI. Altitudo ergo huic celeritati , qua tabula in aquam impingic, debita erit (Vv — Vc) 1 -, ideoque vis, quam ab aqua fuftinet erit =ff(Vv — Vc) 1 , qua ta- bula aqiie ac ipfa navis fecundum direiftionem G H ur- gebiturj per hypothefin autem ha:c directio convenic cum dire&ione navis. Unde , fi vis ifta a:qualis fuerit refiftentia: , quam navis in aqua fuftinet , navis fuam celeritatem V c confervabit, fin autem ilia vis vel major fuerit vel minor quam refiftentia motus navis vel acce- lerabitur vel retardabitur. §. XVII. Quoniam autem potifllmum ad motum uni- formem attendi convenic , ponamus , navem jam cum aflecutam effe motum, quo ab hac vi impulfa unifor- miter proo;redi valet , ita ut refiftentia , quam navis ce- leritate Vc procedens patitur , xqualis fit vi invents ff{Vc — Vv) 1 -. Convenientius enim efFeftus virium de- terminari non poteft , quam fi ipfam celeritatem navi inde impreflam affignavero. §. XVIII. Quacunque autem figura navis fuerit prx- dita , femper exhiberi poteft fuperficies plana , qua? pari celeritate in aquam dire&e incurrens eandem refiften- tiam patiatur atque ipfa navis. Si igitur ifta fuperficies pro navi propofita vocecnr kk, quoniam navis celeri- tate Vc progreditur , erit refiftentia = kkc; unde erit kkc=ff(Vv — Vc)\ §. XIX. Hinc ergo celericas navis determinari potc- rit , quam vires , qu«x ad machinam noftram, celeritate Prix. jj$3. B io De Pro motioneN avium V.v afgicandani , requiruntur, navi ioducere valent. Ex- tracta enim radice quadrara eric kvc=jvv — fVc unde dictturVfl==sffi'j unde maqifeftum eft, quod quidem per fe eft clarum, eelericaeem navis Vc Temper minorem efle celeritate Vv 6c quidem in racione j ad §. XX. Videamus nunc , quot hominum vires ad hunc motum requirantur ; ponamus igitur n homines adhiberi , qui eum piwfcripta celeritate agere debeant , qua: fbrtafle diverfa erit a celeritate veclis V v ; qua; di- verlitas cum innumeris modis obtineri qucac : rem ita confideremus , ac ii machina noftra ope vectis A circa polum O mobibs agitetur, huicque ve&i in puncto 71/ vires hominum fecundum directionem Af /Veiient appli« cats. Sit igitur OA — a &.OM — x> erit celeritas vis motricis in M applieatae — ^- v . §. XXI. Sit nunc celeritas, qua quifque homo ma- ximo cum fucceflu agere inventus e[t=Ve; ita ut lit «=,-?f pedis, vis autem fingulorum hominum ponatur ^=.A, qua;, ut vidimus eft 33j librarum vel | pedis cu- bici aqua:. Oportet igicnr fit ' — "' = V e Sc quia vis omnium hominum in M applicata eft = nA , vis huic in puncto A xquivalens — "—?- , qua veclis A B G aclu retrahitur , qua; propterea acqualis efle debet vi aqua; relucfoncli=jf\Vv — Vc) 1 - feu vi refiftentix ■= M c. §. XXII. Tres igitur aflecuti fumus a:quationes: I. kkc=ff(Vv — Vc) 1 : five kVe=fVv—fVc. II. &£ ==')/«, III. s£ = (/Vv — Vc)K Harum fecunda dat %=?${ : qui valor in tenia fubfti- tutus prxbet : ^ =ff{V v —V c ) x = kk c : Hinc reperitur : Vv — <$£** & cum fit Vc = ffi crit cv / c — " ' ry ' inventa hinc celeritate Vc definietur locus applicationis virium Af per formulam ~ = ^'. S I K ' E V I V E N T I. 1 r §. XXIII. Ex hac formula patet , fi celeritas navis cum numero hominum comparetur, fore cubum cele- ritatis numero hominum proportionalem. Ut igiturnavi celeritas duplo major imprimatur numero hominum oiftuplo majore erit opus. Unde patet, celeritatem na- vis non ultra certum terminum augeri poffe, cum na- vis non nifi modici hominum numeri fit capax. Sin autem celeritas navis v'c cum quantitate/conferatur, patet fi fit /== ideoquev'c = ^-^ V A §. XXIV. Cum autem tabula major capi nequeat, quam ut ab hominibus regi pojfit : perfpicimm eft , quantitatem f non ultra certum limitum augeri poffe, qui limes a numero hominum ideoque a quantitate na- vis plerumque pendebit. Videtur igitur ftatui poffe f= h, ita ut fit: cV c = " i ' < ^' ; cubus ergo hujus ce- Jeritatis femiffis eft cubi celeritatis maxima;, unde ipfa celeritas tantum parte qujnta circiter deficiet a celeri- tate maxima ; quod difcrimen non admodum eft nota- bile. Sin autem accipiatur /"= z k , celeritas prodibit a celeritate maxima deficiens parte circiter oftava. Unde patet opere non effe pretium ut tabula tantopere ampli- ficetur. §. XXV. Conferamus etiam celeritatem navis Vc cum ejus rejiftentia abfoluta : ( quam area kk mens ure- mus,) ac manifeftum eft fore cVe ut^,feu cubum celeritatis reciproce effe proportionalem refiftentiac abfo- luta:. Hinc fi refiftentia abfoluta oclies fiat minor , ce- leritatem tantum duplo fieri majorem : unde patet, di- minuendo refiftentiam abfolutam parum notabile cele- ritatis incrementum inde refultare. §. XXVI. Imprimis autem obfervandum eft homi- nes, quos hie fumus comtemplati , non continuo vires iuas ad navem propellendam impeadere : quoniam , ad- Bij ii De Promotions Navium admota tabula ad navem , coguntur cam ex aqua extrahere, ac per aerem vibrando denuo aqua* immer- gere, qua* operatio duplo diucius durare cenfenda eit quam operatio in navis promotione confumpta , quo- circa celeritas navis fupra inventa V c non eft effectus n hominum fed fpeclari debet tanquam cnWhis 3 n homi- num. Dato ergo numero hominum, quihuic operi ap- plicants, ejusnumeri tantum pars tenia nobis valerem littera* n prxbebit. §. XXVil. Videamus jam, quanta proditura fit na- vis celeritas in quolibet cafu, fi homines modo effica- ciffimo operi admoveantur. Vidimus autem eiTe^ = -| ped. cub. & e = 7 fjped. omnibus igitur reliquis quanti- tatibus in pedibus expreflis , erit cVc ==■ ♦■/V-h = ' ,',,, , ^ . Unde celeritas maxima, qua: prodit fi 9 k k ( k -(— / ; J ' ^ = infin. cognofcetur ex formula cVc = j$\. Sufficiet autem celeritatem maximam affignaviffe, cum quolibec cafu, quo_/ rlnitum obtinet valorem, defectus a maxima celeritate facile acftimari poflit. §. XXVIII. Ponamus igitur pro navi non nimis ma- gna efle refiftentiam abfolutam ki = 50 ped. quad. & numcrum hominum operantium efle = 30 ita ut fit 72 = 10 j hoc ergo cafu habebitur cVc — -~- s unde alti- tudo celeritati maximx debita erit c = 0,075) ped. Unde conficiet navis uno minuto fecundo fpatium ij pedum, cui intervallo unius hora triens ferae milliaris germanici refpondet. Ut igitur eadem navis fingulis horis milliare germanicum abfolvat , viribus 8 1 o homi- num utendum eflet: vel manente hominum numero tri- ginta , refiftentia abfoluta X'£ad ifi ped. quad, diminui deberet. Tabula l §" XXIX. In hoc cafu expofito , quo n-= \o &£ F , s , 2 ,' H—50 fiet f== W = o, 888 = f Vires ergo ho- minum in ve&is O A pundo M applicari debent • ita ut lie AM = j M i & quo pluribus hominibus locus SINE VI VENT I. 13 operandi procuretur vecti in puncto M trabs tranfverfa- lis NN adjungi poteric , in quam urgendo homines vires fuas exerceant, atque hujulmodi rnachina tarn in prora quam in puppi conftitui poteric, fi quidem cir- cumftainiaz id permittanc. §. XXX. Hoc autem rnodo ingens fe orFert incom- modum , qiiando tabula ex aqua extrahi &c per acrem retrudi deberet, quoniam ad hancoperationem rnachina a vecte O A liberari , aliaque virium appliaatio inftitol deberetj huic autem incommodo occurri potcrit , fi ta- bula quafi feneftris fit inftruch, qua: , dum tabula at- trahitur, ciaudantur & aqua: vim excipiant. Sic enirrj tabula opeejufdem veftis O A in aqua removed pote- nt, quo motu, cum fcncftra" apperiantur, nulla fere refiftentia fentietur 5 quo continuo motu operatio Sc agt- tatio rnachina? fatis commoda reddetur. II. Secundus Modus Navem propellendi. $. XXXI. Hue pertinet quoque vulgaris remorum ufus, qui autem , cum jam fatis fit pertra&atus , turn vero in grandioribus navibus pluribus incommodis eft obnoxius, eum hie non attingam ; ejus vero loco pro- ponam machinam affinem , qua utrinque ad latera navis Tabula /. tabular FF ope axis incurvati DBCCBD in aqua &g-i- vibrantur, dum vires hominum parti CC applicantur , quimotus, ut fine intermilfione reciprocari poffit, ta- bula iterum feneftris inftrui poterunt. §. XXXII. Ponatur utriufque tabula" jundim fumta? fuperficies=jf ) quarum vis in punclis G excipiatun fit hujus pun&i ab axe rotationis DAB diftantia DG=za & axi curvati diftantia BC —x> progrediatur navis ce- leritate = Vc & tabular vibrentur in aqua celeritate vVj eric celeritas refpediva , qua tabula aquam percutit 14 De Promotion e navium —-Vv — V c. Hoc fcilicet locum babec, fi tabula fitum vercicalem tenet, in fitu enim obliquo vis aliquantum diminuetur, cujus ratio facile haberi poterit, etiamfi in calculo brcvitatis cratia neeligatur. §. XXXIII. Erit ergo vis aqua: in utramque tabu- lam = ff(Vv — Vc)-, qux ad navem propellendam impenditur, ut ergo navis celcritatem fuam Vc confer- vet , necefle eft, hanc vim refiftentix efle xqualcm. Pofita igitur refiftentia abfoluta = kk , oportet fie kkc^=~jf{Vv — \/c)'- feu Hc=fVv — /Vc. Ejuf- dem autem vis momentum refpectu axis DB eft = fa (Vv — V c ) * feu = /t £ a c , qua; a viribus homi- lniin fuftineri debet. §; XXXIV. Ponamus igitur n homines trabem CC impellere, & cujufque hominis eclcritate ve agentis vim valere A erit vis onmnium hominum = nA cujus mo- mentum ==mAx y quod ergo xquari debet kkac ita ut fit : nAx =■ kkac : unde prodit -f = ^ i prxterea autem efle opportet : V v : v e ■= a: x feu \ == %{. §. XXXV. Habemus ergo f «= £i = tif : unde fit Vv = *j[¥r 5 qui valor in xquatione k Vc =/Vv — fVc r feu fVv = ( k +/') \'c fubftitutus prxbet : "Y^ = (k *f) Vc unde elicitur cVc = ^u + /i • Q ux formula cum a fu- periori non difcrepet, paret five homines hoc modo ap- plicentur five modo prxcedente , navem utroque cafu pari velocitate promoveti. §. XXXVI. Ex reliquis ergo circumftantiis dijudicari opportebit, utrum hoc modo an prxcedente uti expe- diat j quin etiam nihil impedit, quomius uterque mo- dus fimul adhibeatur & ex pofteriori p lures hujufmodi machinas in navi iecundum longitudinem conftitui pof- fent. Quod fi fiat, notaudum eft id calculo, fummam omnium tabularum injf comprehendi debcre , parique modo n denotabit numerum omnium hominum , omnes machinas fimul ureentium; SINE VI VENT I. It III. Teriius Modus Navem propellendi. ;. §■ XXXVII. Si in Machina precedence Tabula FF circa axem A A omnino in gyrum agantur, feneftris non eric opus . ac ne, dura cabuLv peracrem vibrantur, vires hominum inutiliter confumantur, plures hujufmodi tabula: circa axem A A difponi poterunt, ut, dum alias ex aqua tolluntur alia: de novo immergancur. Hoc ergo modo vires hominum fine intermiilione ad navem pro- pellendam impenduntur neque tantum tercia pars ut in modis praseedencibus ufu venic , navem aclu propellere eric cenfenda. §■ XXXVIII. Neque camen numerum hujufmodi ra- diorum AG nimium augeri convenic, ne machina ni- misfiac complicata, aliifque navis deftinationibus adver- fetur. Ira commodillimum videcur , axem ucrinque quacernis tantum hujufmodi alis inftrui , perpendi- culariter inter fe difpoficis. Sic enim ne cormentorum quidem ufus impedietur, cum enim tormenra explo- dere opus fuerit , dato figno, axis A A in eo fitu po- tent decineri , ut bins alas in ficu vercicali , altera in horizontali ferventur. §. XXXIX. Pro hac machina calculus difficilior non evadit quam cafu precedence : cum enim axis A A fu- pra aquam elevatus efle debeat, dura una tabula FF in lieu verticali verfatur , reliquas tres utrinque fupra aquam eminebunt , illaque unica vim aquas eandem quam fupra definivimus excipiet , quando verum in fitum fatis obliquum pervenerit , ejufque vis proinde debilitata fuerit , turn alia ala aquas immergetur ficque jadura ilia compenfabitur \ ex quo efficicur ut tota vis perpetuo eadem fit proditura ac fi femper una ala fitum vercicalem teneret. Tabvla 1, Fk. 4. 1 6 De Promotione N avium §. XL. Denotabit ergo ff fupcrficiem duarum tabu- larum ut ante 8c a diftantiam centri cujufque tabulae ab axe A A , undc fi celeritas navis ponatur xqualis >Jc & celeritas gyratoria pundorum G circa axem A A = Vv erit visj quae perpetuo ab aqua excipiecur=jf(v'v — v'c) 1 , qua: rcfiltentix navis kkc xqualis polita dabit kkc *=ff\\'v — v'c)' feu (k -+-/) y/c=jy/v. §. XLT. Nunc autcm machina non amplius ope axis inflexi commode agitari poterit, fed potins conveniet axem A A verticillo D inltrui , qui a rota dentata hori- zontali E convertatur. Ipfa autem rota conjun&a fit cum axe verticali O , qui ope fcytalarum OAI ab homi- nibus in gyrum agatur. Quoniam igitur homines hoc pacto femper eandem refiftentiarri ofFendunt motu fem- pcr xquabili vires fuas exercere poterunt, quo iplo non contemnendum virium incremcntum impetrabitur, cum contra, quando motus ell inxquabilis non exigua pars virium in ipfius machinx motu tarn accelerando quam retardandoconfumatur, quin etiam homines hujufmodi a&ione xquabiic non tantopere defatigabuntur. §. XLII. Sit igitur hominum numerus = n qui cele- ritate v' e progredientes fcytalis O M in diftantia O AI = x ab axe O fint applicati 5 fingulique vi = A nitantur, deindc lit nnmerus dentium rotx E=p ; nume- rus autem bacillorum verticilli D — v. Dura igitur rota E femel circumagitur, verticillus D cum axe A A fa- ciet - revolutiones. Unde celeritas punclorum M > qui- bus homines funt applicati erit ad celeritatem puncto- rum G , qux aqux vim fuftinent ut x ad -a , ideoque habebitur V e ; Vv = x : t a feu — = tl, §. XLIII. Cum autem porro vires hominum cum vi aqux in xquilibrio efle debeant cxuniverfali xquili- brii principio, necefle eft, ut fit vis hominum, qux e{l = nA, ad vim aqux, quxeft^vV — Vc) z =kkci ut SINE VI VENT I. ¥7 lit celeritas punctorum G ad celeritatem pun&orum M, hoc eft uc vV ad Ve unde nancifcimur AAcVv=: n A^ e: atqui eft/V v = ( k -h/ ) v'cj ergo -)- = " k ',Yy c . Undo elicimus uc ante : cVc = Ik'fcp ,-• Quam celeri- tatem cum n homines navi imprimant , in pracceden- tibus autem machinis ad eandem celeritatem 3 n homi- nes requirantur, patet hoc modo cubum celeritatis na- vis ter fieri majorem ipfamque adeo celeritatem fere in ratione fefqui altera augeri. §. XL1V. Perfpicitur ergo , banc machinam iis, quas ante expofui , atque etiam folita: remorum aftioni longe, efle anteferendam , cum a pari homirium numero navi celeritas fere femilh* major induci queat, dum fcilicet ucrinque homines arquali vi operari ponuntur. Hoc au- tem commodum eo majoris momenti evadet , cum in hac machina homines perpetuo motu a?quabili agant cafdemque vires exerceant. Unde non contemnendum lucrum in totum efFedtum redundac. §. XLV. Quamobrem non dubito iftum modum na- ves propellendi pra: haclenus explicatis ad ufum prafti- cum commendare. Ac fi is nonnullis difficultatibus adhnc obnoxius videatur, eo magis in id crit incum- bendum , lit iis difficultatibus , quantum fieri poteft occurracur. Equidem non ignoro incommoda , quibus rota: huic machina: fimiles, cujufmodi jam fajpius ad naves propellendas funt propofita: , laborant : verum hate incommoda plerumque evanefcere confido , cum non totam rotam fed tantum axem ; quaternis utrin- que radiis inftruclum , adhiberi velimus , qua ratione nonfolum limplicitati confulitur , fed etiam tempefta- tes ipfiufque navis agitationes ufui hujus machina; vix quicquam nocitura; videntur. §. XLVI. Imprimis autem in ideft incumbendum , nt vires hominum maximo cum lucro applicentur 3 qux circumrtantia, fi negligatur, fieri utique poflet , ut hare machina confuecae remigationi poftponenda Prix. 1753. C i8 D e Pkomotione kavium viderctut. Hunc in finem actionem hominum maxim* cfficacem follicite inveftigavi , atqoe hie rotam dentatam in machina incroduxi , ut ; commodo dentium numero conftituto, fcytalis OAfejufmodi longitudotribui qncat, que quamplurimis hominibus excipiendis fatis fit ido- nea. Quin etiam axis verticalis OOO vel in fuperius vel in inferius pavimentum cbntinuari potelt, ut homines in duobus pontibus ad eum circumagendnm adhibcri queant. §. XL VII. Cam enim y/v = n -j-^; erit jj^ = — • Unde determinatio machina: aptiffima facile deducitur. Tribuatur enim fcytalis O M = x tanta longitudo , (" n A x quantam capacitas navis permittit , eritque 7 = YiTac Unde ratio rota: E ad verticillum D cognofcitur, qua; fi in praxi ob'ervetur , vel dummodo non nimium ab ea recedatur , machina erit ita perfefta ut ab iifdem viribus alio modo applicatis major effectus nullo modo produci queat. §. XL VIII. Ut rem exemplo illuftremus , ponamus navis refiftentiam abfolutam k k = ico ped. quad, qua: jam in grandiores naves competit. fitque numcrns hominum n — 100 : fit porro fumma tabularum aquam fimul percutientiumj^== 100 ped. quad. Hincque cum fit A = * & e = -|y, prodibit c v' c = o , 056 unde reperitur c = , 1464 ped Cui altitudini refpondct ecleritas, qua fingulis fecundis fpatium 3 pedum, ideo- que fingulis horis fere femiffis milliaris germanici con- ficictur. Unde facile coliigitur , quanta futura fit navis ecleritas fi vel plures homines operi admoveantur vel refiftentia navis abfoluta minor majorve exfiftat. §. LXIX. Ponamus porro fcytalarum longiiudinem x = 10 pedum Sc longitudincm A G — a = 20 ped. ac prodibit ratio - = fyff cujus valor proxime eft = |. Hinc fi vercicillo 10 bacilli tribuanturj rota 1 5 SINE VI VENT I. IJ dentibus inftruc>a effe debet , ficque machina ad praxin maxime videtur accommodata. IV. Quartus Modus Navem propelkndi. §. L. Ad fimilitudinem Molarum alatarum , qua: venco impelluntur, ejufmodi rota davi vei in Prora vel in Puppi applicari poceric, qux alis oblique pofitis in- ftrnfta & circa axem vibrata ab aqua vim excipiat ad navem propellendam idoneam. Cujufmodi machina , cum non folum fit nova fed etiam fingulari principio innixa, omnino digna videtur, uteffectum, quern prx- ftare caleat , accuratius inveftigemus i fortafle enim paucioribus dirficultatibus erit fubjecla , ita ut, fi vires iufficientes fuppeditaverit non fine infigni commodo in praxi ufurpari queat, quin etiam nihil impediret , quo minus fimul cum machina ante defcripta ad ufum adhi- beatur. §. LI. Sit imtur axis AB Prorx horizontaliter incum- bens, qui mltructus fit quatuor radiis AG, quibus ~ oblique affixx funt tabulae FF. Quod fi jam axis AB circumagatur vcl una vel dux tabula: fub aqua verfa- buntur , qux aquam oblique percutientes vim quoque obliquam ab aqua excipient qux refoluta dabit cum vim navem propdlentem turn etiam vim motui alarum refif- tentem. Sicque a determinatione hujus duplicis vis pen- debit machmx effe&us. §. HI. Teneat nnus radius AG fitum verticalem , ita ut nunc folus aqux fit immerfus , ac per punftum G , quod fit quafi centrum tabulx , exiftente diftantia A G = a \ & area tabulx —ff, facia concipiatur fe&io horizontals, in qua fit ab recta axi AB feu navis di- Fig. \ &■ rectioni parallela Sc Ff reprxfentet feclionem tabulx , cujus obliquitatisangulus aGF ka b Gj "ponatur = cp. Cij Tabula II. iO De PromotiomeNavium glottis tabula: circa axem AB ita fit comparatus ut punclum G feciindum dire&ionem GL ad ab norma- lem vibretur celeritate = V v. § LIU. Hinc fi navis quiefceret, tabula eandem vim fuftineret ac fi aqua: celeritate = V v in directione L G in tabnlam oblique impingeret, verum ponamus na- vem jam totum acquifivifle motum , quern ab hac ma- china imperrare poteft, efleqne ejus celentatem fecun- dum diredionem Gas=Vc. Unde idem refultabit ef- fechis , ac fi aqua celeritate V c in directione a G in ta- bulam impingeret. Capiatur Go. ad G L uc Vc ad Vv, & complete, rectangulo a. G L N diagonalis NG repra:- fentabit Sc diredionem 5c celeritatem , qua aqua in ta- bulam impingere eft concipienda. Cujus diredio, fi efTet in tabulam perpendiculars , inde oriretur vis = ff*NG 1 , cum autem aqua oblique in tabulam im- pingat fub angulo incidentix F G N vis ilia diminui debet fecund um rationem duplicatum finus iftiusanguli ficque vis aqua: in tabulam erit = ff NG- {fin. FG N)\ $. LIV. At in triangulo NGy elt NG: N 7 *=Jm. ayG : fln.FGN: unde fit N G fin. FGN = Nyfin. a.y G ; cum autem fit Ga. = Vc y (jZ = V vj & F Ga.=z$ erit : fin. a.y G= cof.

; «. y = tang

Vc) 1 : ut ante. §. LVI. Cum nunc hujus vis directio fit recta GH'm tabulam normalis , refolvatur ea in duas alias GJ&, GK, quarum ilia cum directione navis convenit, hxc vero acl illam fit normalis , erit igitur vis G J ^=fffin.

r f fin.

/ c. §. LVII. Altera autem vis GK, qua; eft==,-^" > Tabula II. tota motui machinae reluctatur , idcoque inftar oneris movendi fpeclari debet. Quare fi axi AB verticillus ut ante v bacillis inftruftus concipiatur annexus , qui ope rota; li dentibus prardita: moveatur. Rota: autem adjunc- tus fit axis in peritrochio , qui ab n hominibus fingulis ad diftantiam = x ab axe applicatis , in gyrum agatur. Unufquifque autem homo vi = A & celeritate — \/ e operetur, erit celeritas vis moventis ad celeritatem one- ris ut x ad 7 a j unde fit : Ve: V* = x: "-a f C u^=£. v y x re §. LVIII. Porro cum vis movens , qua? eft = nA> in acquilibrio efle debeat cum vi renitente 7^^ , ha; vi- res fuis celeritatibus v'e & y/v reciproce fint proportio- nales necefle eft i unde fit n A : -j-±~ v —Vv.Va ideo- b " que V v = nA,an ^Zi . Qui valor in fnperiori azqua* H' t ione (§. LVI.) fubftitutus dabit 21 De Promotione navium hkc — - = (.* -*■//"•

V e fin tf CvC= : k k k -\-ffin. ? V fin

unde vis hinc oriunda , qua aqua follicicatur xftimanda erit === — R j fie ergo aqua omnino ad motum impeliicur a viribus binis P 2c — R feu vi P — R, Hxc erg-Q vis xqualis t> 'qu; 1 elfe debet viribus Q, qua: fecundum prineipia niecha- nica ad motum aqua; producendum requiruntur, ita uc 6tQ = P — R. §. LXVIII. Hinc ergo vis reactionis R, feu ea vis, qua vas ab aqua ad motum follicitatur, determinari po- teritj erit enim R = P — Q. Unde cognitis cum viri- bus P, quibus aqua foliicitatur , turn viribus Q, qua: ad ejus motum producendum requiruntur , facillime deiinirur vis reaclionw aqux , qua: alias per prineipia indirecta ac ratiocinia non parum perplexo, determinari folet. §. LXIX. Quoniam qiiovis cafu vires P fponte pa- rent, qucmadmodum vires Q determinari debeunt in- veftigabo , qua: quidem ex confideratione motus aqua: deducendx funt. Si enim aqua ftagnaret, tunc utique effet Q = o ; foretque ideo R — P. Hoc fcilicet cafu vas eafdem vires fultinet , quibus aqua urgetur , & ob gravitatem aqux deorfum premetur vi ipfi aquxponderi xquali , ac l\ aqua a prxtcrca quapiam vi premere- tur, tunc vas ipfam hanc vim quoque cfiet experturum, quod quidem per fe eft perfpicuum. §. LXX. Ut igitur in genere vires Q pro quovis cafu Tabula II. determinem , contemplabor tubum figurae cujufcunque Fig. 8. E E F F, ex quo aqua effluat per orificium F F, cujus amplitudo =jf. Tubum autem in calculo quafi infi- nite anguftum concipio, ita ut aqua per ilium moveatur fecundum fe&iones M N & mn ad tubum perpendicu- lares ■, calculo autem expedito patebit amplitudinem tubi penitus egredi , ita ut concluliones etiam pro tubis utcunque amplis valeant, Prix de ij!>3. D 2 6 De Promotione Navium §. LXXI. Ponamus autem nunc , aquam per oriri- cium FF erumpcre celeritate =v / vj elapfo autem tempufculo dt, celeritatem aqua: efie v* {v •+• dv) = v'v-h ^- v ; ita utv'v futura fit fun&io quxpiam tem- poris t , cujus etiam funcHo erit jf feu 1 d d ^ y - v . . LXXII. Sit nunc in loco tubi quocunque M cujus amplitudo = ^ = MN, eritque aqua; celeritas in fec- tione AfN =¥£-■. Hac celeritate aqua in MN tem- pufculo dt conficiet fpatiolum Alm= ff, ' v " . Turn au- tem ejus celeritas erit^Jp 1 -+- d^fij feu erit ^ISLz+x&Ls — i rrj, v - ; {-fee ergo variatio celeritatis nonfolum pen- det a variabilitate celeritatis vV, fed etiam a diverfi- tate amplitudinis tubi. Quaternus ergo quxlibet parti- cula aqua; in feftione MN contenta vel motu accele- rato progreditur feu retardato vcl etiam a. tramite recto deflecTiere cogitur, eatenus viribus opus erit ad has mu- tationes producendas. §. LXX1II. Rcferamus hxc ad axem fixum vertica- lem AB per applicatas horizontales P M & pm, fit- que a puncto fixo A , abfciffa AP = x & applicata PM=y. Concipiatur guttula quspiam in fectione M./V contenta, cujus mafia fit dM: Atque ex princi- piis Mechanics: conftat , fi elementum temporis capia- tur conftatis , ad motum hujus guttula; requiri duas vires M y, 8c Mi, illam verticalem , hanc vero hori- zontalem ; ita ut fit : ,,. ,- idMddx idMddy Vis Mp= -T-, — : &: Vis Mi = — — y . at- d t 1 §. LXXIV. Ponatur elementum Mm = ds , quod guttula tempufculo dt abfolvir, quod, quia fit cele- ritate ^-V_ , erit ds = £^p. Sit prarerea angulus incli- nations /?zM^=/

y; Dn Promotione Navium ffVv . _ ^. drcof,tf _

&c cum axis A B pofitio a lubitu noftro pendeat fiat y hie = o feu fit A E = o. Hinc ab initio EE incipiendo fiet: fMn «o=i+z/4/-^'i 5c/Mv = o =B+if v f ^ $. LXXXI. Hinc ergo fit A = — 2 / * v ~ &B=-rv r -. stl /i a J dv r, eol -" > SINE VI VENT I. 29 Hinc vires ad motum aqua: E E MN rcquifita: erunt : ffdv ,,, fcof.il> cof.t\ „ Vis verticahs M/i^j^ x+*f*v (— — -£- J & Vis horizontals Mi = jjy v y ■+• 2 / 4 ^ — —J . Extendamus has vires, per totum tubum. Ponatur ergo tota alcitudo A B = a & horizontals £F=; = h Sc

turn has vires fore : Vis verticalis Ma= 2 f* v ( -77 — ) & Vis horizon talis Mv= zf^v^-j? — ) §. LXXXIII. Prsterea notari debet, has vires neque a figura tubi neque ab ejus amplitudine pendere, fed tantum per fecliones extremas E E Sc FF una cum carum inclinationibus e & £ determinari. Hinc patet, etiamfi in calculo amplitudinem tubi tanquam infinite parvam fpe&averim , tamen has determinationes ad tu- bos vei cafa cujus cunquc figura: arque pertinere. §. LXXJXIV. Inventis nunc viribus Q , contemple- 30 De Pr O MOT I ON E N AV IUM lvuir vires P , quibus aqua a£hi follicitatur ^ ac primo quidem occurrit gravitas aqua: cujus pondus littera M indicemus ; hinc ergo P in fe comple&etur vim ver- ticalem M deorfum tendentem. Prxterea ponamus , a:quam impelli a quadam vi V fecundum directioncm VT, qua: ad fupremam fe&ionem EE fit normalis , qua: cum ad vercicalem inclinetur angulo t , inde orie- tur vis verticalis fecundum M/x = V cof. i & vis hori- zontal fecundum My V~ fin. t. Omnino ergo P conti- nebit vim verticaiem fecundum M : u = Vcof. i 8c vim horizon ralem fecundum Mi = V fin. e. §, LXXXV. Hinc ergo vis rea&ionis aqua:, feu vis, quam vas ab aqua fuftinet, definietur; cum enim in- venta fit ha:c vis R=P — Q, hxc vis duas vires in fe comple&etur alteram verticaiem fecundum M/*: Qua: em = AT-*- VcoU— -f— — wW-ii — . -I.) ■> d tV v J \ ff [e e / Alteram horizontalem fecundum Mi , QT.r r bffdv /fati Ji"-'\ §. LXXXVI. Quod fi jam hujufmodi vas cum aqua effluentc navi adjungatur, ipfa quoque navis has vires fufirinebit, ac prior quidem vis verticalis Mfx. nihil con- feret ad navem movendam , unde tantum vis pofterior ad motum navis imponditur, ficque navis propeileretur fecundum direclionem Mi vi bffdv ffin.t, fin.*\ Verum cum vis V in ipfa navi exerceaturobrenitentiam ipfi xqualem iterum deftruitu:, unde navis fecundum direclioncm MP propelletur vi bffdv / fi„.t, fini\ dTVv + ^f V V— — 77 > sine vi vent i. 31 Ac fi motus aqua: fe jam ad uniformitatem compofueric eric d v = o Sc vis navem propellcns eric = z f* v (finX /&*_< ~\ §. LXXXVII. Quo nunc hsec vis maxima reddatur, navifque quam fortilfime propellatur, angulus e ita con- ftitui debet ut ejus finus non folum evanefcac fed etiam fiat negativus & quidem maximus quam fieri poteft, fieri ergo debet angulus c = — 5)0° , deinde manifeftum eft angulum I commodiilime ftatui = 90° ut fit _ ,, . & >> . . j- u u u- c Tabula 11. fin. Q=-^ x quare vas Jiujus modi habebit nguram , ut Fi(7-9 _ tarn fupra quam infra definat in tubum horizontalem utrumque in eandem plagam fpectantem , eritque hoc cafu vis navem propellens =, tf* v (^-t- £) §. LXXXVIII. Hxc ergo vafis conftitutio &. aptiffiv Fig. 9. ma ad propulfionem navis, verum fi aqua fuper ne nulla vi adigatur , fuprema fuperficies ee erit horizontnlis ideoque angulus e — 0. Unde hoc cafu vis navem pro- pellens , fi quidem aqua per foramen FF horizontaliter effluatjUtfit £=5)0°, erit = if*vf- f = iffv ; qua; ergo vis reaclionis aequatur duplo cylindro cuius bafis eft foramen FF & akitudo ajqualis akitudini celeritati debita: v. LXXXIX. Verum hie opus eft celcritatem noflt qua aqua quovis cafu per foramen F F eft eruptura , qua: etfi facile definitur, cum motus ad uniformitatem fuerit perduclus & quad per experientiam confter , tamen , quoniam hie jam prscipua Hydraulics fundamenta jeci ; non abs re fore arbitror , fi etiam modum ipfam celeritatem determinandi ex Theoria propofuero. §. XC. Ad hoc confidcrari debet ftatus comprefiionis aqua: in quovis tubi loco. Quamquam enim aqua in minus fpatium fe cogi non patitur, tamen comparari poteft cum eo ftatu , quern aqua ad diverfas profundi- tates obtinet; hinc ftatum compreffionis per akitudinem Tjbula II. 31 Oe PrOMOTIONE NAVltfM defignabo , vel potius profunditatem , ad quam aqua ftagnans in pari ftatu compreflionis repericur. §. XCI. Exponatur ergo flatus compreflionis aquae in fectione .MTV" per altitudinem/?, five hie aqua in eodem fit ftatu, ac fi columnaaquea altitudinis== d imminerct. Hinc ergo aqua circa fectionem MN, quam fupra pofui =■ {{ , propelletur v\==p^. Simili autem modo in fectione mn ftatus compreflionis erit p-\-dp, unde ori- tur vis , abs qua aqua anterior mn F F propellitur, pof- terior vero repelLitur. §. XCII. Elemeritu'm igitur aqua: MNmn ad bafin M N propellitur v\=p\\ ad alteram vero bafin mn repellitur vi = (/» ■+- dp) (^ •*- 1 ^d ^). Qua: vires client in aquilibrio fi rationem bafium tenerent, hoc eft ii eflet: PU : (/'->-^)({T-t-iT^7) = ii • n*' 7 -K d t Hoc ergo aqua: elementum eflet in a-quilibrio fi eflet dp = o. Si ergo dp non eft = , hoc aqua: elemcn- tura achi repelletur vi = dp (f{-+- » {^{) ^ = IK^P' §. XCIII. Pratcrea autem hsec aqua, quia eft gravis, dcorfum nititur fuo pondere = \\ds ; unde ob gravi- tatcm hac aqua fecundum dircctionem tubi Mm pro- pelletur vi = \\ds cof,

erit o = a — £4\r: F — v -t- C. Unde conftans C determinatur; ficque pro loco tubi quodcunque M ftatus compreflio- nis erit: §. XCVII. Exprimat altitudo C ftatum compreffionis in feclione fuprema E E erit : C = — a ■+■ l ( — f* ) -*- j"fy I F. Tota ergo vis, qua fuperficies aqua; EE propellitur , eric = C ee ; qua; ergo vis a;qualis efle de- bet vi fupra in calculum indu&a; V ita uc fit C=f t j unde obtinemus hanc a;quationem : Prixde 1753. E 34 De Promotione navium Ex qua celeritas v poteric determinari feu celeritas \ ad quodvis cempus determinari. §. XCVIII. Integration! hujus arquationis, quia nihil habet difricultatis, non immoror, fed tantum obfervo, cum motus perductus fuerit ad uniformitatem , quod plerumque fatis cito'fieri folet, ccleritatem , ob dv = o, hac xquatione determinari: v==(— Hha) : (: — £.). $. XCIX. Hinc igitur patet, fi amplitudo fupcrior EE multo major fuerit quam foramen FF celeritatem aquae per FF effluentis debitam fore altitudini v, ut fit v = a ■+- j- c . Ac fi vas fupra fuericapercum, neque ulla vi ^urcreatur fore v = a , fcilicet aqua effluec celerita- te, qua: eric debita altitudini a:quali alticudini aqua: in vafe fupra foramen. I. Primus Modus Navem propellcndi. ,„ «. C Conftituatur in Puppi navis vas amplifTimum Tabula III. . 3L _ „ , ' • • i r Fig. io. A E F B , quod aqua jugiter plenum lervetur, ex quo aqua horizontalitcr effluat per foramen FF=jf, fit- que altitudo aqux fupra hoc foramen E F—a, atque ut vidimus aqua erfluet celerirare y/v — 'Ja. Vis igitur rea&ionis aqua: fecundum direftionem horizontalem eric = z/fv= zffa> uti in §. LXXXVIII eft often- fum. §. CI. Tanta igitur vi navis a&u propelletur, unde fi navis jam celeritate = V c progrediatur, ejufque refif- tentia abfoluta fuerit = k k , ita ut refiftentia ipfa fit = kkc, neceffe eft ut fit kkc — iff a, fi Iquidem motum navis jam ad uniformitatem pcrvenifie ponamus. Hinc ergo ex datis quantitatibus a,ff& kk celeriias * SINE VI VENT I. 3c navis ita erit comparata ut fie c= ^p feu ipfa celeri- tas eric Vc = C-V z a. §. CII. Cum autem conftanter tantumdem aqux fu- pernx in vas affundi debeat , quantum per foramen effluit , videndum eit , quantum aqux fingulis minutis fecundis per foramen efflnat. Ponamus igitur , grave minuto fecundo cadere per altitudinem /, ac fi aqua efflueret celeritate VI uno minuto fecundo prorumpe- ret volumen aqux = 2///- Quare cum aqua effluat celeritate = V a , quantius aqux fingulis minutis fecun- dis elapfx erit= iffVal: hinc fingulis minutis fecun- dis perpetuo tantumdem aqux fupra in vas infundi debet. §. CIII. Qux aqux , cum ex mari hauriri , atque ad altitudinem tanto majorem , quam eft altitudo vafis a elevari debeat , quanto magis ipfum vas fupra aquam fuerit elevatam hoc fine difpendio virium fieri nequit. Sit altitudo vafis fupra aquam F O = i , atque tantis viribus opus erit , qux fufficiant quantitati aqux = 2//V a I fingulis minutis fecundis ad altitudinem a-i-i elevandx, altitudo autem FO = i tanto major accipi debet j quo magis navis a fluclibus agitatur, ne- ceffe enim eft ut foramen FF femper fupra aquam emi- neat. §. CIV. Ponamus igitur ad hoc n homines adhiberi, qui finguli celeritate v ' b agant & vim = A exerceant. Quilibet ergo homo fingulis minutis fecundis onus =A promovebit per fpatium =iV ' b L Unde efFe6tus unius hominis uno minuto fecundo editus xftimandus eft = 2 AV b I & efFectus n hominum = 2 nAVbl. Qui cum xqualis effe debeat efFectus eodem tempore prxf- tando , quo madam aqux zJJVal ad altitudinem [a-i-i) attolli opportet, fequentem obtinebimus xqua- tionem. 2 (a-t- i)ff>/ al== 2 nAVb /, feu ( a ■+■ i ) ffV a = n A V b. Eij 36 De Pro motion eNavi uim §. CV. Hinc non determines utrum homines imme- diate aquam hauriant an ope cujuspiam machina?, fern- per enim idem obtinetur effeetus , ii quidem homines pari celeritate operentur. Machina autem, fi qua uti videatur , ita comparara efle debet , ut homines ea ce- leritate V b , qua- fupra commodiliima eft oftenfa, agere qneant. Quod , qunmodo efficiendum (it , ex iis , qua: fupra de conftitutione machinarum funt expofita , non difficulter colligere licet. §. CVI. Ex aequatione igitur inventa nancifcimur amplitudinem foraminis ff= ,— — : > unde alticu- 1 JJ {a-^-ijVu do celeritati navis debits reperitur c = — — —^-.. Hie l kk [a -(— i) quantitates n, A , b, kk, 6c : funt data: ac fola altitudo vafis a arbkrio noftro relinquitur ; quam ergo dehniri convenit , ut navis maximam celeritatem adipifcatur ; expreflio igitur . maxima eft reddenda, quod evenit fi ftatuatur a = i unde fit c = 7-7 [/ — . §. CVII. Applicemus hoc ad cafum navis fupra (§. XL VIII) confiderata: , fitque A-£=iqo,/z=ioo, A = i & b = -,* j , ac tribuamus altitudini i quantita- tem 5 pedum , ut fit i = 5 > hinc ergo eruitur c = 0,050283, cui refpondet celeritas fere ij pedis in minuto fecundo. Machina autem fupra adhibita navem ab eadem celeritate fere duplo rtiajbri propelli vidimus. Unde hie modus pra: fuperioribus non admodum cora- mendabilis videtur. § CVIII. Difparitas hie infignis inter hujus machina; effcclum & fuperiorum machinarum notanda occurrit, cum enim ibi cubus celcritatjs navis numero hominum SINE VI VENT I. 37 proportionalis eflet inventus, hie cantum quadratum ce- leritatis numero hominum proportionate eft repertum. Ita hie ad duplam navi celeritatem imprimendam , nu- mero hominum quadruplo majori erit opus, cum ance oftuplo majori eric opus fuiflet. Unde fequitur, fi nurrfe- rus hominum pro lubicu multiplicari poflet, hoc modo tandem navi multo majorem celeritatem impreffum iri, quam modis pratcedentis fectiones, quod tamen minime probabile videtur. §. CIX. Ratiocinium autem , quo hie ufus fum , eflet juftum , fi elevatio aqua', tarn pro cafu navis quief- centis , quam motx eandem vim requireret ; verum ma- nifeftum eft, fi navis ipfa progrediatur , aqua antequam clevari queat motum ipfius navis motui a'qualem im- primi debere. Quod cum fine vi effici nequeat , eo majori vi opus erit ad aquam elevandam , quo celerius navis progrediatur. Exiftimare autem licet ad hoc tan- tam vim requiri , quanta opus eft ad aquam ad alcitudi- nern = c elevandam. §. CX. Quod fi ergo fuperius ratiocinium hinc emen- date velimus. aqua non folum ad altitudinem a -+• i fed potius ad altitudinem a -w -t- c elevari debere , cen- fendaeft. Hincereoprodibiciftaa:quatio c = .-. , , . ita ut hax refolvenda fie xquatio quadratica l nAV ab cc -»- ( a ■+■ i) c kk kk Exquaelicitur c=— £ («+/) * f(jL (*+*)' -<- inAyai> ) Qui valor jam proxime ad veritatem accedet. <§. CXI. Ut hxc celeritas fiat maxima , non amplius locum habet valor , a = i , fed per differentiationem sequationis quadratics , pofito a variabili , reperitur c = jj^r > ideoque V a s= -jj-j- , qui valor fubftitutus 38 De Promotione Navium . nnAAb - . nnAAb . dabic cc-hic= h < c leu c ?-t- ice ==— jr~ .A cu jus arquationis cubicx refolutionc pendet determinatio ce- leritatis. §. CXII. Cum altitudo i tarn exigua capiatur quam fieri poteft , fi eflet i = o, foret cV c = - — — . Qux Aft formula fimilis eft illis , qux pro modis prarcedentibus funt inventaz {§. XXIII). Unde patec hoc cafu navi eaudem celeritatem impreflum iri atque fupra. Sedcum c vix unquam exfurgat ad unum pedem , altitudo autem i aliquot pedes fuperare debeac, certe erit />ec, pofito igicur i = 3 c ; eric cV c= ^-j-r . Qike expreffio con- venit prorfus cum ea qua; §. XXIV, tanquam ad praxin idoneam eft inventa: ita uc hoc modo parem hominum vim adhibendo, navis a;que celeriter propelli poflic at- que iis modis prsecedentibus , quibus rmlla inutiliter jmpenditur. §. CXIII. Cum hie cafus ad praxin fatis accommo- datus videatur , ponamus i = 3 c ut fit cV c = - > erit c— 1 / nnA Ab j qui valor fubftitutus pro altitudinc vafis a dabit V a = ,, « „„,,,<7, = l^ — 7-r — Unde ipfa altitudo colligitur a = J/ n *nA Ab = 4 c. §. CXIV. Confideremus iterum cafum ante allatum, quo erat /z=ico; ^ = iooj ^ = |&/5= llf : reperitur c = ^ ^-i-^-1 ped. = o, 14675 ped. Unde celeritas nafcitur fingulis minutis fecundis fpatium 3 pe- SINEVI VENT I. 39 dum abfolvens, erit ergo i = 0,44015 ; porro prodit altitudo vafis a = o,587ooj oriricii denique, per quod aquaeffluit, amplitudo erit ff= *A- r = 1 2 I pedum quad. §. CXV. Area igitur ampliflima ad pnppin navis ad- jungi deberet , cujus altitudo , cum fcmilicm pedis pa- rum fuperare debeat , foramen per totum latus pofte- rius inftar rimae exfeindi deberet , cujus altitudo, fi ca- peretur ± pedis, latitudo vafi> 50 pedum efie deberet v ut hinc amplitudo foraminis prodiret 1 i-i pedum qua- dratorum. Quia autem hare area vix dimidio pede fupra aquam prominere deberet , minima agitatio effectum hujus machinae penitus turbaret. Quin etiam hauftus aqua; ad tam parvam altitudinem magnis difficultatibus foret obnoxia. §. CXVI. Quod incommodum , quo evitetur , alti- tudini i multo major valor tnbui debet 5 quod fi ergo ponamus i = 1 5 c , erit cVc — ^± a 16 c. Qui cafus jam prop i us ad praxin eflet accommodatus, verum hinc celeritas navis multo minor evaderet, ideoque hare ma- china prscedentibus merito poftponenda videtur , quippe quibus navi ab iisdem viribus major celeritas imprimi poteft. II. Secundus Modus Navem propellendi. $. CXVII. Quemadmodum aqua libere effluere eft pofita, ita nunc ponamus aquam prater gravitatem vi quadam expelli. Jam vero vidimus maximam hinc vim obtineri fi canalis tam fupra quam infra fuerit horizon- talker reclinatus. §. CXVIII. Hie autem non fufKcit propulfionem aqus, quacunque vi perfkiatur, determinafle , verum T.iBVLA III. 40 DePrOMOTIONE NiVltM imprimis opus eft, ut modus exponatur, quo aqua con- tinuo elevetur j atque machina ica inftruatur, ut, vel fine inrermiffione aquam expellac, velalternatim aquarrt cum atcrahendo turn ejiciendo effeclum fuum prarftet. Commodiffima igitur ad hoc inftitutum videtur machina ancicis ordinariis iimilis, qua aqua motu reciproco attol- litur & cxpcllitur. §. CX1X. Concipiamus ergo in fuperiori parte vas ' e ' 1 inftructum efle tubo horizontali AC, in quo embolus EE lit agitandus, infra autem definat in duplicem ra- mum, alterum NB , qui aqua- lit immerfus , alterum autem MF horizontaliter reflexum, per cujus orificium FF aqua in aerem expellatur. Valvulis autem m , n efK- ciatur, ut, dum embolus extrahitur, valvular claufa, altera n aperiatur & aqua ex mari attollatur , contra vero, dum embolus intruditur, occlufa valvula n, aqua per alteram m apertam expelli poffit > ficque alterna em- boli agitatione machina tarn aquam attollat quam ite- rum ejiciat. §. CXX. Caufa autem qux aquam , dum embolus extrahitur, furfum pellit eft preffio atmofphxrx, quae, uti conftat , xquipollet columnx aquae 31 pedes altx. Unde altitudo tubi horizontalis AC fupra aqua: fuper- ficiem 31 pedes excedere nequit ; ergo altitudo AN aliquot pedibus minor effe debet , ita ut nunquam tri- ginta pedes fuperare polli't. §. CXX I. Ponamus igitur vim embolum extrahen- tem effe = U & emboli amplitudinem EE=eez ejus vero altitudinem fuper aqua = a atque ex hydrofta- ticis conftat vim U xqualem efle debere ponderi volu- minis aqua: — eea. Tanta ergo vi opus erit ad embo- lum cxtrahendum fcilicet erit U = e e a &. a ubi a aliquantum major eft quam in formulis prarcedentibus quia hie totam altitudinem fuperaqux fuperficiem denotat, qui excefius feu elevatio foraminis FF fuper aquam fi vo- ce ur — a, erit P r = ee («-»-«.). Deinde efle debet celeritas , qua embolus extrahitur §. CXXIX. Vis ergo, qua navis , dum embolus ex- SINE vr VENT I. 43 trahitur , ad motum incitatur , eric ~ (ee -h gg) \~JT~fi — )• Dum autem embolus iutruditur, erit vis na vein propellens = z ee ff\ ee __ f y J. Ut igitur na- vis perpetuoasquali vi propellatur, conveniet duas hujuf- modi machtnas in nave conftitui , qua; ica agicentur, ut, dum in altera embolus extrahitur, in altera intru- datur : fie vis conftanter navem propellens erit = §. CXXX. Ab hujufmodi igitur machina geminata navis perpetuo a-quali vi incitabitur : unde cum motus navis jam ad uniformitatem fuerit perductus , hax vis refiftentiaz debet efTe a;qualis. Quare , pofita celeritate navis = V c 8: refiftent-ia abfoluta = kk erit kkc== 77 ( ee +gg) (•£§?) + * ee ff (iT=7f)- §. CXXXI. Ponamus ad urrarnquc machinam agitan- dam fimul n homines applicari , ita ut numerus homi- num unam moventium fit = {m quilibet autem homo operetur vi = A & celeritate = V £>. Agitetur autem embolus ope ve£tis V C circa C mobilis, cui vires homi- num applicatas fine in punclo P , ac vocetur C V = x & C P = { j hue enim omnis generis machina;, quibus uti vifum fuerit, reduci poffunt, §. CXXXII. Cum igitur celeritas hominum feu pundi P fit = v'6> erit celeritas pundi V ■= f V6 ; quar a;qua- lis efTe debet celeritati emboli. Ex quo nafcitur ha:c arquatio '- y/ b = ff f/ -J-fzy!- §. CXXX 1 1 1. Porro vis uni machina; in P ap- plicata eft = j n A , cujus momentum ergo £ n A i a-quari debet momento vis, ad motum emboli re- Fij 44 De Promotione navium quifitx Vx. Cum autem fie V= ee (a-t-a) , habc- bitur ilia arquatio , {nA^ = ee(a-*-a.)x. Ex qua elicitur - = '■—, • Qui valor in praxedente acqua- j te(a-t-a) > * * tione fubftitutus prarbet : x#t(-r+- .j = JJ r e TZJ<- §. CXXXIV. Cum nunc fic#= y^^l*.^? erit , valorem hunc in prima xquatione fubilituendo : (e e + gg) n n A A b kkc = , rr~ 2 g g e e ( a •+- a. ) zee(2a-t-a.)nAv'b v (4-e* (2 a ■+- a.) (a -*- &) z -hnn AAb) — nA\ b qus reducitur ad formam fequentcm (e e •+- g g) nn A A b k k c = 7 77 — 2 gg e e ( a -+- a ) 7Z/^v / ^(v / (4e 4 (2 a ■+- a) (a ■+• a) 1 ■+■ n n A A b) -\-nA\'b) j. . nnAAb (H-H) feu /(-/tc = —7 — _^_ . • 2 e e {a -*- a.) > §. CXXXV. Quod fi brevitatis gratia ponatur nAvb = V p, utf\tnAVb=2ee(a-i-a.vp)i ie< (.< + «) r t>1 prodibic facia fubftitutione : kk c — 2 e e p ( 2 -4- J« ) + if£\'p(2(i + t+/'). Unde fit altitudo celeritati navis debita c— •^r'/>(i-t-f J '-t-v'(i ■+- ^^j ). Qux exprcfiio etiam in hanc transrormatur c = -— — ; — I Lkkee(a-f-a)' SINE VI V E N T I, 45 §. CXXXVI. Quoniam autem vidimus ad id , uc mocus aqux erumpentis quavis aclione ftacim ad unifor- mitatem reducatur, requiri , ut ee multis vicibus exce- dat foramen// quia alioquin vis hie per ralculum defi- nita vel nunquam vel nimis fero exiiteret , ponamus e e = mffi ut fit m numerus imitate multo major ; eritque - = & tertia xquatio prxbet : ^ < xm// 1 <•-+-«) i r rr n AV b{mm — I) . r . ft = : — } unde conhcitur * ' b ( m :n — I ) §. CXXXVII. Pofito autem ee = mff, ac pro // fubftituto valore invento , acquatio prima fuppeditat ;; n AV ' b(ia -f- a) , mff •. ti \ I 1 kkci=.- ( i •+• m ■+- V{ . Uude altitudes . . . . ... . n A V b ( I ,! -\- a) celentati navis debita eric c = r-7— — ; K k [a -f— a ) y ( m m — i J (z -i- m -¥■ '—). Ubi ratio ee ad gg ita accipi debet, ut in extra&ione emboli aqua embolum iequatur ; ficque conveniet fracHoni |£ valorem imitate minorem tribui. §. CXXXVUI. Hie ftatim ingens fe o/Fert difcrimen inter effect urn hujus machinas ac praecedentium, cum hie numerus hominum quadrato celeritatis navis, fupra aucem eju cubo proportionalis fit inventus , ita ut hanc machinam adhibendo (i navis duplo celerius pro^redi debeat, numerus hominum tantum (it quadruplicandus, cum ante octuplicari debeat. In quo non exigua pra> rogaciva prk machinis praecedentibus eft (ica. $ CXXXIX. Ex hac formula quoque apparet expe- dire, ut altitudines a & a. quam minima: ftatuantur, quia turn celeritas navis prodit maxima. Si enim a & «, evanefcerent , celeritas navis revera infinita prodiret , qui autem calus locum habere nequit, cum iplum fora- 4 \* a multo majus quam Vy?. §.CXLI. Evolvamus igitur cafliim fupra confideratum i§.CXl V.) quo erat n— i co ; kk= i oo > A=±&.b = -ply. Atque ftatim reperitur aW a multo majufquam 4 , feu a" 1 multo majus quam 1 6. Ponamus ergo effe a = 10 ped. 6c a. = 5 ped. Prxterea fit m = 5 6c ~ = { unde fit c = 12±11±L±. . 7 1 fi ve c = ±y/ -L = o, o 5 74 ped. IOO. If. V14. S» • J 1 1 T I cui altitudini refpondet celeritas fingulis fecundis fpa- tium 1 y- Q pedum abfolvens, qua; multo minor eft quam ea , qua: pro eodem cafu per modum tertium fectionis fuperioris eft inventa (§. XLVIIL). §. CXLII. Ponamus autem , quo navi majorem cele- ritatcm conciliemus, altitudinem a = 5 ped. 6c «.= 2 ped., reliquis quantitatibus iifdem relictis, prodibitque c=rj-v'j== 0,0851 pedis, cui altitudini refpondet celeritas 1} pedum in minuto fecundo, qua* praxeden- SINE VI VENT I. 47 tern tantum fere dimidio pede fuperat & a dime multo minor eft quam per machinas praxedentis feclionis navi ab iisdem viribus imprimi poteil. §. CXLIII. Cum igicur hoc modo a 100 hominibus navi minor celeriras imprimatur, quam modisin feftione priori defcriptis, mulco minorem efFeftum ab hoc modo expe&are licebic , fi pauciores homines adhibeantur , quoniam hie celeritas navis fecundum rationern fubdu- plicacam , ibi vero fecundum rationern fubtriplicatam numeri hominum decrefcit. Undo fi non nimis magno hominum numero uti licet , refpectu refiftentix abfo- huxkk, femper prxftabit machinas prions feclionis ufur- pare, quam iitam hie defcriptam. §. CXLIV. Contra autem fi multo p lures homines operi admoveri queant » quam hie aflumfimus, turn uti- que effeftus hujus poftremse machine prxec dentes fu- perare poflet. \ erura, quia tunc altitudo a major aflumi debet ob rationes anteallatas: inde ipfa quoque navis celeritas minor efTet proditura , quamobrem etiam hoc cafu nullum lucrum impetraretur. §. CXLv'. H s perpenfis merito concludi poffe vide- tur , machinas hujus feclionis multo debiliores efTe cen- fendas quam pracedentes , ideoque a praxi removen- das. Quocirca machinas prioris fecnonis prxcipue ad ufum commendandas efle arbitror, ex iifque imprimis modos tertio & quarto loco defcriptos , quippe qui navi maximam celeritatem imprimunt , fi quidem paribus viribus utamur. Quin etiam ifti modi ad praxin magis videntur accommodati , neque adeo difficile videtur obftacula, qua; forte occurrere queant, removere. FINIS. Jiini*i * ,/,■ , (i/'/>/ t autre moyen que ce puijje etre. U. N vaifTeau environne de deuxfluides, l'air 6c l'eau , peut recevoir fon mouvement dc leur aclion ou de leur rea&ion : dc leur a&ion , lorfqu'il ell poufle par le vent ou entrame par un courant : de leur reaction, fi on fait mouvoir concre ces fluides une furface tellement liee au vaifTeau, qu'il ferve comme dc point d'appui a la re- fiftance qu'clle eprouve; elle lui procurera alors un mou- vement en fens contraire au fien. L'air a fi pcu de denfite en comparaifon de l'eau, qu'on peut du premier coup negliger les movens foudes fur fa reaction. Celle de l'eau fera toujours infiniment plus efficace, & e'eft de ce cote-la qu'il faut tourner nos pre- mieres vues. Tactions done de prefenter a la reaction de l'eau une furface qui la frappe le plus directement qu'il fera pof- Aij 4 Manierf. desuppleer. fible 5 car la viteffe du fillage riduiroit a prcfque ricn la viteffe refpe&ive des furfeces qui frapperoient 1'eau obli- quement. Chcrchons en meme tems les proportions les plus convenables pour procurer une grande viteffe fans trop fatiguer les agens que nous emploierons, 6c fans de- ranger ni incommoder les autres operations de l'equi- page. Celui qui parviendra a remplir ces differens objets, pent efperer le luffrage de la celebre compagnie qui a {iropofe la queftion que j'entreprens detraiter, 6c don t a fimple approbation eft le prix le plus natteur de tous pour un cccur fenfible a la veritable gloire. Comme les diverfes manieres de procurer le mouve- ment de la furface qui doit eprouver la reaction de l'eau peuvent fe reduire prefque toutes au principe du levier du premier genre , e'eft fous cette forme que je les exa- mines en general. On peut appliquer fi aifement les memes principes aux autres cas ou il ne fe trouve point de bras de levier , qu'il n'eft pas neceffaire d'en faire un article fepare. C'eft done fous l'idee des ramesordinaires que je con- fidererai le moteur du vaifTeau. La refiftance de l'eau ou fa reaction fur la furface des pales doit etre en equili- bre avec la force ou puiflance de l'agent qui meut la rame. Le point d'appui eft le vaifTeau meme , ou fi Ton veut, e'eft la refinance de l'eau au mouvement de la prone. 11 faut obferver cependant que le vaifTeau ne fupporte pas ici Taction des deux forces qui font en equilibre aux deux extremites de la rame , comme il femble que le point d'appui d'un levier du premier genre devroit les fupporter. Dans le cas prefent ou la puiflance motrice n'elt pas etrangere 6c exterieure au vaifTeau, elle ne fau- roit agir fans ctre buttee contre lui , 6c fans lui rendre par confequent autant de mouvement en arriere que le point d'appui en a recu en avant de cette meme puif- fance. De-la vient qu'il ne conferve pour aller en avant c A L'A C T I O N D U V E N T. 5 que la feule force de la reaction de l'eau fur la pale. Celle de la puiflance , fe detruifant elle-meme par rap- port a fon action fur le point d'appui , ne merite plus d'etre confideree que par rapport a l'equilibre ou elle doit etre avec la reaction de l'eau fur la pale. C'eft fame d'avoir fuffifamment developpe cette idee qu'on a ete fi longtems embarrafle a expliquer nettement Taction des rames. Je diviferai mon ouvrage en deux parties. Dans la premiere j'etablirai les principes de Theorie neceflaires pour choiflr entre les moyens divers qu'on peut em- ployer. Dans la feconde j'en tirerai les confequences pratiques qui font i'objet principal de la queltion pro- polee. £f $* & *S* t& Maniere de supplier PREMIERE PARTIE. J 'a p p E l l E la maffe ou le poids du vaiffeau exprime en livres, M La lurface de la prone, qui eprouve la refiftance de i'eau , reduice a tine furface plane qui feroic cho- quee dircctement & exprimee en pies quarres, f La furface done la reaction produit le mouvement du mouvement du vaifleau, e'eft-a-dire la furface de touces les pales prifes enfemble , s La force de la puiflance motrice exprimee par un poids, e'eft-a dire par un certain nombre de livres n La vitelTe avec laquellecette puiflance eft mue, ex- primee par le nombre de pies quelle parcourt dans une feconde , v La vitelTe du Tillage, c Le bras de levier de la puiflance, ou manche de la rame , a Celui de la refiftance, e'eft a-dire la longueur de la ramc depuis le point d'appui jufqu'au point que nous regarderons comme le centre d'impulfion des pales , b La vitefle de ce centre des pales fera done egale a ^ Et a. etanc = i , elle fera egale aiv. Pour avoir des formulesmoinscompliquees, je com- mencerai par examiner en general les proprietes des ra- mes en faifant abftradion de leur poids (il eft aife d'y avoir egard dans la pratique en ajoutant a la force mo- trice ce qui eft neceflaire pour cela), en fuppofanc la puiflance n appliquee en un feul point a l'extremite du bras de levier a , £c la reaction de l'eau fur les differences A l'action bu vent. 7 bandes des pales comnie a^iflant toute entiere a la dis- tance b da point d'appui , fur une furface egalc a s. Co que cette fuppotition pourroic avoir de contrairc a la realite , n'empechera pas que nous n'en tirions des con- fluences generates utiles pour tous les cas. Elles feront d'autant plus fenfibles, que les formules feront plus fim- ples. J'y ajouterai une methode pour calculer la force 8c le moment des rames avec plus de precision. Je laifle de cote les frottemens legers , la refiftance de Pair au mouvement du vaifleau , ladhefion des particu- les d'eau , &c. & je calcule dans l'hypothefe la plus fim- ple, d'antant mieux qu'il s'agit bien plus ici de compa- rer entr'eux les differens moyens de donner du mouve- ment au vaifleau que de mefurer leur effet abfolu , £c quecette comparailon n'exigepas, avec la meme rigueur, qu'on fafle entrer tous ces elemens dans le calcul. II y a deux cas a examiner j le premier , lorfque la force motrice agit fans interruption , comine par excm- ple lorfqu'au lieu de rames ovdinaires on emploie une roue dont les vannes ou aubes choquent l = eau continuel' lenient. Le fecond lorfque 1'aclion n'eft pas continue , comme furies galeres, ou Ton eftime communement que l'intervalle entre deux coups de rame eft double du terns de Taction de la rame. PROBLEME PREMIER. Trouver les rapports entre les forces , les furfaces 3 les bras de levier & les viteffes , & les changemens que produifent leurs differentes combinaifons. JL. 'Hydr aulique enfeigne que la reaction de 1'eau , choquee diredement par une furface , avec une certaine vitefle > fe reduic au poids d'une co- 8 Maniere de supplier lonne d'eau qui auroic cette meme furface pour bafe, avcc une hauteur , egale a la hauteur d'ou un corps tombant acquerroit par fa chute la vitefle avec la- quelle fe fait le choc. Celt pour quoi , en fuppo- fant les experiences qui donnent foixa ue-douze livres de poids au pie cubique d'eau marine & 30- pies par fecondc de viteffe aun corps, apres l'efpacc d'unc feconde de chute, fi la vitefle refpective de la furface s de la pale € [\ y v — c, la force de la reaction de l'eau fur cette furface etant cxprimee en livres fera gjr s (bv — c)\ La refiftance de l'eau a la furface reduite/de la proue fera par la meme raifon egale a 7^/c 1 , ou 18 1 J L • Dans Taction continue la viteffe c du ullage ne peut plus croitre , lorfque la reaction de l'eau fur les pales eft egale a la refiftance de l'eau au mouvement du vaifleau. Toute la force eft alors en equilibre avec la refiftance, & ne fert qua empecher la viteffe de decroitre. Alors s [bv — c) 1 =fC- y d'ou je tire c = \ry-^. La vitefle v . c ne peut plus croitre lorfqu'elle eft parvenue a cette valeur. Lequilibre neceflaire entre la puiflance & la refif- tance nous foumit Tegalite jt" = s {bv — c) , -=fc l t ~~i — le bras de levier a etant fuppofe egal a 1 3 la force mo- trice n doit done etre egale a ^. bfc- & la vitefle c lorf- qu'elle ne croit plus eft egale a >/ ( pf) n. L'egalite c = 1 -Lv_f nous montre que plus on au- gmentera la furface s des pales fans toucher aux autres proportions . plus la vitefle c du fillage fera grande , pourvu cepeudant qu'on augmente fumTamment la force motrice A LACTION t>U VENT. cj motrice n, puifque c ne peut pas etre plus grande que 7i VTf Si la furface des pales pouvoic croicre jufqua devenir infinie, la vitefTe du Ullage deviendroit egale a celle de la rame, mais elle ne peuc pas etre plus grande. On trouvera la longueur du bras de levier pour ce cas-la en combinant les deux valeurs de C. La premiere eft alors c = b v , &c la feconde c = v ~ n c e qui donne vTj b = l/~ \ 7 t' n ). Mettant cette valeur de b dans Tecra- lite c = bv, elle fe change en celle-ci c = [S k^t nv ) ce qui eft le terme de la plus grande vitefTe qu'il foit poffible de fuppofer au vaifleau lorfque n v £c f font de- terminers. Si Ton faifoit b plus court que I/' Ktt n ) fans augmenter la vitefTe v de la puiflance , celle du fil- lage (qui eft egale a bv dans la fuppofition 011 nous fom- nies d'une furface s infinie) diminueroit -, & une partie de la force motrice n refteroit inutile, puifqu'elle doic etre eVale a — bfc\ II ne faut done jamais faire le bras exterieur b de la rame plus petit que [/ \jt n ) , &vil faut touiours le faire plus long , puifque la fuppofition d'une furface s infinie eft impoflible , &: que dans la pratique elle ne peut pas meme etre exceffivement grande 5 mais d'un au- tre cote plus on allongera ce bras pour diminuer la fur- face s des pales , la force n reftant la meme , plus la vi- tefTe du Tillage fera petite , puifqu'elle eft en raifon in- Prix t/e 1753. B io Maniere de suppleer verfe de y/b, car c = ^ (^ n . C'eft ce qu'on favoit V 6/ deja en partie par la raifon qu'on ne pent augmenter Ie bras de levier de la refinance, en confervant cependam l'equilibre fans diminuer en meme terns cette refinance quieftegale a^r/c'. bv Les combinaifons des deux memes egalites c= ^w & c ■=■ " 71 . nous donneront les rapports entre Vbf b , s, v, c & n lorfque la furface des pales n'eft pas infinie. On aura done b = y- W^ * 1 ~ i ~y J ) -, b ' V 1 J. r=T7 1 v = * -+" ^7T • /^ " 7V — v' j = Zi-i — r — r^ mettant cette valeur de £ j / v * — i_i« J 71 . * v //-ISJ/zv— 1 — £ dans l'eealite c= t-J-Vfbn en tirec= A/ 71 '±27 5 vT r —j— vs J'en conclus que fi Ton vent faire croitre la vitefle du fillage en augmentant la force n & en donnant au bra s exterieur b de la rame fa valeur b = i/j? . * "*" J— W f — : — V ' s J v- fans toucher au refte , il faut que la force n croiflb comme les cubes de c ,- au lieu qu'il fuffit qu'elle croifle comme les quarres de c , lorfque b reftant le meme on augmente la vitefle v , en donnant a la furface s la pro- portion requife , puifque nous avions ci-devant l'egalite c = r it- Yfb A LACTIOK DU VENT. II Lorfqu'on commence a ramer & que c eft encore = o la force n doic etre = ~l £ ' v 1 s p.our etre en equilibre contre l'effort de la rame. Multipliant cecte valeur par la fra&ion — = — x on aura la force qui r Vs-*-Vf i fuffic pour maincenir la vitefle du Tillage lorfqu'elle ne croit plus. II fembleroit que puifque n v eft comrae le cube de c, il doit etre indifferent d'augmenter n ou v, pourvu que leur produit foit un plus grand ; mais nous verrons dans le probleme fuivant qu'une plus grande vitefle v procure plus promptement le mouvement au vaifleau. Je conclus de tout cela qu'il faut io. tacher que la vitefle v de l'agent foit la plus grande que faire fe pourra, fans diminuer fon produit par la force n. z° . Augmen- ter plutot la furface des pales que la longueur du bras exterieur b de la rame, a moins qu'on ne foit force a ce dernier parti , foit parce que la force motrice ne manque pas & que fa vitefle v eft trop petite; alors en augmentant le bras de levier & par confequent la vitefle des pales, on augmentera aufli la vitefle du fillage. 30. II faut par la meme raifon prendre garde de ne pas accour- cir le bras interieur ou manche a de la rame en placant des rameurs trop pres du point d'appui. 4 . II eft tres- utile, dans tous les cas, de diminuer la furface de re- iiftance/de la proue le plus qu'on pourra, fansnuire aux autres operations du navire. Bij n Maniere de supplier PROBLEME SECOND. Trouver la vtteffe c que le vaijfea.it acquiert pendant un terns determine T , lorfque I'aclion de la rame efl continue. Ou la viteffe c etant donnee , trouver le terns T. D ans le Probleme precedent nous avons trouve la plus grande vitefle que Taction continue pouvoit don- ner au vaifTeau. II eft important de favoir s'il fauc long- tems pour acquerir cette vitefle, ou au moins pour en approcher (car il eft aife de comprendre qu on ne pour- roit y parvenir qu'au bout d'un tems infini ) > & quels font les moyens de la procurer plus promptement. Nous favons que 1'efFort abfolu fur les pales des rames eft j^ L . s {b v — c) * , Sc la reilftance de l'eau au mou- vement du vaifTeau j^i. fc-; ainfi la force que poufle le vaifTeau etant exprimee par un poids fera gv (s(iv— c) 1 — fc l ). On pent comparer fon effet & la vitefle qu'elle donne au vaiiTeau a Teffet de la pefantetir , & a la vitefle de la chute des corps graves. J'appelle g ['element de la vitefle des corps dans lcur chute caufee par la pefantenr ; je veux dire la portion de vitefle que les graves acquierent a chaque inftant. La pefanteur leur en donne une egale lorfque les tems de leur chute font egaux & que rien ne leur refifte , parce qu etant proportionnelle a leur mafle, c'eft-a-dire etant egalement dans toutes les parties de leur mafle , elle agit fur cette meme mafle j au lieu que dans le cas que a l'action DU VENT. 15 .nous examinons , le poids qui poufle le vaifleau eft va- riable , & agic fur la mafTe du merae vaifleau qui ne lui eft point proportionnelle. L'egalite qui doic fe trouver entre la caufe & l'efret donnera pour la chuce des graves l'equation differen- tielle g Al dt = d c [M expriinanc la mafic des corps pefans & c leur vitefle) d'ou Ton tire l'egalite t = | qui fignirie que le tems t eft a celui qu'on a pris pour 1'unite , par exemple , a une feconde ce que c eft a la vitefle elementaire g , ou que les tems font en meme proportion que les vitefles, &: que cette efpece de rap- port des tems aux vitefles a -, pour expofant. Si Ton veut a prefent exprimer les vitefles c & g par les efpaces que chacune d'elles fait parcourir dans une feconde , on fait par l'experience que g eft = 3 o i pies par feconde 5 e'eft-a-dire que la vitefle acquife dans la chute, fait parcourir a un corps grave autant de fois 30^ pies par feconde, que le tems de la chute t contient de fe- condes. Nous ferons done dans la fuite de nos calculs g = 3°?- Dans le cas que nous examinons, ou la force ^| (s. (bv — c)- — f'c 1 ) qui poufle le vaifleau eft egale a un poids, qui n'eft pas en meme raifon que la maffe M du vaifleau qu'elle fait mouvoir, l'egalite qui doit fe trouver entre la caufe & l'effet nous donnera pour equa- tion elementaire de la vitefle c du fdlage h)gU(^-c) 1 —fc^dT=Mdc, d'ou je tire en ecrivant 30^ au lieu deg-, T=-l M f— - i' 6 I sb>v'- — i s bvc-{-s—f)-c' pour integrer la fraction qui eft fous le figne f je la par- tage en deux autres qui lui font egales. dc dc itvV sf - ibvV sf — sbv—bvV s j'-j^c i b v — bvV sf — c 14 Maniere de supplier. On remarquera, pour rendre l'integrale complette, que lorfque T eft = o, il fauc que c foic auffi = o. On aura done T /sbv—bvYsf-* \ I /— sbv— bvVsf \ + T /j*v-*vV/\ 1 reduifant ces logarithmes a un feul 8c divifant par s — f on aura ^ = L _ ttv _ h{s _ i _y jj)e . Pour re- duire ce logarithme a ceux des tables ordinaires, il faut le multiplier par la fraction decimale 130:585 &c. (Voyei Wolrius Element. Analyfeos , Part. II, Seel: z» N°. 2.59.) ce qui donne , en employant les fractions decimates , 51. 1 «9i. bvVsf. T y — Jfv +(' — V sf)c M " ^ -jtv + U-r-V.i_/) c La vitefle c etant donnee, il fera aife de trouver le terns 7"parcette formule. Si e'eft au contraire le terns qui eft connu , voici comment on trouvera la vitefle. Appelions A^ la quantite qui eft fous le figne Z. Elle fera connue , puifque fon logarithme eft fuppofe connu. _> 1 u ' • xr ' — s b v -+- (s — Vsf) c On aura done I equation JS = ; ; 1 — sbv -)-(j-)-Vi/)c !. v d'011 Ton tire c— .+ ^±j v^. Plus le terns 7"eft long, plus la valeur de N fera grande , & plus l'expreffion approchera d'etre = 1 , 8c c d'etre == y? . iV-f-l l L 1+ y~T~ Nous avons vu , dans le Probleme precedent , que e'e- toit un terme au - dela duquel elle ne pouvoit plus croitre. a l'action du vent, 15 Quelque grande que l'oit la mafle M du vaifleau, on trouvera, en calculant felon cette formule , qu'un in- tervals de rems aflez court furfit ordinairement pour parvenir a une vitefle fort approchanre de ce termc ; mais il faudroit un tems infini pour y arriver tout-a-faic e , • *'+.. cc pour avoir = 1. Cette formule nous apprend aufli que plus les valeurs de bv &c de Vs feront grandes, moins ilfaudra de tems au vaifleau pour acquerir la vitefle c. Si le vaifleau avoit deja une vitefle h lorfque l'adion de la rame a commence , il eft evident que le tems T qu'il lui fautpour parvenir a une certaine vitefle c, doit etre egal a celui que donne la formule precedente pour acquerir c, moins celui qu'il eut fallu pour acquerir k> dou Ion urera legahte = loo;arith. de At ° sb 'v' —{sbv — bvVsf)h ~\-(s—f)kc —{sbv -f- b v Vsf) c sb'v'- — (sbv -t- bvVsf) h -+• \s — f ) k c — (sbv — bv Vsfjc Si nous appellons N ce qui eft fous le figne L , on sbv -4-(^ Vsf— s)k aura c sas bv. ^^1 — J- _ (s + ~Vsf)bvMf-s)k Cette formule devient egale a la precedente 1 Q . lorf- que k eft = o. 2 . Lorfque k eft = 1 , de meme que -— parce que alors le tems etant infini, la vitefle du fillage parvienc dans toutes les deux a fa plus grande valeur. I 6 Manierede supplier. PROBLEME TROISIEME. Trouver les diminutions de la vitejfe du vaijfeau produi- tes dans un certain intervalle de terns par la rejiflance de I'eau, lorfque V action qui caufoit Jon mouvement a cefle. Ou cette diminution e'tant connue-, trouver le terns. ^J'appelle ce terns t, la vitefle du Tillage lorfque Taction a cefle c, la vitefle decroiflante (exprimee par l'efpace qu'elle fait parcourir dans une feconde) k. La force qui produit cette diminution , eft la refif- tance de l'eau que nous favons egale a 7^ [k z . L'ele- ment de la vitefle decroiflante fera done , en fuivant la methode du Probleme premier, Jri g/K'-dt—M—dKi d'oii nous tirerons t = jjy ( | — f ) & K = „, ^ 3'/ / , c en obfervant que lorfque / eft = , k eft = c & que g eft =36!. PROBLEME l action DU Vent. if PR.CBLEME QUATRIEME. Trouver la plus grande vitejfe ou puijfe parvenir un vaif- feau lorfque I'aclion qui lui donne [on mouvement nejl pas continue , mais qu'elle efl alternativement interrompue. Et les vitejfes etant donne'es , trouver les terns de I'aclion & de I 'inter ruption. o N peut connoitre a-peu-pres cette vitefle par un calcul prompt & facile, fi Ton fuppofe d'un cote que I'aclion de la rame, & de l'autre la refinance de l'eau au mouvement du vaifleau ne varient pas fenfiblement, & qu'elles font croltre ou decroltre la vitefle a propor- tion du terns qu'elles agiflent. Cela arrive ainfi : lorfque les terns de Taction & de l'interruption font tous les deux fort courts > lorfqu'ils font plus longs , les changemens de la vitefle dont nous ne prenons ici qu'une efpece de valeur moyennc, peuvent apporter quelque difference a la mefure des forces. Si la duree de l'interruption eft a celle de Taction comme p elf a i , on aura Tegalite s{bv — c) 1 — fc - — pfc~> car il feut que Taction retablifle ce que l'interruption a fait perdre , & par confequent que s {bv — c) * c z — f c 1 qui reprefente la force pendant Taction, foit d'autant plus grand que le terns p de l'in- terruption & la force de la refiftance font plus grands. On en conclut c = I _|_ / v yy(__j_ I > j. D'ou Ton voit que h par exemple s eft=/\ dans Taction continue, la vitefle auroit pu devenir egale a ~ bv j fi le tems de l'interruption eft egal a celui de Taction , & par confe- Prix deijtf. C l8 MANIEKE DE SUPPLIER qucnt p== i , elle ne croitra pas au-dela. de f|§ £v; fi le terns de l'interrupcion eft double de celui de l'a&ion 6c p= i , elle ne paflera pas ^| £v. Cette perte de vitefTe, produite par 1'interruption de 1'action, ferad'au- tant plus grandej que la furface s des pales fera plus pe- tite en comparaifon de celle de la proue , comme il eft aife de le voir par la feule infpection de la formule. Ce qui prouve de nouveau combien il eft utile d'avoir une grande furface des pales. Comme cette metl»ode n'eft pas fuffifante pour fatis- faire a toute la rigueur geometrique , en voici une plus exa&e. Nous avons vu dans le Probleme troifieme que fi le vaiffcau avoit une viteffe c, lorfque Paction de la rame a ceffe, il n'aura plus, apres un terns egal it, qu'une viteffa /* 3= — -— ^ — ■=- . M-\~ } « ft c Le Probleme fecond nous a montre que fi le vaifTeau a une viteffe k , lorfque 1'aftion de la rame commence, il parviendra dans un terns t a une viteffe C ~ bV (jn^Vsf)fv + (/— 0>" II eft done vifible que fi c & k du Probleme tro'ffieme font les memes que c &. k du Probleme fecond, nous aurons la folution que nous cherchons ( T etant le terns de l'a&ion de la rame &. t celui de rinterrnption), il faut done , au lieu de k , ecrire dans le Probleme fe- cond fa valeur $ /,' ' 6 >- tiree du Probleme troifieme , nous parviendrons a l'egalite C "*" \(J— s)M-t-i 6 b vf7{s+^ VsJ) = s b l v i M \ Q "— s ) M-*-i6~bvft{s + ^Z\^sf)] d'oft Ton tirera les valeurs de c 6c de k, les terns T &. t a l'action du vent, 19 etant donnes j ou au contraire , les vitefles etant don- nees , on trouvera les terns, puifque le rapport de JVau terns T eft determine dans le Proble'me fecond. PROBLEMS CINQUIEME. Trouver la force abfolue & le moment d'une rame A B (fig. 5.) qui efl mue autour d'un centre A , & les rapports entre les terns T & les vitejfes c dujillage. K ous avons fuppofe jufqu'A prefent que tons les points de la furface s des pales etoient choques egale- ment & a une meme diftance b du centre. Les conclu- fions que nous avons tirees de cette fuppofition n'en font pas rnoins utiles pour nous faire connoltre les pro- prietes du mouvement des rames & les principales pro- portions entre les forces , les furfaces & les vitefles , fur- tout quand il n'y a que l'extremite de la rame qui foit plongee dans l'eau. Mais comme dans la realite chaque bande de la pale a une viteffe relative differente , & fait par confequent un effort abfolu different , & a une dif- tance du centre differente 5 il eft utile de calculsr ces efforts abfolus &; ces momens avec plus de precifion. Je fuppofe que le mouvement de la rame eft fait dans un plan vertical 5 les conclufions que j'en tirerai s'appli- queront plus naturellement au mouvement des roues a aubes que j'ai principalement en vue , &: il n'en fera pas moins aife de les appliquer aux rames indinees, comme font celles des galeres. J'appellerai la longueur du bras exterieur de la rame cxprimee en pies h Cij io Manure de surn^n Celle du bras interieur ou manche tie la rame , en fuppofant que cout l'efforc dc la pUiflauce fe fait an meme point. a La diftance du centre a chaquc bande de la pale x La vitefTe de l'cxtremite de la rame qui eft plongee dans l'eau v Celle de chaque bande fera done *f Le finus total r Celui de Tangle d'inclinaifon de la rame avec la lignc horizontale ; e'eft-a-dire avec la direction de la viteffe c du vaifleau r La largcur de la pale que je fuppofe egale partout L La vitefle relative de chaque petite bande de la pale fera done ^ — V- E c P ar consequent la force abfolue fur chacune de ces petiies bandes, dont la longueur ell; L 6c la Iargeur dx , etant exprimee en poids 6c en livres , fera -^iLdx{ x -~-'^)'- 6c leur moment 7^: Lxdx (*"- V)'- Formules dont les integrates donneront i'effort abfoln & le moment de la rame. Si elle eft plongee dans l'eau jufqu'en A, la partie la plus proche du centre qui aura une vitefle moindre que celle du vaifleau, nuira au mouvement , bien loin de le favorifer. L'efFort utile de la rame ne commence qu'au point oil x eft = —. II faut done , dans la fuppofition que la rame eft plon- gee jufqu'au centre, apres avoir integre & mis h au lieu de x dans l'integrale, fouftraire de cette meme intc- grale pour la rendre complette deux fois la valeur de l'integrale ou l'on auroit ecrit ''— au lieu de x. Une fois parce que cette quantite ne doit pas etre comprife dans l'efforc de la rame , & une feconde fois parce quelle agit en fens contraire & decruit une partie de cec effort. AlACTION DU VENT. II Cette fou (traction fe fera d'clle-meme > quand on chcrchera par la meihode fuivarite refFort Sc le moment fur la pale cB qui commence a une diftance Ac du centre , telle que k viteffe du point c eft plus grande ou au moins egale a celle du Tillage. C'eft pourquoi , dans les calculs fuivans, je fitppofe qu'on aura en cette attention en placant les rames , & je cherche fimple- menc quel eft I'eflbrt & le moment fur une pale cB> dont le point c a une vitefle en arriere plus grande que celle du Tillage. J'appelle Ja ligne A c , mh. II fain i y . prendre l'integrale des formules qui don- nent l'element de 1'effort, 8c celui du moment, en fup- pofant x = /i, 8c fans y faire ancun changement pour les quantit.es conftantes qu'il faudroit fouftraire , parce que cette fouftraction fc fera d'elle-meme , comme je viens de le dire. z°. Prendre la meme integrate, en fuppofant x egal a mh. 3 9 . Souftraire cette feconde valeur de la precedence. Le refte exprimera i'effort ab- folu fur la pale c B dans- la premiere formule , &c le moment dans la feconde. Cet effort abfolu fera done Mais on obfervera que lorfque les rames nc font pas un angle droit avec la direction du Tillage , leur effort qui eft perpendiculaire a la pale, n'agit pas dans la direc- tion du fillage. II faut done le decompofer en le multi- pliant par 7 pour avoir la portion avec laquelle il agit utilcment pour le mouvement du vaifleau , &c avec la- quelle il s'oppofe a la refiftance de la proue j^fc: On aura done L'egalite qui doit fe trouver entre le moment de l'effbrt abfolu & celui de la puiflance n nous donnera lequation 22 MANIEREDE SUPPLIER. Z h*(l~. v*—i( i — *!<)} vc+I ( i— **) ^')=^- } a/7. On en pent conclnre qu'il eft plus avantageux d'au- gmenter la largenr L des rames que leur longueur h, puifque leurs momens font comme les quarres de h 8c feulement comme les largenrs L , lorfque m eft une quantite conftante, c'eft-a-dire que la longueur de la pale eft proportionnelle a cellc du bras exterieur h. Si nous voulons connoitrc l'effort ou le moment d'une roue a aubes , il faudra prendre la fomme des efforts ou des momens de chaque aube. PROBLEME SIXIEME. Trouver les rapports entre les terns T & les viteffes c , tant lorfque I'aclion des rames ou des roues a aube efl continue , que lorfqu'elle ejl interrompue. Pc our trouver plus aifement les rapports entre les terns 5: les viteffes, &: abreger les calculs , on peut fe contenter de prendre les efforts moyens. En don nam par exemple if une valeur moyenne entre fes differen- tes valeurs , on aura l'effort moyen d'une rame qui par- court dans fon mouvement un arc connu. Si c'eft une roue qui fait mouvoir le vaiffeau, il faut calculer fes princi pales fituations , & prendre l'effort moyen entr'el- les. Dans tous ces cas , il fera toujours exprime par une formule qui fe reduira a cette forme : p, q §L b exprimant des coerKciens connus, compotes des quantites ( i — m) X, A, j, &c. A LACTION DU VENT. 13 L'element de la vitefle fera, corarae dans le Problems fecond .dT — l Mf pv ,_ 1 ' vc + (b _ f}el . Pour in- tegrcr, je partage la fra&ion qui eft fous le figne/en deux autres qui lui font egalcs , & j'ecris s au lieu de* quantites connues b •— f; ce qui me donne 'l c d r — 4/>*) .,_ '■>'(j t -4f'l -A,ps) — c — qv — vVfj 1 — 4ps)-4rC Apres avoir integre, ajofite 6c fouftrait les quantites qui rendent I'integrale complette, comme dans le Probleme fecond , & reduit le logarithme a ceux des tables ordi- naires , j'aurai I 5.6346. vVff 1 — *P<)T ___ T -zpv+-(g — V{ q l — ips)).C & c= - ipV K + , /( 1 — — , , N cxprimant la quantite qui eft fous le figne L. Si le vaifleau avoit une vitefle k , lorfque Paction de» rames , ou des roues a commence , le rapport entre les terns & les vitefTes , fera exprime par cette formule : 15. 6346. vY{q % — 4Ps) j- t _ M Lipv l — v{<]-+-V(<} 1 — 4psj) k — v (q — V(g x — 4ps))c-j-iskc ipv* — v(q — V(q l —i,ps)) k — v{q-\-V{ q 1 — 4p.t))c-J- 1 skc &c=v i p v — ils auroient trop de peine a fupporter le tra- vail , joint a la fatigue du voyage , &l ou ne petit les employer qu'avec des machines trop compofees & qui tiennent trop de place. Tactions done de tirer le meil- leur parti que nous pourrons de la force des homines. Rien de plus fimple que les rames > mais fi on les fait femblables a celles des galeres , leur longueur & leur poids les rendront penibles , embarrafiantes , & d'un mouvement trop lent pour en attendre un effet qui re- ponde a. la fatigue qu'elles caufent a l'equipage. Prix de 1753. D i~6 Makierbde suppleek On eviteroic la plus grande partie de ces inconve- niens , en attachant aux deux cotes du vaifieau dc-. rames verticales tournant autour d'un ellieu place a la hauteur la plus convenable. Les pales feroient des vali- nes a charniere qui ne refifteroient que dans un fens , & qui laifferoient un paflage libre a 1'eau lorfqujelles feroient mues dans une direction conrraire ; je comp- tois d'en propofer qui me paroiflbient afiez commodes j mais, routes reflexions faites , j'ai penfe que l'interrup- tion inevitable entre lcs deux coups de rame , & la re- fiftance qu'on eprouve necefiairement en les ramenant de la pouppe vers la proue ( d'autant plus que leur mon- vement eft alors augmente par la vitefle du Tillage), j'ai penfe , dis-je que ces inconveniens rendoient leur pro- duit beaucoup moindre que celui des roues. Quelque eloignement que les marins aient toujours montre pour ce dernier moven , on ne pent s'empecher de convenir qu'il a l'avantage de la continuite de l'aclion , 2c de ce qu'on ne porte pas le poids de la rame. II ne s'agit ici que de fuppleer au defaut de vent , e'eft-a-dire , d'avoir le moyen de naviger lorfque la mer eft calme. Alors les roues peuvent etre employees fans inconvenient. Rien n'empeche de les conllruire afTez legeres pour etre enlevees commodement & de- montees iorfqu'on ne voudra plus s'en fervir. Nous les ferons d'un diametre qui ne couvrira pas trop les flancs du vaifieau , Sc qui n'empechera pas l'ufage de l'artille- rie. Enrin nous leur donnerons un moteur qui mulci- plie en quelque racon la force des hommes fans qu'il foit befoiu d'en multiplier le nombre. On les placera aux deux cotes du vaifieau , leur centre eleve de trois pies au-defiu> de la furface de 1'eau , hauteur ou Ton prat'que fans danger des ouvertures 6c des fabords. Elles auront fix pies de ravon ; mais il fufht que les vannes en occupent trois, car nous avons vu dans lecinquieme Probleme que la partie la plus pres du centre ne doit pas etre plongee dans 1'eau. A L ACTION DU V £ N T. 17 Une maniere fort fimple pour les faire tonmer, & qui caufe peu de frottemens , c'eft d'y joindre du cote re plus proche du vaifTeau une autre roue DE {Fig. 1 & z) d'un moindre diametre, autour de laquelle on fera paf- fer une corde ou chaine fans fin , qui enveloppera de meme une roue verticale A {Fig. 1 ) placee au-deflus dc celle-ci; enforte quelle lui communiquera fon mou- vement par le moyen de ia corde qui les environnera toutes les deux. L'arbre de la roue A fera appuye fur deux ou fur plufieurs piliers de bois FG, qu'on placera & qu'on aifermira fur le tillac lorfqu'on voudra fe fcrvir des roues. D'autres roues verticales B, C fixes fur le meme arbre porteront une efpece d'echelle tournante & fans fin, raite avec des cordes ou avec des chaines , lefquelles feront jointes par des traverfes ou echelons de bois KL , OP, & par des cordes HI, MN, &c Le mouve- ment des roues B 8c C entrainera celui de la roue A , qui eft fixe furle meme arbre ; 8c celle-ci fera tourner la roue a vannes. Les Mechaniciens connoifient plu- fieurs manieres de communiquer ainfi le mouvement d'une roue a l'autre , foit par des chaines fabriquees ex- pres pour cet ufage , foit par des cordes a nceuds , a olives , &c. ; 8c je crois pouvoir me difpenfer de prefcrire ici aucun de ces moyens en particulicr. Je deftine le poids des hommes pour etre le principe du mouvement de cette machine. En voici la raifon. Un homme qui tire ou qui poufTe ne peut agir quelque terns de fuite qu'en faifant un effort d'environ vingt- cinq livres , avec une vitefTe qui ne pafie gueres un pie 8c demi par feconde. Au lieu que le poids des hommes ordinaires etant de cent quarante livres, fi on leur donne une vitefTe d'un pie par feconde, qui ne diminuera pref- que pas Taction de leur pefanteur , on triplera , &L au- dela TefTet des machines tirees par des hommes. Dij l8 Makiere de supplier On placera un echaffaut ou plateforme R S {fig. 3) capable de contenir le nombre d'hommes neceffaire au fervice de la machine , environ trois ou quatre pies au- deflbus du diametrc horizontal des roues B C , 8c a deux pies de difhnce au plus de l'echelle tournante qu'elles portent. Ceux qui feront ranges fur lc bord de la plateforme, faifiront une des cordes telles que HI, ou M N {fiv. 1) , dans i'iiiftant quelle fe trouvera a la portee de leurs mains , £c fans perdre de terns , ap- puyeront leiirs pies fur la traverfe ou echelon de bois qui eft au-deffous, & fe laifferont couler avec elle juf- qu'a terre. Lcs diftances entre ces echelons feront combinees avec la hauteur Sc le diametre des roues B &: C , de forte que lorfqu'une bande d'hommes arrive a terre , une autre fe jette en meme terns fur la machine , afin de conferver l'egalite de fon mouvement. Si on trouve a propos d'elever afTez les roues B 5c C , & route la machine , pour que cette efpece d'echelle puifle con- tenir plufieurs rangs d'hommes les uns fur les autres , on augmentera d'autant la force. II eft a propos que ces traverfes qui portent les hommes ne puifient parvenir que jufqu'a deux ou trois pouces au-deffus du tillac , de peur qu'ils ne fe frappent en arrivant a terre. Cette precaution peutetre fuperflue, mais elle coute peu. lis juitteront l'echelle fans perdre de terns, & remonteront ur la plateforme pour redefcendre de nouveau bande par bande , lorfque leur tour fera venu. Je crois qu'il faut un peu moins de deux pies d'inter- valle entre le bord de la plateforme & l'echelle tour- nante , afin d'un cote que les travailleurs ne foient pas obliges de s'elancer de trop loin, au rifque de manqucr d'appuyer leurs pies fur les traverfes. En tout cas , les plus maladroits en feront quittes pour refter fufpen- dus fur leurs mains pendant un intervalle de terns aflez court, s'ils n'ont pas eu affez d'adreffe pour ap- 1! A l'action Du vent. 29 ptiyer" ftuffi leurs pies. D'un autre cote, cette diftance eft neceflaire , de peur qu'ils ne fe blefient en defcen- dant & en frottant contre la plateforme. On pourra , par un exces de precaution, garnir ce bord d'une bande de natte de paille , ou le rembourrer de quelqu'autre facon. 'il fera aife de gouverner le vaifleau avec cette ma- chine. II fufHra pour cela d'arreter ou de dimlnuer le mouvement d'une ou de plufieurs roues d'un cote du vaifleau, tandis qu'on iaiflera mouvoir celles de 1'autre. Ces rones , avec les plateformes & les echelles pour y monter, n'embarrafleront pas plus le tillac pendant le calme que les voiles, leurs cordages & leurs agres lem- barraflent lorfqu'on cingle avec le vent. Tout cela fe •demontrera lorfqu'on voudra & fe reduira en un aflez petit efpace, & il fera aife de le remonterj menie tres- lolidemenc , lorfqu'on voudra s'en fervir. Rien n'empeche d'employer un feul de ces equipages d'echelles & de plateformes , £cc. pour plufieurs roues a vannes a la fois. La circonference de la roue A peut avoir deux cannelures difFerentes (fig. 3 ) dont chacune recevra la corde d'une des roues a vannes. L'efFort que ces cordes auronta fupporter, n'en exige que d'une grofleur tres-mediocre , & qui ne demande- ront pas que les roues A & D foient d'un fort grand rayon pour fe plier autour d'elles fans refifiance. On peut leur donner communement trois ou quatre pies de diametre. Quand a celles qui forment l'ecnelle tour- nante , on peut multiplier a volonte les roues qui la portent , telles que B Sc C. Par ce moyen, on ne don- nera que peu de largeur a chaque echelle ■, elles ne porteront qu'un poids mediocre , & il ne faudra point de grofle corde. Si on vent fupprimer la roue A , line des deux au- tres roues B ou C portera dans une cannelure particu- iiere deftinee » cet ufage une corde fans fin , laquelle 30 Maniere de supplier. paflant par une onverture du tillac , ira envelopper & raire tourner encrc les deux ponts inferieurs une autre roue. Celle-ci , par le moyen d'un engrenage , fera tour- ner la roue a vannes. Je n'ai place cccce roue A en- dehors du vaifleau que pour ne rien changer a (on inte- rieur. On pourra encore fupprimer les roues B on C ■, en elevant tin feul timpan aflez haut pour qu'il puifTe porter une echelle tournante , qui contiendra pluiieurs hommes places d'etage en etage les uns fur lesautres, mais qui ne feront tout au plus que deux de front fur le meme echelon. La plus grande hauteur pourra compen- fer ce qu'on perdra par le detain de largeur. Si on reduit ainfi le tout aim feul timpan, ne peut- on pas fe fervir d'un mat pour I'appuycr en partie , alors chaque mat pourra avoir le ficn. Les plateformes fcronc fort petites , & le tillac en fera li peu embarrafie , qu'a peine s'en appercevra-t-on. Si on craint que le peu de roulis qui pourroit rcfter au vaiiTeau , malgre le calme , ne caufe trop d'inegalite au mouvement de cette machine , en enfoncant dans l'eau alternativement les vannes d'un cote & les retirant de l'autre , on pent y remedier en placant ces vannes de forte qu'elles foient au-deffous de la fuperficie de l'eau dans leur fituation verticale. Etant ainfi plongees plus avant , dies feront fujettes a de beaucoup moindres ine- galites. On me demandera quel efFet on peut attendre d'une telle machine , Sc quelles doivent en etre les principa- les dimenfions ? Je vais tacher d'y repondre en peu de mots. J'ai calcule la force 6c le moment des roues de douze aubes , en fuppofant leur rayon de fix pies , & leur centre eleve de trois pies au-deffiis de la furface de l'eau , les vannes occupant trois pies de i'cxtremite du rayon. Le Problemc cinquieme m'a fait connoitre 1'efFet des deux fituations princi pales de la roue. Danj Tunc un rayon ell: vertical, & deux autres font eloignt« al'action du Vent. 31 de la verticale de create degres. Dans lautre > deux rayons font eloignes de la ligne verticale de 1 5 , & deux autres de 45 9 . Les portions de vannes cjui cho- quent l'eau , fe trouvent differences , felon que chaque rayon eft differemment incline > ce qui donne des va- leurs de m differences pour chacune dans les formules du Probleme cinquieme. J'ai fuppofe dans ces calculs la largeur L de dix-huic piesj c'eft-a-dire que routes les roues avoient enfemble dix-huic pies de large. Ainfi , fi Ton met trois roues de chaque cote du vaiffeau , il faudra leur donncr a cha- cune trois pies de large , & les fix enfemble en auronc dix-huic 5 ce qui n'eft point exceffir", d'aucanc plus que lexcremite excerieure de leur effieu peuc etre foutenue par quelque appui porte par une efpece de confole en faillie [Fig. z , ou la roue eft vue de cote , portee par le flanc XY du vaiflcau). II peuc, outre cela, etre place a Touverture d'un fabord, &: affenni tres-folide- ment par une charpente buttee en-haut & en-bas, entre deux ponts. J'ai cherche la vitefTe du fillage que chacune de c«s deux fituations de la roue pouvoit produire par fa con- tinuity ; d'un autre cote, j'ai cherche celle que donnoic la force moyenne , entre la fomme des deux forces de ces deux fituations. Tous ces calculs ont concouru a donner , a peu de chofe pres , pour la vitciTe que le mouvemenc continu pouvoit procurer au fillage c = 415 vj d'ou Ton voir que la machine aura peu de variation dans fon mouvement lorfque les roues au- ront douze aubes. Pour trouver le nombre d'hommes neceflaire au mouvement du vaiffeau , je me fuis fervi de la formule du Probleme cinquieme , qui donne le moment j & pour touc meccre au pis , j'ai calcule fur le plus grand des deux efforcs des deux ficuacions des roues avec la vitcffe moyenne c==o 41 5 v. Meccanc cecce valeur 32 Maniere de supplier. de c dans la formule » j'ai trouve que fi Jes hommes qui font mouvoir la machine defcendent avec un pie de vitefle par feconde , & que la circonference de la roue a aubes en parcoure fix dans le meme terns , il faudra foixante-quatre hommes fur les echelles pour dormer une vitefle de fillage de deux pies & demi par feconde a un des plus grands vaifleaux du premier rang, done la furface reduite j de la proue feroic de cent cinquante pies. Le terns qu'il taut pour acquerir a-peu- pres cette vitefle eft tres- court. Je n'ai meme compte que cent vingt-cinq livres au lieu de cent quarante pour le poids de chaque homme, tant a caufe que la vitefle avec laquelle ils defcendent , diminue un peu Taction de leur pefanteur fur la machine , que pour avoir egard aux frotttmens, quelque peu coniiderables qu'ils foient. II faur deux ou trois fois plus de terns aux hommes pour remonter fur les plateformcs que pour en defcen- dre ; ainfi on aura deux ou trois autres bandes de foi- xante-quatre hommes pour entretenir le mouvement & tenir les plateformes garnies de gens toujours prets a defcendre. Celt pourquoi on deftinera deux cent cin- quante hommes ou environ pour faire faire demi-lieue par heure a ce grand vaifleau. II en faut beaucoup moins pour les vaifleaux plus petits. Leur travail eft tres-modere > ce qu'il y a de plus penible , e'eft de monter fur les plateformes par des echelles. Ce n'eft plus un travail de forcat comme fur les galercs. La proportion qu'on mettra entre la roue A , la roue DE , 5c les roues B 6c C , donncra celle que nous fouhaitons entre la vitefle de la defcente des hommes Sc celle que doivent avoir les vannes. Si on veut que celle- ci foit de fix pies, tandis que Pautre n'eft que d'un pie, on pourra faire les diametres des roues A & D de quatre pies chacun , & celui des roues ou timpan B Sc C de deux pies. Si A l'action DU VENT. 53 Si les plateformes font elevees de douze pies , on pourra charger l'echelle tournante de deux etages d'hom- mes, les premiers auront leurs pies fur la traverfe ou echelon O P , £c leurs mains fur la corde M N ( Fig. i ), tandis que les autres mettront leurs pies fur la traverfe KL, qui eft eloigneede fix pies de OP, & leurs mains iur la corde Hi. Les cordes doivent etre pres de cinq pies au-defllis des traverfes ou echelons de bois. On peut, fi Ton veut, garnir route l'echelle d'eche- lons de bois de deux pies en deux pies , &C de cordes cntrc deux. Un homme occupera environ deux pies de largeur fur cette echelle. lis peuvent cependant en cas de neceilite s'y tenir un pen de cote , n'appuyant qu'un pie & une main. II eft aife de calculer la-defius le nom- bre qu'il en faut , 8c la largeur qui leur eft necef- iaire. On peut encore multiplier 1'erTet de cette machine , en ne lui donnant pas un mouvement continu. Nous avons vu, dans la premiere partie, qu'il etoit tres-avan- tageux d'augmenter la vitefle de la puiflance, pour pou- voir augmenter en meme terns fon bras de levier , e'eft- a-dire , fon eloignement du point d'appui ; ce qui re- vient au meme que de diminuer le bras exterieur de la. •rame. Or la feule raifon qui nous oblige de ne donner qu'un pie par feconde de vitefle a Techelle tournante, e'eft la difficulte de la faifir lorfque fon mouvement feroit rapi- de. On peut cependant remedier a cet inconvenient, & augmenter fa vitefle, fans oter la facilite de s'y placer commodement. II faut pour cela ne faire defcendre qu'un feul rang d'hommes a la fois. Dans l'inftant qu'ils feront a terre, le mouvement fera fort diminue, parce que la roue a vannes ne recevra plus que la feule impul- non de la vitefle du fillage. On profitera de ce moment pour faifir l'echelle & s'y placer. Rien n 'empeche alors de faire defcendre les hommes Prix de 1753. E 34 Manure de supplier. avec une vitefle beaucoup plus grande , comme par exemple avec cellc de cinq on fix pies par feconde, qui n'ell pas exorbitance, puifqu'on les iraic Convent en mar- chant. L'acY'on de leur pefanteur nc fera diminuce que de pen , comme il eft aife de s'en convaincre. S'ils def- cendent, par exemple , d'une hauteur de quinze pies avec cinq pies de vitefle par feconde , il faudra fouftraire les quinze pies qu'ils parcourront pendant les trois fe- condes qu'ils emploieront a defcendre, des cent trentc- cinq que leur pefanteur leur auroit fait parcourir pen- dant ces trois fecondes, pour juger de la force qu'elle confervera pour agir fur la machine. Cette maniere de calculer la diminution moyenne de leur pefanteur ell afiez jufte lans etre veritablement geometriquc. II fau- dra dans ce cas donner des proportions differences aux diametres des roues j les problemes precedens fervironc ales determiner, felon les circonftances. Si on craint que la vitefle du Tillage ne conferve trop de mouvement a la roue a vannes , & trop de rapidite a l'echelle tournante pour etre faifie commodement . on pourra la reduire a pen de chofe , en employant des vannes qui ne refiileront que dans un fens , & cederonc fansdifficulte, lorfqu'el les feront preflecs dans une direc- tion contraire. Quoique ce moven ne foit pas toujours abfolument necelTaire , il peut etre employe ires-uti- lement. Les deux rayons B D, A C de la roue a aubes {fig- 4) dellines a porter une vanne , auronc des plaques r s & tv percees d'une ouverture ronde, dans laquelle tour- neront librement les deux exr£mites mSs.11 d'une verge de fer attachee a la vanne F G. Ainfi cette vanne fera appuvee par les rayons B D & AC, lorfqu'on voudra qu'elle augmente le mouvement du vaiiTeau , & cedera au contraire a la preflion de 1'eau lorfqu'elle fera poui- fee de 1'autre cote. On peut faire en fcr la portion des rayons ACS*. BD A LACTION DU VENT. 35 qui eft deftinee a etre plongee dans l'eau ; elle en aura moins de volume, &: eprouvera par consequent moins de refiftance. On aura foin de leur donner, du cote de la prouc, une furface qui diminue la refiftance, & de mettre leur plus grande largeur dans le fens parallele au vaiffeau. II eft a propos que les vannes de bois F G aienr plus de pefanteur fpecifique que l'eau , arin qu'elles fe refer- ment plus promptement. Quelques lames de fer oil dc plomb les rendront plus folides & plus pefantes. C'eft par la meme raifon qu'il peut etre utile d'en mettre plufieurs etages fur les memes rayons, commc en rs Sc tv. Ayant moins de largeur, & par confequent moins de chemin a parcourir pour fe fermer , elles appuieront plutot fur les rayons B D & AC, lorfque Taction re- commencera. & il y aura moins de terns a perdre. Les deux extremites m , n de la verge qui porte la vanne, etant inferees dans les plaques rs & tv, pour- ront, fi Ton veut , porter chacune une ecroue qui em- pechera les rayons B D & A C, de s'ecarter , 8c rendra tout Paflemblage plus folide. II faudra pour cela qu'el- les foient taillees en forme de vis. On peut aufli les ar- reter plus fimplement de la meme maniere que les roues de charrette font arretees fur leurs eflieux Cette conftruclion de roue aura audi l'avantage de diminuer la reliftance nuihble des vannes pendant l'in- ftant de Pinterruption. Elle n'eft pas confiderable , & retarderoit peu le Pillage , a caufe du peu de frottemens de toute la machine, qui fait que la roue cederoit aife- rrient , quand meme les vannes ne feroient pas mo- biles. J'ai calcule par le Probleme fixieme Peffet de cette machine pour un vaiffeau de 70CC000 de livres, ou de 3^00 tonneaux, & dont la fntface de refiftance feroit dd 1 50 pies. C'eft un vaifieau plus grand !k plus pefant que ceux qui font en ufage. Cependant il y a lieu d'etre E ij 3 f> Manierf nt supu^er etonne du pen do mdnde ou'il faux pour lui dooncr pres de demi-lieue de vitefie par heure. J'ai fuppofe, comrae ci-devant, fix roues a valines de douze aubes chacune, de fix pies de rayon 2c de trois pies de large, la plateforme elevec de dix-huit pies , pour donner a l'echelle tournante fix pies de vitelle par feconde, pen- dant trois fecondes confecutives. Je n'ai compte que cent livres de poids a chaque homme, laiflant les qua- rante autres tant pour la vitefie de lcur dcfccnte que pour les frottemens 6c la refinance de la roue a vannes pendant l'intcrruption que j'ai fuppofee de trois fecon- des ; ce qui eft mi terns plus que fuffifant pour donner aux travailleurs le loifir de fe placer a leur aife fur l'o- chelle , & a la roue de rcprendre fon mouvemcnr. Seize a dix-fept hommes fuffiront pour donner deux pies par feconde de vitefie an vaifleau , lorfque celle de l'extremite des vannes fera de fix pies. II faudra un plus grand nombre d'hommes fi les van- nes ne font pas mobiles , parce que les roues etanc mues par la vitelTe du fillage , lorfque l'echelle eft vuide , on ne pourra allonger le bras de levier de la puifiance que jufqu'au point ou l'echelle vuide ne garderoit qu'un pie de vitefie , afin de pouvoir etre faifie aifement. Je fuis perfuade qu'on pourroit auffi, fans vannes mo- biles, diminuer la vitefie de la roue a aubes pendanc l'interruption , par le peu de mechanifme qu'on em- ploiera dans les cordes qui communiqueront le mouve- mentj on peut en imagincr quelqu'un qui donnera a la corde la faculte d'entrainer la roue avec elle, fans donner a la roue a aubes celle de faire mouvoir la corde 6c de communiquer fon mouvement a l'echelle tournante. On peut conclurre de tout cela que ces roues ne per- dent pas lcur avantage fur les autres moyens de raire mouvoir les vaifleaux, quoique leur action fcit inter- rompue, furtout fi le tems de l'interruption n'eft pas plus long que celui de 1'action. C'eft raeme la maniere A L' ACTION DU V E N T. 37 la plus commode de dormer une plus grande viteffe au Tillage du vaiffeau fur lequel j'ai fait tous ces calculs , fans augmencer le nombre des roues ni leur rayon. Par exemple, cent foixante hommes fur les echclles tour- nantes lui donneroienc quatre pies de vitefle par fe- conde , s'ils en avoient une de cinq pies, & fi la cir- conference de la roue a vannes mobiles en parcouroit douze dans le meme terns. J'ai cu egard, dans ce cal- cul, a la hauteur 011 le mouvement des vannes fait vefter l'eau au-deflous de fon niveau. Celt une atten- tion qu'il ne fauc pas negliger dans ces fortes de cas. II fera toujour? utile d'elever les plateformes le plus qu'on pourra , pour que le terns de faction foit plus long par rapport a l'autre. Je crois auffi qu'il eft a pro- pos qu'un de ceux qui font prets a faifir l'echelle , donne on fignal avec la voix a tous les autres du meme rang , afiri qu'ils le faffent tous enfemble. Quoique je croie l'avantage des roues demontre , j'avoue cependant qu'il yades cas 011 la fimplicite du me- chanifme des rames ordinaires , lorfqu'on ne manque ni de monde , ni de place , pourra plaire par preference a une machine qui epargne a la verite le nombre d'ouvriers, mais qui elt plus compofee. Je ne blamerai pas alors ceux qui les emploieront. J'ai tache de donner, dans la premiere Partie de cet ouvrage, les principes neceffaires pour decider de ce qui convient le mieux a chaque cir- conllance. Je n'en dirai pas davantage , d'autant plus que j'ecris pour des ledeurs fi eclaires , que fi le fond de mon idee pent leur plaire, leurs lumieres fuppleeront au detaut de la maniere de l'expliquer, FIN, INVESTIGATIO PERTURBATIONUM Qiiibus Planetaram motus ob aBioncm eorum mutuam ajficiunair. Autore Leonardo Eulero, Mathefeos Pro feflbre , Academiarum Parifienfis , Berolinenfis & Petropolitanae Socio. Sidera quod tantis cieant fe viribus sequis In motu terrse plurima figna docent. HacDijJertauo meruitP mmium duplicaium anno M..DCC.LVI* PrixdeijbG. P RjEFATIO. l A N E T A s non folum ad Solem fecundum inverfam diftantiarum rationem dupllcatam im- pelli, fed etiam fimili ratione fe mutuo incitare ex perturbationibus motuum Saturn! & Jovis manifefto eft perfpe£tum. Cum enim Tabulae Aftronomicse ita conftrui foleant , quad pla- nets ad folum Solem follicitati fecundum regu- las Keplerianas in ellipfibus revolverentur , fi ex iis loca Saturni vel etiam Jovis definiantur ea nonnunquam ad plura minuta prima a ve- ritate aberrare deprehenduntur ; neque jam ullum eft dubium , quin ifti errores ab a&lone mutua , qua hi duo planets fe invicem impel- lunt , prorkifcantur. Reliquorum quidem pla- netarum motus ac prscipue terras regulis illis Keplerianis magis eft conformis, ac fi quando errores in eorum motu a Tabulis occurrunt , incertum plerumque eft , utrum illi vel non re&e conftitutis Tabularum elementis , vel ipfarum obfervationum imperfe&ioni cuipiam potius fint tribuendi , quam ipfi Theoris , cui Tabulae innituntur. Interim tamen jam ipfa Aij 4 P R JE F A T I O. tabularum ratio , qua pro quolibet planeta tam lines abfidum quam linear nodorum motus peculiaris affignatur , manifeftum indicium aberrationis cujufdam a Theoria continet : fi enim planets nullam aliam impulfionem prs- ter earn qua fecundum rationem quadrati dif- tantiarum inverfam ad folem urgentur , fuiti- nerent , non folum circa folem tanquam fo- cum perfe&as defcriberent ellipfes , fed etiam perpetuo in eodem piano ferrentur , axefque iltarum ellipfium omnino fixi manerent; neque idcirco linea abfidum neque linea nodorum ulli obnoxia foret mutationi, faltem refpeclu ftellarum fixarum. Ad hanc quoque normam computatse funt a ftretio Tabular Carolina* , in quibus tam apheliis quam nodis fingulorum planetarum in coelo lldereo loca fixa affignan- tur; at vero infignis harum tabularum a veri- tate diffenfus mox luculenter monflravit, huic hypothefi locum concedi non pofTe. Cum igi- tur certum fit tam aphelium quam linea nodo- rum cujufque planets motu peculiari per coe- lum proferri , atque etiam refpeftu ftellarum fixarum continuo mutari ; minime amplius du- bitare licet , quin prster earn vim conftan- tem, qua finguli planets ad folem pelluntur, alis quoque vires in eos effe&um quempiam exerant. Quemadmodum enim in Saturno & Jove prster alias perturbationes ab eorum ac- P R JE FA T I 0. j tlone mutua utriufque linese abfidum & nodo- rum certus imprimi motus eft inventus obfer- vationibus fatis confentaneus, ita multo minus dubitare poterimus , quin fimilis variatio in apheliis & nodis reliquorum quoque planeta- rum ab eorum a&ione mutua proficifcatur , etiamfi in casteris motus horum planetarum elementis nulla alteratio perciperetur. Sunt autem effe&us talium virium in loca aphelio- rum & nodorum ita comparati, ut etiamfi fint minimi , tamen cum tempore continuo cref- cant, & poft fatis longum intervallum fenfibi- les evadant dum reliquse perturbationes inde oriundas funt periodica?, & poft certas revo- lutiones iterum penitus in nihilum redigantur, unde fit ut fi fint minims , percipi omnino non poflint. Interim tamen Theoria motus tellu- ris , cujus elementa per obfervationes Solis multo accuratius definire licet quam reliquo- rum planetarum , haud obfcura talium mini- niarum perturbationum figna exhibet , dum cxcentricitas ejus orbitse prouti alia atque alia tempeftate per oblervationes inveftigatur , modo aliquantum major modo minor depre- henditur, quae inconftantia ad integrum minu- tum affurgere videtur. Quibus perpenfis palam omnino eft non folum motum Saturni ac Jovis, fed etiam reliquorum planetarum ab aliis viri- ons prater earn qua lege conftanti ad Solem 6 PRJEFATIO. pelluntur, perturbari , earumque adeo effec- tum ab Aftronomis manifefto elle obfervatum. Quamvis enim Aftronomorum Princeps Hal- leyus Mercurii niotum ab hujulmodi pertur- bationibus prorfus immunem fit arbitratus , propterea quod ob lummam iolis vicinitateni reliquorum planetarum vires prse vi Solis quart evanefcere crediderit , qua fententia fretus in tabulis l'uis etiam neque Aphelio Mercurii neque ejus lines nodorum motum ullum ret- peftu ftellarum rixarum adfcripfit : tamen ex poftremo potiftimum tranfitu hujus planeta; per folem Aftronomi didicerunt Halleyi Tabulas infigni emendatione ex hac parte indigere , dum aphelio Mercurii motum annuum quad 55", ejufque nodo 45" ratione squinoxii tri- bui dcbere eft compertum ; ex quo manifef- turn eft etiam Mercurium a&iones reliquorum planetarum lentire ob eafque certis perturba- tionibus efle obnoxium. Cum igitur extra dubium fit pofitum pla- netas in fe invicem attrahendo agere , difpi- ciendum eft quamnam rationem eorum vires refpeftu ad diftantias habito fequantur. Ac prse- terquam quod conftantia naturae eandem legem quadratis diftantiarum reciproce proportiona- lem , quam in Sole ftabihtam cernimus , exi- gere videtur , Theoria Lunas atquc Satellitum Jovis & Saturni hanc fufpicionem plenilnme P R JE F A T I O. 7 confirmat , ita ut amplius dubitare non liceat, qu n Jupiter Saturnufque fuos Satellites , & Terra Lunam ad fe alliciant viribus quadratis di tantiarum reciproce proportionalibus ; & quamquam motus Apogei Luna? aberrationem tantillam ab hac lege innuere effet vifus , ta- men a celeberrimo Ci.AIRAUT primum pul- cherrimus confenlus eft evi&us , ita ut jam au- da£ter afTeverare queamus non iolum Soiem fed etiam cunclos planetas vi attra&rice efTe pra?di£tos , qua omnia corpora ad maximas etiam diftantias remota adfe pra?cife fecundum illam conftantem legem attrahant. Quin etiam pari fere fiducia pronunciare licet , fingulo- rum planetarum vires, quas ad diftantias aqua- les exerunt , ipforum maflis efle proportiona- les , id quod communis centri gravitatis fla- tus poftulare videtur : de ca?tero maffam feu quantitatem materia? , quam quifque planeta continet , aliunde nobis cognofcere non datur; nihilque impedit ; quo minus id, cui vis abfo- luta cujufque planeta? revera eft proportiona- te , nomine mafia? ejus defignemus ; hinc fal- tem nullus certe error eft pertimefcendus.Terra igitur perinde ac reliqui planeta? omnes non folum verfus Solem, fed etiam verfus fingulos reliquos planetas viribus legi ifti facra? confor- rnibus follicitatur , a quibus fine dubio pra?ter promotionem illam apheliorum & nodorum 8 P R JE F A T I O. alix vehementer exigua; pcrturbationes efE- ciuntur , quarum inventio in Aftronomia fine dubio maximi eft: momenti. Hinc nafcitur quasftio latiflime patens ad Mechanicam referenda , qua determinatio mo- tus plurium corporum , quae fe mutuo attra- hant in ratione reciproca duplicata diftantia- rum , requiritur; cujus iolutio eo ardentius ell expetenda , quod omnia incrementa Aftrono- niis , qua; adhuc defiderantur , ex ea derivanda videantur. Verum enodatio hujus quajftionis tot tantifque difficultatibus eft involuta , ut fi in genere fpecletur , vires ingenii humani longe fuperare videatur; etfi enim cafus duo- rum corporum facilem babeat folutionem , tamen ftatim ac tria aflumuntur , nulla adhuc inventa funt artificia, quorum ope ad motus determinationem pervenire licuerit , unde multo minus pro cai'u plurium corporum quic- quam iperare pofiumus. Interim tamen cum perturbationes , quas planeta* fibi mutuo in- ferunt, fint perquam exiguas, neque ex , qua? ab a&ione unius oriuntur, a reliquis afficifint cenfendse; hinc non contemnendum fubfidium, impetramus aliquid faltem in hoc arduo nego- tio praeflandi , dum effeftus fingulorum plane- tarum feorfim inuefligare licebit, & quoniam Hint minimi , confuetis calculi approximatio- nibus , quarum in hujufmodi quseftionibus uberrimu? P R JE F A T I O. 5) uberrimus folet effe ufus , totum negotium confici debebit. In hunc etiam modum Illus- TRIS ACADEMIA ReGIA PaRISINA iitam quEedionem tra&andam judicavit, cujus prse- ceptis ut pro viribus fatisfaciam, operam dabo, ut primo hoc abftruffimum argumentum ex primis Mechanicse fontibus dilucide evolvam; atque ad xquationes analyticas perducam : turn vero quibufnam modis ex iis aliquid per approximationes concludi queat , accuratius inveftigabo. Denique przecepta qua: elicuero, ad perturbationes motus terras accommodabo, examinaturus , quantum fingula hujus motus elementa ab aftione reliquorum planetarum continuo immutentur , quod inftitutum fe- quentibus ieclionibus abfolvere conabor. Prix de 1756. B INVESTIGATIO PERTURBATIONU Quibus Planetarum motus ob actionem eorum mutuant afficiuntur. SECTIO PRIMA. Generalis invejligatio motus corporis a viribus quibuf- cunque impuiji. >.s §■ -l- c_7 umatur pro lubiru cum planum , ad quod motus corporis referatur, quodque piano tabular reprs- fentari concipiatur , turn vcro in hoc piano linea recla fixa C A , atque in hac ipfa pun&utn fixum C, ubi quad motus fpeftator fit confticutus. Jam ad quodvis cempus, ubicnnque corpus motum verfetur vcluti in R , de ejus loco R inillud planum demittatur perpendiculum RQ, ita ut pun&um Q ejus locum ad hoc planum relatum cxhibeac , deinde etiam ex ptmclo fixo C ad ambo loca B ij Fie. 1. II Investigatio PERTURBATION U. VI R 6c Q ducantar recta: C R Sc C Q. Quo facto per- fpicuum eft , fi ad quodvis tempus alfignare valeamus cum angulos ACQ & QCR, turn magnitudinem five recta; C Q l\ve CR, locum corporis R perfecte fore cognitum , indeque verum corporis motum innotefcere ; ita ut plena morus cognitio determinatione horum trium elementorum contineatur. §. II. Hoc autem potilfimum modo inveftigationem motus inftituo, cum quod viderur maxime naruralis , turn vero prarcipue quod ad confuetudinem Aftronomo- rum , qua motus corporum cocleftium confiderare fo- lent , imprimis eft accommodatus. Namque fi planum fixum tanquam planum ecliptica: fpe&emus, reciamque C A tanquam rectam ad ejus quodpiam punctum fixum direclam , corpore moto in R exifiente , angulus A C Q ejus longitudinem, angulus vero QCR ejus latitudinem referet ; & quemadmodum recta C R ejus diftantiam veram a puncto C denotat, ita recta CQ diftantiam ejus curtatam defignabit , quarum alteram tantum in calcu- lum introduxifle fufficiet. Vocemus igitur pro quovis tempore propofito. I. Longitudinem corporis feu angulum ACQ = habetur diftantia vera CR =4- feu C K = jSt pofito finu toto conftantcr = i. Turn vero ipfa diftantia corporis a piano erit Q R = x tano; &. P Q~ x Jin.

= /> 5 P <2 = x Jin. q> = q Hi QR =^ x tang. •^ = r ; ficque habebimus x= V (pp -+- q a ) j cq/.

*= ^„„!o-,„, & "*# 4 = V{PP-+-H1) J ViPF-hvi) ° ytpp-4-qq) §. I V. Ha:c autem motus elemenra ex follicitatione virium qnarum a&ioni corpus fuerit fubjectum , fecundum prarcepta mechanica determinari opporter. A quibuf- cunque autem viribus corpus impellatur, eas Temper per notam refolutionem ad ternas directiones determinatas rcvocare licet. Concipiamus igitur corpus a tribus viri- bus follicitari , quarum prima urgeat fecundum direc- tionem R Q ad planum fixum normalem , binarum au- tem reliquurum directiones finr ipfi piano parallels ; al- tera quidem habeat directionem diftantia: curtatx Q C parallelam , altera vero huic normalem , curl in piano rixo parallela fit recta QiVad CQ normalis. Iftas vires ftatuamus acceleratrices, five jam ad corporis mafTam ap- plicatas , eafque denotemus : I. Vim acceleratricem fecundum QC= V . II. Vim acceleratricem fecundum QN — T III. Vim acceleratricem fecundum RQ=z=R Ita, ut, quomodo per has vires terna ilia elementa

r Tcof.fy III. Vis acceleratrix fecundum RQ = R. §. VI. Quoniam a&io harum ternarum virium ad diminutionem coordinatarum refpondentium tendit , accelerationes qua: corpori inde fecundum eafdem coordinatas inducuntur negative font concipiendar. Cum igitur pofito temporis elemento = dt, fint cor- poris celeritates fecundum has coordinatas ~$ ^ & j^j fi elementum temporis it pro conftanti aflumamus, erunt ipfx accelerationes fecundum iftas d i reel: i ones 7"P> 7$ » ZTsj C P X viribus illis acceleratricibus nega- tive fomtis debent efle proportionales. Proportionalitate ergo, uti fieri folct, ftabilita obtinebimus ternas fequen-. tes xquationes. I. ddp =z — \dt^{ Vcof. cp — T fin. -*- dd qfin.

; q — x fin. q> & r = .v fang". 4- unde loco quantitatum fubfidiariarum^, 5;, /-, elementa noftra principalia cp, 4 & ■* in calculum introduci pore- runt. Tres autem emergent sequationes , qua; propterea his tribus dementis deriniendis fufficient : atque ita tota inveltigatio a principiis mechanicis ad Analyfm puram traducetur. §. V 1 1 1. Cum fit p =s x cof. (p&q = xfin.

dp—dxcof. cp — x d-i-zdxdq cof.q> — xd

~ddpfin.qi=idxdq)-i-xddq). .Valorem autem ipfius r = x tang. 4 nulla adhibita evo- lutione tantifperretineamus, donee compererimus, quo~ modo aptilfime eum traftari conveniat. Hoc itaque pa&o totum negotium ad refolutionem triura fequen- tium azquationum erit perdu&um : I. ddx — x dtp- = — £ Vd t z II. 2dxdq>-*-xdd($== — i Tdt 1 III. dd. x tang. 4, as — f R dt\ \G Investigatio PERTUR.SATIONUM §. I X. Cum hx xquationes fint differentiales fecundi gradus, temporis difFercntiali dt fiimto conftanre, pri- mum difpiciendum eft , quamnam proportionem diffe- rentialia prima dq> , d~\, & dx cum inter le turn ad tem- poris differentiale dt teneant , quod etfi fine introduc- tione formularum integralium fieri nequit , quamdiu vires follicitantes V-, T &i R in gcnere confideramus , ta- men ex proportionem quxfuam minus perturbare lunt cenfendx. Quin etiam in negotio quod fufcipimus, ipfx vires V, T &: R quantrtates incognitas ,

— \fTxdt 1 feu xx d <$ — \ d t {C — / T x d t) unde fi vis Tfecundum directionem Q N~ trahens eva- nefcat, oritur xquabilis arearum defcriptio. Hinc au- tem patet eandem illam xquationem integrabilem reddi fi multiplicetur non folum per x, fed etiam infuper per fun&ionem motusPlanetaruxt. 17 functionem quamcunque ipfius xxd

Mulciplicecur ergo per xd

ericque integrate : \x* d §- = — \ d t l fTx* dtp, feu x* d tp 1 — d t 1 {A — fTx>d unde invcnictir , i'^' „ , xxdq> dt'-ssz- ,.„ , & dt = : A — fTx>dd(p) t hoc valore in prima arquatione fubflituto habebimus: ddx=*dtH±—iifTx>i*r-\r) 9 qua: per idx multiplicata & integrata prarbet: dxL = dr-(B — ^ — zf^fTx~frdx).Atefr — ip^fTx)ddy—fTxd(p quo valore introdu&o erit : dx 1 = dti{B-^ + -±-JTx'>d(p-fTxd-dx x =df- (Bxx - A-h/Tx -+.Vdx)) , ±dxV{A — fTx< dy) ^ xV[Bxx— A-\-fTx> d<9—xxJ(Txdt?-i-rdx,)' §. XII. Ambiguitas fignorum , quam motus nacura involvit, ita ab arbitrio noftro pendet , ut pofitivum va- leat , fi motum ab eo loco, ubi corpus puncto fait pro- ximum , definire velimus , negativum vero fi a diftantia maxima difcefierit. Quoniam igiturinAftronomiaufuseft, motnm corporum a maxima difrantia computare, valeat fignum negativum, ut habeamus has duas arquationes: j — * ^ x V(Bxx — A-hJTx>dd>? — xxflTxdt?-hrdx)) > Prix de ijb6, C i8 Investigatio terturbationum cujus pofterioris loco & hxc primum invenra dip = ±Ly/(j4 — fTx'->dp) ufnrpari poteft. Suntautem^& B quanticar.es conftantes , per duplicem integrationem invcdar, qua: deinceps ad quemvis cafumoblata: accom- modari debent. §. XIII. Quando vis normalis !Tcvanefcic, altera- que vis f^ ad C tendens per folam diftantiam x determi- natur, utraque a-quacio habebit variabiles feparatas , ita ut non folum difTerencialium it &i dip ratio ad dx ab- folute poffit affignari , fed etiam per integrationem ipfx quantitates finitx t 6c cp per diftantiam x definiri : hoc- que ergo cafu problcmatis folutio perfecla poterit exhi- beri. Neque vero in genere ha: formula: magis ad ufum accommodari poffe videntur. Sed contentos nos efle opportet, hoc pacto rationem differentialium dt , d

:jFdx hanc ipfam rationem involventes, ex tamen negotium approximationis non multum turbant, dummodo earum valoresfint perquam exigui, propterea quod tunc fufficit rationes differentia- lium prope veras nolle. Verum ipfum approximationis negotium alias requirit confiderationes , antequam cum fucceffu fufcipi queat , quas deinceps evolvemus. §. XI V. PerducYis igiturbinis prioribus xquationibus differencio-differentialibus ad formulas fimpliciter diffe- rentiales , qua: ad ufum maxime videntur accommo- datz , tertiam quoque jcquationem ddr = — \ Rdt'- inftituto convenientius transformare conemnr. Qua: cum latitudinis \ determinationem ob r = x rang. -\, conti- neat commodilfime ea inftituetur, fi more apud Aftro- nomos recepto lineam nodorum cum inclinatione orbitae ad planum afflimtum in calculum introducamus. Hunc in finem confideretur quovis momento planum , quod punclo fixo C & fpatiolo a corpore jam jam percurrendo motusPlanetarum. I J determined!?. Quodqtie pro ifto faltem tnomento pla- num orbitae appellare liceac. Si: igicur dum corpus ver- fatur in R reda C D. interfe&io plani orbita: & plani afiumti, qua: linea nodorum vocari folet, acque ad lati- tudinem -^ eommodius inveftigandam ponamus : I. Longitudinem linea: nodorum feu angulum y?Cn=T, II. Inclinacionem plani orbita; ad planum affumtum =£> qua; duo nova elementa tanquam utcunque variabilis con temp lor. §. XV. Ad inclinacionem aucem defimendam ex punclis R & Q ad lineam nodorum Cd ducantur nor- males RS 2c QS , quarum inciinatio feu angulus QSR inclinationcm metietur, ita ut fit QS R — G. Deinde ob angulum o.CQ = tp — it & CQ= x, eric QS = xjln. ( tp — tc) ; unde fie <2 R = xjin. (

ficque ex elementis unde differentiale ipfius -\> feu «/*£. 4 idem prodire debet five elementa ambo tt&C G fumantur con- ltantia , five ambo variabilis, ex qua proprietate relatio inter ■* & G innotefcec , qua: locum quartaJ aequationis fuitinebit, fi quidem jam quatuor elementa x , iifdem autem tanquam variabiles tra&atis prodeat d. tang.\ -{dtp- d it) cof. (rzdx d. tang. •<]/-*- xdd tang. 4 = — {Rdr-. Veruminvenimus: tang. 4 =/«. (

/• (

unc ^ e °^ :■ <»<*. C dy di \ _ five oV ung.^=dd?(cof. (—*) "H ,^ _ ^ ) la H- G - Quibus valoribus fuftitutis tertia aequatio induct hanc formani C -\- d dx fin. {q>— *)-+• id xdt) cof. {-(?— »)-+-^7^r?j * motusPlanetarum, zi At ex binis prioribus arquacionibus erat : ddx — xdip 1 =± — \Vdt* & i dxd

d T & R pra; vi ^ quad cvanefcant. §. XXI. Pofito autem F=¥ x + S cntfrdx — zL[+fSdx Sc xxfFdx = —-ffx + xxfSdx t quo valore in noftris formulis furrogato habebimus, T J —xdx ' l V{Bxx-+-ff x —A+-fTx'di) — xx(fTxd<9-t-{Sdx l )' II. d drfTx> dy —xx (fTxd<(-{-J~Sdx)) ' m.d^^ d '" fm - [ ]-^ v. 1 x d 9 f XX J? \ \j- f fin,{Q—>x)+S fin. (/ (dv— P p{fTxdQ+.fSdx)J dxzsS— —\r <—ffpqcof.v-i-lAqcof.v—zqcof.v.fTx'd, M^--i!=}m—%tfTxdf±fMx). § XXVI. Valoribus igitur p & q ita ftabilitis, ut earura variabilitas tantum a viribus T & S , quarum adio eft valde parva , pendeat , obtintbimus inde : Ipfam diftantiam curtatam x = nryr^-: , Ejufque differentiate . . . dv)c=¥J{\bff--fTxSdi) i vel etiam dq> = g %< ±> ^ Ol^iM. Sicque commodius differentialia dx & quod vero ad binas pofte- riores attinet , qua; ad latitudinem fpectant , eas dein- ceps fcorfim confiderabo , quia earum evolutio non tan tis eft fubjefta difBcultatibus. Hie igitur ita binis priori- bus inhxrebo, quafi binae pofteriores prorfus abeffent. §. XXVII. Verum conditio, qua effe debet dx=x — fgdtfen.v . n p , — - exiitente x =. 7-, novam determina- V 1. p 1 — qcoj.v motus Plane ta rum. ij tionem continec , qux indolem anomaliae vera? v 8c quemadmodum ejus differentiale fit comparatum defi- niet. Cum enim fie i — q cof.v. = - eric, differentiando & pro dx valorem — - ' fubftituendo: — d q cof. v -+■ q d v fin. v = ~ ■+■ - — — - y \p-> fell qdv f»l.V.=q + d q Cof.V + f l^V \P. Per valores autem pro p &c q fupra inventos , etiam harum quantitatum differentialia innotefcunt : eric enim J p= .. T-Tx^d") Txdli/~__ _ L 7 _ fj,l/i. o. ft d ^ V f zp dp pp z Tdt T xd ff V 2 p ■+■ x x y zS dx zl ■fin. p Txdt ff iS q d V fPP fV l P fubftitutis pro dp, dtp & dx valoribus invencis. Qua formula porro evoluta oritur : zqdq Tqqxdt Txdt Tdt iS qdt fin.v. = 7- V2V-*-- Vip "-V1D + TT, P fPP r fPP ^ f* r f y '-P qua; ob p = x ( i — q cof. v) reducitur ad hanc formam : , Txdt , /■ , / Spdt fin.v dq== 7 ^-(lCof.V—q — qcof.vi)>/2p-*-— VT y-. §. XXVIII. Cum igitur fit: .. Tdt iT x d i (\ — q cof. v ) . ^ = -v / 2 /> = V ia ent j r z f p r dp Txdt , . , Spdt fin.v cof.v • — +dqcof.v= [).cofiV*qCof.v-qcoJ.v l — z)Vip-*- — » * >-fp fV L P hxc forma ob i — cof. v t =fn. v r perducitur ad iftam x dlfin. \ fvip ., , r Txdtfin.v* , r , Spdt fin.v coj.v <-l+dqcof.v= *-{ x -. qco f. v )+ — T¥T7 -> Dij i8 Investigatio perturbationum quo valore in fuperiori expreffione pro qdvjin.v in- venta fubfbicuto , divifione fa&a ycr qjin. v, habebituri 7 fJ' i /" Txdtfin.v Spdtcofv dv= - V tP 7T (* — qcol.v)-*- -r— • x x ~ 1 r j qV 1 p v 1 J J :;V ip Hare aucem porro, ob x ( i — q cof. v) =p, tranfit in for- mas fequentes : , f,. ,, Tdi fin v . Txdftfn.v.cof.v. SpJicof.v dv—xHvlP 7 — v:b j~ »- -~ — , feu Si fV i P fi**t . fJ , pJi[lTjin v — Scof.v) Txdifin.vcof.v , dv= f £i>/\p— 7-5 jt-. ,veleuam x x ir j i]V ip JV i p J fn i\ xdt{Sccfv.(l — qcof.v) — Tfin.v.{i — qcofv}) dv—riViP-* TT, x x t.£ J q y i p §. XXIX. Quoniam porro eft: r Yip e i i /" . . f'l d t fin. v fTxU$ = ffTxdty\p „ ^ . ,• ~S q d t fin. v . . fSdx^-ff \/ p , ideoque /T* , II. Excentricitatemejus = q, III. Atque anomaliam veram corporis =s v. Unde cum longitudo corporis pofita fit = — v. § XXXI. Ex his igitur dementis ellipticis primo deducitur diftantia curtata C Q =x ope formulx x = • — j unde nofito angulo v = o collisritur diftan- I — Q COjw y L O O ria abfidis fumma: = ~ & pofito v= iSo° diftantia abfidis ima: a puncto C = ~ , quarurh fumma 73^- prxbet axem tranfverfum orbira; elliptic?: , cujus prop- terea femiffis eft = — p — , & femiflis diftantia focorum = 7^T7- / : turn vero femi axis conjngatus erit = v , ,^ r , -. Deinde vero ipfa corporis longitudo feu angulus ACQ —

Vi ^/V i; i—,acof.v §. XXXIII. Secundo incrementum excentricitatis ve ^ etiam d i = 7 (* 7a ^ r + ^-^ v ~ r=7^fvj ^ } in qua formula ultimus terminus prae binis prxcedenti- motusPlanetarum. 31 bus erit valde parvus , fi quidem excentricitas q non adeo fuerit nocabilis. Cognitis igitur viribus T & S cum anomalia vera, hinc facile colligitur, quantum excentricitas intervallo minimi tempufculi dt immute- rur , quemadmodum ex formula pracedente variatio femiparametri^o inotefcic. §. XXXIV. Hinc etiam definiri poteft variabilitas axis tranfverfi elliplis , cum enim ejus femiffis fie =^—^~ erit ejus differentiale : , ,, (1 — qq) dp-\- 1 p q d q d.7=n— t.-Vs;).; ~- Quod fi jam valores pro dp &c dq inventi fubftituantur, reperitur redu&ione rite fada: d. r^ = — y~^(y {T—qlTcof.v+ SJln. v )').'.' Quare fi femi-axis tranfverfus ponatur = /-, ut fit r = i^Yi , Ob <0$J* = rr\/ }, fict r rd t _, ' TyTp (■* — ~ p (_Z>-JL_ ^ Tfvu v — S cof. v)Y\ P , five fl V 1 — 5 coj. V J Hinc igitnr patet motum linex abfidum eo fieri notabi- liorem , quo minor fueric cxcentricitas q > qua evanef- ccnre etiam in infinitum abire videtur. Verum notan- dum eft, quo minor fueric excentricitas , eo minus re- ferre verum linex abfidum locum nolle. §. X X X V I. Poftremo ad eadem element* rcducere porerimus xquationum principalium (§. XXI) binas pofierioresj cumenim fit dq=%~ >/\p erK inv == FV^p » mutationes momemanex, quas cum linea nodorum turn inclinatio orbitx ad planum fixum fubibunt, ica per tem- pufculum minimum dt erunt exprefix : Unde latitudo 4 itadefinitur in fit tangA'=sJin.< um perturbationes , quibus pla- nets principales fe mutuo afficiunc , lint vehementer parvs , dum uniufcujufque planetac perturbationes in- veftigamus , motuin reliquorum tanquam regulis Kep- pleri perfecte conformern fpectare iicebit: tantillus enim error, qui hac ratione in motu planets perturbantis ad- mitritur, in effectu multo minerem, hoc eft evanefcen- tcm producere eft cenfendus. Quoniam igitur qusftio ad planetas principals adftringitur, pun&um fixum C in centro folis aflumi convenietj Sc quia motus planets perturbantis in piano fieri poteft judicari , hoc ipfum planum pro piano illo fixo, ad quod motum planets turbati referre conftituinuis , commodiflime affumemus. Cum enim invenerimus. quomodo motus iftius planets refpectu hujus plani immutetur , facile ent perturbatio- nes ad quodvis aliud planum in ccelo fixum traducere, ficque inconftantiam , cui planum orbits planets per- turbantis eft obnoxium, exuere. §. X X X V 1 1 1. Conveniat igitur planum tabuls cum piano orbits planets perturbantis , in quo Cfit centrum folis , & CA re jandifque redis R C & Q C , fit ut ante : I. Ejus diftantia a fole cartata feu reda CQ =x II. Longitudo ejus feu angulus ^CQ . . =

F_ dd' vis acceleratrix ad planetam tendens . . Hinc itaque planeta in R urgebitur primo ad folem fecundum R C vi == ' " , deinde ad planetam in ^fecundum Z?^"vi = — . Quoniam vero ipfe fol quoque ad planetam V follici— tatur fecundum C V vi acceleratrice = f y , ut folem in quiete retineamus hax vis fecundum dire&ionem contrariam Qv in planetam R transferri debet, hinc- que ifte prasterea foliicitabkur : Secundum directionem Qv vi = — . X. yy Quin etiam ipfe planeta V omnino ad folem urgeri cen- fendus eft fecundum VC vi = - ~*~ - -, quam modo pofueramus = ~. §. X L I. Nunc vero ante omnia vires planetam R follicitantes revocari debent ad diredtiones QC, QN & RQ, ut inde valores virium afllimtarum V, 7 & R obtineanrur. Ac primo quidem vis fecundum RC = ££££ prabet XX i E CO ft "X ' • »_^ Secundum directionem QC vim =» — — — pro ti r y Secundum diredionem i?Q vim = — '-—■ — provii?; *Eij 3 6 Invest igatio Perturbationum Secunda vis fccundum RV-=. £, ob QR — x tang. 4-, & ^72 = (• , prxbet Secundum diredionem R Q vim = — - = r— pro K- F.O P" Turn vero fecimdum Q V vim = — — qua: , ob QVcof.CQV = — ycof($— 8 ) -4- a; & <2 ^/«. CQV = y fin. (

iv vim = — pro vi -/ 5 Denique tcrtia vis fccundum Q v — yy> °^ CQ^v^=

(i — j?i )/?«.(

a * { ' nihilque fupereft , nifi ut hx exprefliones in locum lir- tera'um V, T & R fubftituantur. Quoniam vero an- gulus 4 Temper eft valde parvus, ejus cofinus proxime ad unicatem accedet ; unde cum pofuerimus V~ £ ■+- S t ita uc fit MOTUsPlANETARVM. 37 pro//*afTumi poterit E ; & quamquam ante invenera- musff = E ■+■ F , tamen quatititas F pra: E tam eft exigua , ut nullus plane error fit metuendus , fi pona- mus ff = E i ita ut habeamus : $ = n -4-— — Fy (± — /,) w/ ^ — 9). §. XLIII. Antequam autem hujtfs redu&ionis ra- tionem habeamus , fubftitutio virium V> T & R in arquationilms variationem linea; nodorum & inclina- tionis continentibus commode fieri poterit , qua; eo magis ell notatu digna , quod uti jam innuimus termini a vi perturbatrice non pendentes deltruantur. Cum enim fit tans:. G = zr-j—. — factoris V fin. (

— ^-^rr/zz-fa-tt)-— *> (?— £) c °f- (

(h—Ti)fa- (V — §cof. (

er ' c ^O^- (

Ec anomiliam veram . . . . r= v > ita uc fie i — f cj d t fin = — *—. -&^ = in v -qcof.v V i p primo variationem parametri ita invenimus expreffam T x d t Tp dtV i p qua: ideoque hanc induet formam : dp — j (:j — 7i)Vip> neque enim adhuc pro x, y & j valores fupra defigna- tos fubftitui conveniet, quia illi nonfolum jam func motusPlanetarum. 39 cogniti , fed etiara eorum differentialia per dt exhiberi poffunt ob y = '—— - ,dl = du=a— \f{ c, & J i — e cof. u ' y y : o = a u =s Vie §. XLVI. Secundo excentricitatis q variatio §, XXXIII eft invents d q ^{Tcof.v + Sf in .v + T/^)Vy p , feu ubi recordari debemus efle: T=Fy{h-~±)ftn. ( ' acs &idy = — aed a fin. uV' s at pro planeta perturbato : d$ = ^Vapi &\ f ap~-^naxyd a >{~j i )fin.{^-^.y/ap > / lT S _ T q fin. v- \ , dq = ad< i \ K -cof.v+- E fm,v—- k ' T ^ Zrv y>/ap* ad«{*.T r S T gJ! nvcof.v \ dv-dv=-( K -fin.v--cof.v+ tT ^ fv ) Vap,Sk. d *±.Va P -*JZ (lLf.n,- *«* + £> 'Jt2*Z\la/k dv X x q \ E E E i — qcoj.v/ r Si ulterius femi-axis tranfverfus r^-^r ponatur = r, erit dr= rp ( i — ~ E qcof. v—j qfm.v), uti ex §. XXXIV colligere licet. §. XLIX, motus Planetarum. 41 §. X L I X. Simili modo &.' mutationes, quas linea no- dorum & inclinatio orbitx tempufculo, quo fol fecun- dum medium motum per angulum da> progreditur fub- cunc, exprimi poterunt. Poiito enim F=-n E, & folis diftantia media a terra = a , quoniam invenimus : . nji.Vu .Fdt , „ Fdt , 7-= — ^ erIC -J=nadavia, & j— = naduVji formula; fupra exhibita: abibunc in has : d* = — naxyJucqf.( —r n) d. 1. tans:- (* = 7^~ = a 7C - — ; :• O tjng.G Jin. {if — ir ) Per has igitur formulas omnium quantitatum, quibus determinatio perturbationum continetur , incrementa , qux* tempufculo per motum folis medium da> expreflb capiunt, defmiri poterunt, neque hactenus ulla appro - ximatione fumus ufi, nifi quatenus pro motu planeta; perturbantis loco F-t-F fimpliciter E fcripfimus, unde autem nulla aberratio a. vero oriri poteft. §. L. At vero in calculi fubfidium jam multo gravio- rem hypothefin aflumfimus , dum motum planeta: per- turbantis , quern in ^fingimus, tanquam regulis Kep- pleri perfede confentaneum fpedamusj fi enim ifte pla- neta eflet Saturnus, cujus motum non mediocriter ab ac- tione Jovis turbari novimus, nullum certe eft dubium , quin ejus perturbationes efFedus , qui ab ejus adione in motum reliquorum planetarum redundant, aiiquantil- lum eflent affedura:. Interim tamen pro certo ftatuere licet , iftas variationes incomparabiliter futuras efle mi- nores , neque effedum Saturni vcrum fenfibiliter efle Prix dt 17 j 6. F 4i Investigatio perturb ATION UM difcrepaturnm ab eo, quern regulas Kcpplen exacte fe- ciitus , eflet produclurus ; imprimis cum conllet, univer- fam permrbacionem efle quam minimam , atquc adeo nos contcnti efle dcbeamus earn cantum vero proxime determinafle. yEque parvi autem moment! line ullo du- bio arllimanda eric ea aberracio , qua: dum pro E •+- F tantum E feu i pro i -+- n femper ell fraclio quam minima. §. LI. Non parum paradoxon videri debet, quod etiamfi vis planeta: perturbantis , leu fraclio n penitus cvanefceret, tamen pro alcero planeta tarn excentricitas q quam linea abfidum mutationibus eflet obnoxia : prop- terea quod evanefcente fraclione n , quantitas -| non in nihilum abeat , fed valorem = — ! — — . retineat-, XX quo utrumque differentiale dq & dtp — dv afficitur. Verum perpendendum eft , quod dum orbitam planetae in aliud planum projicimus , projeclio quidem quoque fucura fit elliplis , fed cujus focus non amplius futurus fit in punclo C. Etiamfi ergo motus projeclus fiat in ellipfi, arexqueadeo circa punclum Cdefcripta: tempo- ribus lint proportionates , tamen quia in C non eft focus elliplis, motus regulisKeppleri non erit conformis. Cum autem nihilominus fingi pofTet quovis momento elliplis focum habens in C, cujus elementum cum illius ellipfis elemento congruat , mirum non ell hujus elliplis ficta; tarn excentricitatem quam pofitionem linea: abfidum continuo variari : notatu autem ell dignum parametrum ellipfis femper invariatum rclinqui. §. LI I. Cum igitur cafu n = o hoc incommodum penitus evitaremus , fi motum planeta; non in piano alieno fed proprio contemplarcmur , idem quoque in- commodum in genere evitabimus , fi mocum quovis motusPlanetarum. 4J tempore ad planum orbits ipfum referamns, ita ut x diftantiam veram C R &

&c

deinde vero feoriim ad quod- vis tempus tarn pofitio lines nodorum quam inclinatio inveftigetur : & his denique inventis more apud Aftro- nomos recepto ex loco planets in propria orbita ejuf- que argumento latitudinis ipfa latitudo eliciatur , cum reduclione lono;itudinis. §. LI 1 1. Hanc ob caufam qusftionem noftram com- mode bipartico pertra&are licebit dum feorfim primo motus planets in propria orbita , quafi eflet plana , deinde vero hujus orbits pofitio refpe&u orbits pla- nets perturbantis inveftigatur. Primo igitur x denota- bit diltantiam veram planets a fole , &C

= 9 } fi brevitatis gratia ftatuamus M=y(± — ±)/In. (

fin. w. 1/ 7 j •s I — t coj. u ' J J d $ = d u = - — v a a x— — —i dx= — a q d a> Jin. v. 1/ =• ; 44 Investigatio Perturbatiokum hunc valorem tribuamus , ut fit d ca = ■147-^", feu in partibus radii, pro quo unitatem aflu- mimus, d a = 0, 00071672 , reliqua difFerentialia dp, dq, dq — dv , dq> , dx , dv, d. tang. G , d§ = du , & dy incrementa horaria iftorum elementorum exhibe- bunt, qua; igitur fine ulla integratione definire licebit, dummodo pro tempore propofito ipfa ha;c elementa fnerint cognita. Neque etiam error erit fenfibilis, fi hoc modo variationes diurnas tribuendo ipfi da> valorem vi- cies quater majorem definire vellemus, dummodo neu- trius planeta; motus tempore unius diei admodum fit notabilis. §. LVI. Si quis hunc laborem fufcipere vdlet, totum negotium fine integratione expedire pofiet. Cum enim pro dato quopiam tempore t explorati fuerint valores elementorum fingulorum , quibus determinatio motus continetur, inventis fingulorum incrementis horariis, colligemus hinc eorundem elementorum valores ad tern- 46 In vestigatio perturb ationum pus t -+- i hora ; unde deinceps ilmili modo eadem ele- menta ad cempus t -+- 2 horis obcinebimus, ficque ad tem- pora quotcunque horis remota progredi licebic. Interim tamen quia in fingulis gradibu-s error quidam , etiamfi in fe fpe&atus fit infenfibilis committitur , is per conti- nuam repetitionem ita accumulabitur, ut tandem fatis notabilis evada*. Neque etiam is minoribus hora inter- vallis ailumendis quo pacto qnidem labor omnino infu- perabilis redderetur, evitari poflet, etfi enim finguli erro- res herein multo minores tamen ob majorem operatio- mim numerum tandem quoque ad magnitudinem nota- bilem excrefcere poflent. §. LVII. Nifi igitur integratio in fubfidium vocctur, fperari omnino nequit, ut iingulas motus perturbatio- nes unquam exadte definire valeamus , vel faltem ut tem- pore quantum vis magno interje&o error non fiat nota- bilis. Hue quoque accedet, quod priori methodo uten- tes ad nullum tempus , unde calculum inchoare velle- mus , per obfervationes fingulorum elementorum veros valores affignare valeremus , ideoque etiam hi errores fequentes operationes plurimum contaminarent. Quando autem integrationes in genere perficere licuerit, turn per obfervationes plurimas diverfis temporibus inftitutas , dum ear cum calculo generali conferentur, veri fingu- lorum elementorum valores colligi poterunt , quibus femel definitis formulx integratx perpetuo ufum defi- deratum prxftabunt. Quocirca ad perfectam omnium perturbationum cognitionem abfolute necelTarium eft , ut formulx difFerentiales inventx per integrationem ad determinationes finitas reducantur. §. LVII I. Ac per reduftiones quidem ha&enus fac- tas jam eximium commodum fumus confecuti , quod formulas differentio-difFeremiales, ad quas principia Me- chanica nos immediate perduxerant, ad formulas fimpli- citer difFerentiales revocaverimus , quse nullis amplius motusPlanetarum. 47 formulis integralibus fint involute, quemadmodum ufu venit in iis quas primum (§. XXI) elicueramus , qua; partim ob irracionalitatem partim ob integralcs, vix trac- tari potuiflent. Praxipuum autem commodum fine du- bio in hoc confiftere eft cenfendum, quod omnes for- mulas ad fimilitudmem motus regularis , feu notiffinlis Keppleri regulis conformis explicuerimus, quae redu&io quoque ad ufum Aftronomicum maxime videtur ac- commodaca. Neque etiam amplius premimur ejufmodi formulis irrarionalibus , quarum valores ita fint vagi , ut modo in nihilum abire , modo etiam negativi fieri queant , uti in formulis §. XXI ufu venerar. §. LIX. Verum antequam integrationis negotium fufcipiamus , nonnulla moneri eft necefle , qnibus ope- rationes inftituendre dirigantur. Cum enim integratio- nem abfolutam ac perfeclram nullo modo fperare quea- mus, ad approximationes confugere cogimur , in quo negotio cum multa arbitrio noftro relinquantur , prouti alias atque alias particulas negligere velimus , praecipua cura hoc erit collocanda , ut nihil negligamus , unde error fenfibilis refultare poiTet. Ex circumftantiis igitur judicari opportebit, quid raftione fingulorum elemento- rum negligere liceat : ac primo quidem cum n fit frac- tio tantopere exigua , quippe qua ratio mafia; planeta; perturbantis ad maflam folis exprimitur , nullum eft du- bium , quin ejufmodi terminos , qui per quadratum hujus fradlionis altioremve poteftatem eflent multipli- cati , fine harfitatione rejicere queamus. Ex ipfa autem hujus numeri n parvitate cognofcimus , perturbationes efle quam minimas , quae adeo omnes evanefcerent fi eflet « = quin mutationes , quas ea unquam ab a&ione reliquorum planetarum fubit, prx ejus valore medio quafi evanefcant. Quare fi valor me- djus excencricitatis q ponacur = k , differentia inter k motusPlanetarum. 49 & q pra: k feu fractio £-^- 7 femper tanquam minima tuto fpe&ari poterit. §. LXII. Maximam autem in hac inveftigatione moleftiam nobis faceffit valor quanticatis j = V{xx-t- yy — 2 x y. cof. [

v ,

ut fit j = V(rr — rrscof(q> — (j)) = /V(i — scof.($ — 6;), atque hie perfpicuum eft s Temper efle imitate minus nifi fit x = y-, & eo fieri minus, quo magis diftantia: x & y fuerint inter fe inarquales : hinc ergo multo magis pars s cof. (

i, & cum fcr=V(xx+yy) & s= -^~j, erit f = /V( i-scof.v), ideoque ^j = f , (1 — s cof. n) ~i i unde formulam irra- tionalem (1 — scof.n)~T in feriem evolvi opportet. Modo ergo communi adhibito reperiemus : qua: feries , dummodo s coj. » fuerit unitate minus , uti quidem femper ufu venit , certe convergit. Interim ta- MOTUS PLANETAR.UM. 51 men nifi s cof. « fit valde parvum nimis lente convergit, quam ut aliquot terminis colligendis ejus fumma fatis exacte obtineri queat. Verum hie quoque commode accidie , uc dum hxc feries per fequentes integrationes traclatur , multo promtiorem convergentiam acquirat , quod nifi eveniret , non perfpicerem quomodo qusf- tioni propolita; fatisfieri poflet ; neeeflkas tunc cogeret inveftigationi mutationum horariarum unice adha:ref- cere , illafque pro quantumvis magnis temporis inter- vallis in unam fummam colligere. §. LXVI. Verum cum potentates ipfius cof. » in dif- ferentiale dn ducbe integrari nequeant> nifi prius in co- finus angulorum multiplorum 1 » , 3 n, &Cv convertan- tur, quoniam differentiale dn ad noiirum commune dif- ferentiate da> reducere licet, eadem conditio poftu- lat , ut hujus'co/Ix poteftates in cofinus angulorum multiplorum refolvantur id quod ope noti lemmatis: cof. a. cof £ = 4 co f (*-«-£) -t- k cof. (* — G) facile prae- ftatur, reperietur enim cof. n = cof n , cof. r\ l ={ cof z m -H I , Cof. » ' = 4 C0f 3 M -J- I Cof y , cof n "> = I cof 4 m- 1 cof I » -+■ f, co/. >i J = i cof 5 „ -+-^ co/T 3 M •+• fi co/ X , Co/ >, « = i cof. 6 n -+• £ cof. 4 * -1- f| cof. i » •+■ " , co/; „ 7 =±cof 7 * -+- £c°/ 5 m ■+• fjco/: 3 * ■+- \\cofyi, cof « 8 =mcof 8 n+iro/ 6 m- n| co / 4 i + igw/ 2 * **" M> &c « §. LXVI I. Quodfi hi valores fubftituantur , obti- nebitur ( 1 — s cof. » ) ~i l ^l. SC0 f y ,^Ll^ iSSC0 f 1 .^LLl 6 .L s ^ C0 f^^Ll^.l^C0f.^ > 5* Investigatio perturbationum Unde Ci ponamus ( i — s cof. ») ~j_ P ■+■ Q s cof. » ■+■ R s s cof. i » -+- S s 5 cof. 3 » •+- 7 1 J ■* co/] 4 » -1- , &c. hi coefKcientes aflumti ita defmiencur uc fie: jP = I -4-Li ijj^-ilZ- 9 i j4-t- J-LZ2JH1 12 c<-4.&r 0=i fTJ-i2 i« ..I- 579.ii 10 4 5191 "!'; li ,6 j_&; c \ J? \Jl\ . 7-9 4 7 9_1LD li - 4 , 79'M;'?I7 £6 « & x ■"■ Hii^d.8' 8 J *^6.8 io.il- 5i J ^^Sg.io ii H ><>• H8 - * -l"**- 1 -^ ° 1.4 6 U "^ gTo- I? s s ^ 8 io. II. 14- M ; -t-CvC.J - 1 1.4 « 8 Vg ^ IO. II- 31 J J ^ wv - 1 -- ^ r — 2. 4 6 8- 10 ii«^' xc -; §. LXVIII. Hinc igitur habebimus: £ = j(P-t-Qsc<,f.*-)-Rsjcof. i .-f- 5 s cof 3 »-+-7V cof. 4«-f- &c) atque feries pro />, Q, i?, 5, &c, inventa: facis con- vergunt, ut hi valores per confuetas methodos appro- ximando erui queant. Sequenti modo autem in alias formas transfundi poflunt , qua: aptiores videntur ■* * ^4 4 ,>J ^4-4 8 8 •* ^ 44 8 8 H II S ^" ° iC ' IO ifl4-I^ r. J. 5-7.9-H f 4 . 5-7 9 II. i;. 1? t « , frr i l\C 4\ 1 T 4 ,jJJ-f 4 .j.,. u . ^+ 4.8.8 II. 11.16 ' ^ K C'J 1 R=iLl (1 J.*.' i jj , 79111; i ,4 . 79 Hi;- 15- 17 4 t « , 8, rl Z ** 44W + 8S' I "^J8 H"'4' 1 ^ 8 8 II II. 16. 16- J J -I" OtC.J i. C '- ,7 fl J-5^- 1 ^ r r-l-9 " '!-'5 'j4, 9 11 1? if 17 1 9 4 .6 . a, r \ 1 J 4.4~g ^,7^8 li* 4 •> •> ^ 8.11- Ii-16* f J f 8u iz.ii. 16.10- 6 S ~r OlC.) IT ; 5 79 /i-t ,_ Hi; jj f .. ii.ij.ij .i? ?4 4 . 11 1 ; 1517 191 1 4,5 c 6.fr n \ 7. ■*■ 4488 M 4 ^^11 li'4'5 ^^ 11.11 lS 16*5 6° ^ r II II 16 16 10 lO- 67 J -t-CXCJ I Z^ 3 57.9.II (Li j_ "3J.5 i_i . 1 ; 1U7.I 9 3^4 4 . o, v i ' 4 488 11 U 5 ~ IM6- 56- J J ^^ 11. 16 16. io- 6.7 J t^ t\.t./ 1 X — L^7,9ji2i / L2J . 15J[7 _ij^4 . n it 19. 11 ; 45 c 4 . & r v 1 -^ 4-4-8-8.11 11 Uj6' ^^ 16. 16- 5- 6-7 J -* ^^ 16 Ifi. 10 IO - 6^8 •> ^^ "-t. J §. LXIX. Nunc perfpicuum eft fingulas has feries in infinitum concinuatas fieri creometricas , denomina- tore exiftente ssj quare ear ii per 1 — ss mulcipli- centur , multo magis convergences reddentur. Hoe modo confequemur : MOTUS PlANETARUM, 53 z / M I -*'\J =aB: 44\i^8S , 5 JJ ^8 S Ji n'r + 88UU 16 16" 5 J ^ (xl -) i ° ^ J J ''/ ==! 44 S>5^8.11'4 • JJ ^8.11.11.16 J J ^8.11 I116.I6.lo- 6 J +0wl "i 1 TV 1 c s \ — ?-?-7.9 /Li 7_9 L-i f 9 7. 9. 1 1 1 ; i_4 .4 . s, r , t l I 1 ss ) -—4.4.8.8 w~$* nrn- 4 .!" + iiriTT6Ti6- /rs - f -t-o-c.j i Z^f r if) =— >'-' 7 » ' ,. ' ('— L .+. 2_U *J f f _i_9- I I. M.I t L_4 - 4 . *r r \ 2 yC r , ,\ ; ?.7. 9. II. 1} f '■*■ j . I I . I i l. j 4 I „ , Or„ \ T-41 1 — Jj j — 4.4. s.8. 11.11 i?T-6 ■+• I6.-P6- yTi ss ■+" &c -) LV(i f f \ ;.?■ 7. 9. ii. M M M- i. j . n. it i.;.4 . o, , 1 ^ ^ — Jl V — 4.4.8-8. 11 11 16 IjTeT? "+■ 16TT5- fer^fj-f ■+■ &C.) iZ(r— ffl *' f - 7 9 "'i l(17 l" 1 '4 1 't- 17 13.45 . o r „ \ , ^U — J^; — 4-4 8,8. m- ii. 16.16 (y^Tx ■+■ £ofio< g-f-f-j J J -+-&C.) &c. • §. LXX. At vero non opus eft ut finguli ifti valores evolvantur , fufficit enira duos priores collegiffe , ex quibus reliqui per feqnentes formulas facile formari po- terunt. R __ 4 = v/H(^ pofito poft integrationem \ = s : qua: expreffio eo raa- gis eft notatu digna, quod ejus Veritas inveftiganti non tarn cito occurrit. Interim tamen expediet quovis cafu, quo valor ipfius s datur, aliquot terminis harum ferie- rum achi addendis earnm fummas prope veras colli- gere , qucd negotium eo promtius fuccedet quo minor merit Humerus s. Hoc igitur modo inventis quantitati- bus P, Q, R> S y &c. erit ii=h {p-*-Q.s cof.ti-*-Rss cof.in+s s ' oof.} H+TS^Cof.^Yl-i- &c ) brevuatis gratia autem pofuimus : r = V {xx ->ryy ) , & s = - }^ jy . §. LXXI I. Pro faciliori autem quantitatum P, Q, i? , S, &c. computo conveniet ferierum illarum coe'tfi- ckntes infraAiones decimates transformari , unde obti- nebitur , fubferiptis logarithmis MOTUS PLANETARU M. 5J P (l— ss) \q.{i—-ss) f*(i— ss) {S(l—SS) -f- I, oooooo -f— 0, 750000 -f-o, 468750 -f-°>*73437 o, ooooooo 9, 8750613 9, 6709413 9, 4368580 ■""" 0,061500.11 -f- 0,070313.11 -f— O, I4649O. .51 -f-o, 149536.11 8, 7958800 8 , 8470316 9, 16579I3 9, 1747461 — 0, 014648. 1 4 -f-o, 015635.1* -f- 0,071098. 1 4 -f-o, 091515. 1 4 8, 165791$ 8 , 4088194 8 , 8579110 8, 9661614 — , 0, 006409. s 6 -f- 0, 0131 18. 1 5 -f-o, 044983. 1« -f— 0, 061647. *' 7, 8067694 8 , 1111634 8, 6530468 8, 7969035 p — 0, 005580. 1* -f- o, 008055. s l -f- 0, 018517. 1 8 4-0,045167,1' 7,555 g 655 7 , 9060481 8, 455M57 8, 6548181 — 0, 001181. 1'° -f-o, 005410, l'° -f- 0,010315.1'° -f- 0, 034088.1" 7. 3583457 7 , 7340094 8 , 3080408 8, 53M953 — 0, 001581. j 11 -f-o, 003896. J 11 -f-o, OI5H7.1 11 -f-o, 01663 1 >i" 7, 1988961 7, 5905873 8, 1813473 8, 4153853 — 0, OOIIf^.i' 4 -f-o, 001935. f'« -f-o, 01 i8ii.i' 4 7 , 0641480 7, 4675831 8, 0726486 — ,0, 000883. i' 6 -f-o, 001190. 1 16 < 5 > 9477098 7, 3 598895 •— 0, 000700. 1' 8 6, 8449800 : . 3**; * *#•# *.*#* * - 56 Investigatio Perturb atiokum SECTIO V. Evolutio formularum differ entialium in fenes Jecundum jinus cofinusve angulorum funpli- citer progredientes. §. LXXIII. Vuoniam defeftus Analyfeos ne- ceffitatem nobis imponit omnia integralia, quibusopus eft, per feries fecundum Gnus cofmusve apgulorum fim- pliciter progredientes exprimendi , iimilem formam fin- gulis formulis difFerenrialibus induci opportet. Cum igi- tur primum pro planeta perturbante fit y = t=t;~" » erit terminos qui quadratnm excentricitatis e altioref- que poteftates involvunt omittendo : y = c ( n- e cof. u) ; & j-. = £ ( i— i e coj. u ). Deinde cum fit d$ = du = aiaVac , habebimus yy. d = d u = ffy d a> (i — 2 e cof.u). Quia enim hujus motus ratio tantum in perturbationes ingreditur non opus eft has formulas accuratius evol- vere. §. LXXI V. Simili modo cum pro planeta pertur- bato fie x = — > erit : 1 — q COj. V j; = 77 (' -*- i 7 7 — iqcof.v + kqqcof.zv), in qua nihil eft neglechim. Hac igitur erit utendum, ubi non proprie quxftio circa perturbationes Verlatur, ex hac enim formula > etiamfi nulla contingent pertur- batio, motus Plane ta rum. 57 batio, moms planetae regularis deduci deberet. Id quod evenic in detiniendo clemento moms veri d q> , quod parti m fequimr leges Kepplcrianas , partim vero mini- mis inxqualitacibus perturbamr. Illo refpe&u verus ejus valor capi debebit , qui erit d Q =^ p d c* {l + { q q — 1 q cof v ■*- { q q cof.lv). Quatenus vero idem valor = - — d oi ( 1 — z k cof. v ). r bVb v J ' §. LXXV. Quia formulB.— & — - calculum ma- xime ingrediuntur ponamus brevitatis gratia : " Va - - ' &■ " Va - - TVb ' ~c ficque erit pro formulis permrbationes implicantibus : dQ = d u = m d a> (i> — z e cof. u) , & d

— 9 nonnifi in hoc negotio oc- currat , quoniam pofuimus

{\ -*-{qq — 2 qcofv-*r\qqcof x v). §. LXX VI. Nunc agrediamur valorem ± , qui quo- niam tantum in perturbationibus inert: , minores ejus parriculas negligere licebit. Quia igitur pro eo pofui- mus v' {xx h- y y) = r y eric ^ = ( x x -+- y y) ~t > {b b { i ■+- i k cof v) + cc(i + ie cof u ) ) ~i , ideoque I I 3 b b k cof v — 3 c c e cof. u 7> == (bb-hcc)\ {bb-hcc)i ' Ponamus brevitacis gratia V (bb-\- cc) — /", ut fit: I i 3 bb k cof. v y c c e cof. u Deinde cum itidem pofuerimus s = x l+ y y j 5 fiet per eafuem pofitiones: i b c ( I -f- k cbf.v) ( i -f- e cof. u ) J En — ' j ff -+- i b b k coj. v -f- i c c e coj. u quae exprefllo pari modo evoluta evadet : lie zic(cc — £ £ ) A co/I v ib c (c c — b b) t cof. u s= — + -p -p §. LXX VII. Quo etiam Iianc formulam conimo- -diorem reddamus , ftatuamus : ibe 1 b c cc — bb cc — bb . •77=rr~r — =/* & — tf~ r=_ — =v, ut uu-i-vv = i j em ff bb-^cc ~ ff ib-t-cc ' r ™ — r — &tv= • His autem valonbus intro- Sf x ff 1 du&is , habebimus J, =p (I — | (i — v) it cof. v — {.(n-v) ecofu), & s=ii-^-(jLikcof v — fx. v e cofu=n (i -*-vkcof v—iecof. ;/), unde pro litteris P, Q, i?, &c. fit MOTUS PLANETAR.UM. 53 s l = ju. l ( n- 2 * k cof. v — 2 y e coj.u)\ s 3 = fx. 5 ( 1 •+• 3 v £ cc/ v — 3 v e coj. u ) j j4— =^4 (1 -*- 4.V kcof.v — 4.1 e caf. u)' y s [ = p s ( 1+ 5 y £ co/I v — 5 v e co/ « ) } &c. tarn vero porro : 1 — ss = yv — 2 ju-'-y^ cof.v-*- i/x l v ecof. «, hincque I I 2 /" J A ro/ u 1 m 1 e cof. u 11 §. LXXVIII. Si his valoribus adhibitis formulas §. LXXI1 evolutasad calculum revocemus, 8c quantita- tes P, Q , R , S , &c. inveftigemus , ex fequenti modo exprefla; reperiencur : £ = p (g ■+- ^ k cof. v ■+■ I e cof. u) > &l= I (g' ^Ukcof.v^H e cof u)i $-'«*£ (g" -*■ A" kcofv-t- I" e cof. u) i §« £ ($'" -+- A'" £ a>/ v -+- /'" « co/. « ) ; &c. quovis enim cafu valores idonei pro g y A, I, g', A', /', &c per merum calculum numericum reperientur , quos ergo numeros tanquam cognitos fpe&are licebic. Hinc kaque elicimus i=^,X -g -*-g cof. » •+■ g"cof 2 « -4- g 1 " cof. 3 n -hk cof. v-h I h'k cof(y,—v)+- { A 1 'k cof ( 2 n— v)-t- \ A'"k cof.( 3 n—v), H- Y A'/t co/(» -+- v)-t- i A"£ cof(i»-*- v)-t-i- £'"/& co/(3m-v) ) I -Ucof.u-*-\ I'ecofi* — k)-*-y /"e co/r(i))^-a)+f ^c ^>/(3>i — u), | -»-|f* w/(n + «)-»- i/'tf co/(2»-j-tt)-»-i/'"e c^(j, + i,), 8cc. §. LXXIX. Nunc paulatim ad valores litteramm M 8c N definiendos procedere poffumus. Cum enim Hij 6o Investigatio terturbationum _ „ _ y fin. » Jin. » . . . , . fit M = — — , pnmo habebimus i J yy l yj!2ll == L tf Ln , „ — efin.(n — a) — c fin. (»-4-a)). Deinde ob y fin. »=c {fin. » -j-j tf/F/z. (» — a)-f- efin. (»-*-« J)» y Jin. * eric T=/,X •+-£/"•» +-fr/5».*» 4-ff'5f*3» •%-\f r jiiu4t [ + {geJin.('—u)-]-ig'eJin.(i>i—u) — ^g"jin.> — ig!'/B.t» ■Tff*i& 1 ' (•+*)+• ?«''/«• [*»-H0 —y''fi»- (» +■ ») — is"'«y*U*»HN««) -iA*}&i.(» — vJ-f-iAV-C" — v )+?g"-( t "-"] -±lcfm.{n — u)^-$lejL {i»— a) -f- ig'V /7/i- (3 » +-") +■?«'"'>• (4» + a) j ■i/e>.(«-H«)-hir«y&i.(l»H-^ — jA"A>-( » — v)— iA"V/i.(2»-v) .+■ \li'kfin. ( j« — v) -+- ^/"'kfin. (4 » — v) r- ii"*>. ( 4-v) —i/rkjin. 1 u+v) I -t-iA'V«-(3"-H»') -+-**"*./?»■ (+»-f-v) ' — if •* l+'Sg'-Ofi^ I,(/_i ?')>.'(»— a)4-4''— /")y?i.(i— a-f- if(f — /"")/«. ! 3 — a; -i(f "— g"")Jn. 3-+i-^A— T-4 ";>•(— ^^(A— n'"l/in.{ i»— 1 )■+- j * A"— /,"">.( 3 — v) ^ to'i -Hrt!»— T*"|/' , -)"- t -i'-+*{A— *V* ■)*"— v]+£*(tf'— *';/{/> (3""fv) J — 7i W' n - ' — e fi n - ( • — ") efin. (.1 -h a)). &C. In qua exprefllone lex eft manifefta , cujus ope plures termini, fi quis laborem fufcipere velic, formari pol- motus Plan eta rum. 61 funt. Si quidem nnmems ^ = bb , eft valde par- vus, quod evenic, fi quantitates b & c multum a ra- tione squalitatis recedunt , vix ultra litteras g , h , / una virgula notatas progredi eft opus j etfi autem ex quantitates propius ad a;qualitatem accedunt , tamen calculum vix ultra binas virgulas continuari eft opus, quia per intcgrationem ha; feries admodum redduntur convergentes. Ob eandem caufam multo magis terminos per ee } kk & e k affe&os rejicere licuerat , prxter- quam quod excentricitatem utramque e & k valde par- vam aflumimus. §. LXXXI. Deinde cum fit N => x ~ ycof ' + ff." \ * yy habebimus primo Cof M I — =* - {cof >, — e cof. (k — u) — e cof. (» -H u ) ) , porro veto , ob x = b ( i •>+■ k cof v ) , & ycof.n=ic(cof.v->r\ecof. (» — u) ■+- { e cof. (»-+- «)), erit valor ipfius N—}- t (cof* — e cof (* — u) — e cof (>h-w)). *t--L l + k(g-^/ l )cof.v-h±k(g'-+-/ 1 ')cofh — v]-i-{k! s ''-+-ti')cof.(i» — r] fl-^lecofu -\-! £ k^-\-h')cof.(* + v)-+-±k( s "-l r h")cof.{-L«-> t -v -t-ii'ecof.(»-t-u) 4_i/" f/> +7 lg'-hf)cof. 2 « A k pi -j- A A") co/ (. — v) ~ A* (/,'-{- h'") cof. ( i . — v i « fe 4- t g") «/ <» — ") -+- ix (?'•+- g'") «>/ (» »— * < fe -t- i g") «>/ (» -t- *) 4- ^ (g'-f- g'") «y: (*»-*-« 1 I (/ 4- i fl C0f. (» - „) -+- i , (/-+- /") CO/ (l » — «)1 4- | e (/ -f- ± i") co/: (» -+- u) -f- a />* +T*(g *[* )-.W(.+v) \o"cO f> Attendenti autem mox patebit hanc excentricitatem e fine errore fenfibili negligi poflc, unde his poftremis for- mulis ucemur. §. LXXXIII. His jam valoribus pro M & N inventis ipfa differentialia quibus perturbationes concinentur ad formam defideratam reducere poterimus. Quod igitur primum ad variabilicatem femiparametri p atcinet, quo- niam invenimus dp = — 2 n Max d uv' ap in hac expreflione ob n minima loco p ejus valorem medium b & loco x valorem b ( 1 -+- k cof. v) fcribcre licebit , unde fit : dp = — znab da>. Af ( 1 -»- £ cof. v)V ab> feu iT = — z n a V a b. M (3 •+- k cof. v) d a>. Gum autem pofuerimus aV a =i by/ b, eric — = — 2 n i b b Md a ( i -+- k cof. v ) ; hincquc pro M valorem inventum fubftkuendo motus Planetarum. 6y ' bb — da {fin. n -H { kfin. (» — v)H»\ kfin. (»h- v) ) j "' (+ f te-g"')/*. x*+\k (g 1 - ?+ h'. h").\f-<; •-% v l/n.(i»-+-vJJ ubi ex denominationibus fa&is eft — = -1/ - = ' — -, & 1 * c i • * i /I — v . i b b c -jj = /*, hincque ob j=y —^— , ent — ^ — = (tV -7" Quare ex cognita ratione motuum mcdio- rum habebitur 2 jj i i mm t y i* • — ^«i ** "^h + ^h' v jji++ % m 4 §. LXXXIV. Pro variabilicate autem excentrici- tatis 7, quia ea quoque eft minima , in ejus expreflione ponamus itidem p = b & q ==. k, & quoniam termi- nos qui quadratum hk continerenr, negligimus eric ob #y/ a = i b v' b; d q =■ n i b b d a (M(i cof. v — { k •+• {kcof. 2v) -t- N fin. v ) ; unde pro M & N fubftitutis valoribus obtinebicur: dq = ^^- — da ( \ fin. (» — v) ■+• [fin. (« 4- v) — -} &_//«. »H- i k (in. (n — :v) + { kfin. ( » ■+■ 2 v ) J »;*' , C . •¥\g'fin.{y)-*-v)-*-\g"fin.{2*-4-v) H — -?— a a <-*- g in. v f I -lg>fin.(»-v)-{g"fin.(i»-v) 1 — ^(^A')/«.(«—iv)— i/t(g"+A")/«.(*«— *v)J 64 Investigatio perturbationum "7" r*^* 1 "^ • . 3 f)Jin.{i,-i-v) . i A' A/ n - i vrHi*( 4 *-r * / '"— l g+ g". ■/'"•'] iu<;i- //'-+- tg— i")jf* (» — - - ; it(i a — 3 //'-t-i? — £ ")/"■(" + 1 v ) .iii(>;/-if-s'+s7"" . ; A ( , A' & A'" -+- g* -£"') J* (* ~7'*3 h i A (A __ 5 K"-*-s — i">f ,n - i' 1 " + z «0 §. LXXXV. Pro mora aphelii autcm habcbimus neclio-cndis fimili modo minimis terminis , & pro a>i a fcribendo ibV b > ( / ? _ ( /v = ^(M(z/,v + U/; ! .iv)-^/vj)i qua: expreffio , fi loco M &C N valores eruti fubftituari- tur , abibit in formam fequentem Jm n'ibb cck LJtcojf.{y,-- % v) ^-i hcpf. U f f A^),j Is' «/: : (» - v) •+- i * (*-t- /') *j-i* (s' ■+■ 4JJ c "/' ; J ~ l 1 > \g'cof(»-+-v) +ji(s' + *'K("+ l ") lfcof.[i»—v)-i-ikl S + f>:.cof.iv -+-{A ($"-+- A") «/:i» I/'^d.-Hv) -t-iAV' + A'Wdx-ivl -+■ | A iff" -+- A ')w/.(*«+* v) pk \ «;AAc;-+-|>g— 3 s )«/■(" - | - v -' « "*" ~J7k \-h \ (lg'-g" , )cof.{i«—v)+ik'kcof.Zv-i- 1 A— Us — 3 g'V^t 1 »-*-'') "^ — i A (i A _ ; A'-h ig— g'W- ("■ i A (A' -+- A' ) cof.m h ( j A'— A" , -+- S '-g'") cofio—i v. A (A (A'— 3 A'"-+- #'— g"') c»/> ■+* i v), §. LXXXV I. Reftat ut fimili modo variationes, qnibus cum longitudo lines nodorum -x, turn inclina- tio G funtobnoxix, exprimamus : Ac neglccta quidcm excentricitate planets perturbantis e, ut fit y==c & x = b ( i -t- A cof. v) , erit d-x = — mbbcda (i +kco/.v) Or— h) fin- tf—x) fit. {* — *)* d. I tang. . T-t- g-^-hk cof. v I motus Plane ta rum. 65 d. I tang, p = — ni bbcda ( i -+- k cof. v) (■-, ~ f ) cof. ($ — tc) fin. ( G — tt) > ubi valor ipfius ,4 debet fub- ftitui qui eft pofito e = o h h cof. v (^ -ji)l-i-jk cof. (y - v) — i A: co/I (u - 2 (_-t- I £ cof (k + v) — \k cof. (» — 2 o-H-v)) i^ + \k(ik+k"+tg+g)cof.{* — V ) i(ig+g"cof.»+ik'U,-h/," + ig+ s " l cof.(,-l-v) i fe'-t-g'") ™/ * » -Hi * 0*' -+- g') "^ v da,(—~gcoJ. (i, — i») h_|* (//-+- A'" +- s 4- »'")«A (»— v , )— j^cofi. ' ■+■ 1 * (H+lf+i-t-f) cof fi»--hv ' ig'co/?(2» 1») i £ (2 A -)- 2 £) CO/ (» 1<7 V) — i S" w / (" "H 1 ') — j k (1. A -h 1 g) cof. (» — i <>-{- v) — jk ( A" +g" ) cof. (»+ 2» — v) — i A C'A'-Hs" ) «/ (■ -H * » -+- ») _i*(A'-Hr')«>/(*'— *0 — |ft(A' + g')co/:(i»— x*— v) iVi* de I j 56. I €6 Investigatio perturbationum §. LXXXVIII. Simili vero modo xquatio diffe- rentialis pro inclinacionis variatione eric : n;„„ + :/„.(,- 2J ) p d.ltang.p=nipc>caa(£ t -fiW+\iijin.{i— v)+±kfin.{*— i»— *)V hincque ob J. I tang, p =i= a". ' <+ motus Planetarum. 6/ S E C T I O VI. Inveftigatio incequalitatum quibus ipfa orbita cujufque Plane tee ab aclione rcliquoruni Planetamm perturbatur. §. L X X X I X. V^ u A m v i s igitur motus cujufque Planets ab aclione reliquorum perturbetur , is nihilo jninus fecundum ellipfin, in cujus alcerutro foco Sol verfetur , fieri concipi potefl , dummodo hax ellipfis tanquam variabilis tam racione magnitudinis & fpeciei quam ratione fitus linear abfidum confideretur. Aique lib perturbationum reprsfentatio Aftronomorum initi- tuto maxime conveniens videtur, qui dum calculo el- liptico jam funt affiled , huic curvs inhsrere malunt, quam alias curvas magis perplexas in calculum Aftro- nomicum admictere. Quod propoiltum cum adeo in lima fequi foleant , etiamfi ejus aberrationes a motu elliptico fint enormes , id mulco magis in motu pla- netamm principal urn retinebitur, quemadmodum etiam Aftronorai eorum orbitas jam mobiles affumferunt con- tra indolem motus proprii Keppleriani. §. XC. Ac primo quidem vidimus parametrnm orbits cujufque planets ab aftione reliquorum continuo im- mutari. Notari fcilicet debet ejus valor quidam medius, a quo verus mox in excefiu mox in defeclu difcrepet; ita valorem medium femiparametri orbits planets , de quo qusritur, hie Jittera b defignamus, dum littera p pro quovis tempore ejus valorem verum deuotat. Quan- 68 Investigatio perturbationum turn igitur p ob actionem certi alicujus planetas ab b clif- crepet , ex a:quatione differcntiali fupra <§. LXXXIII evoluta per integrationem definiri poterit , ac fi ifti eflectus , qnatenus ab unoquoque planeta in parame- trum propofiti redundant , feorfim computentur, atque in imam fummam colligantur , cognofcetur inverfa perturbacio , qua; parametro illi ab a&ione omnium reliquorum planetarum inducitur , cujus collectionis fundameatum in eo eftfitum, quod fingulac perturba- riones Tint quam minima:. §. XCI. Totum autem integrationis formula §. LXXXIII data: negotium hue reducitur, uc fequen- tium formularum fimplicium : da fin. » •, da fin. z « j d a fin. 3 n j d afin. (y Zf.v) ; d afin. [z X+. v) £cc. integralia definiantur , qua: hac methodo inveftigo : Primo quia hie excentricitatcm planetx perturbantis negligimus , & motus anomalise vera: v quam minime a motu longitudinis

Jin. ( x -i- v) i r 1 r — co f z " l ^ r 1 r 1 Ida in. 2)|=: — : -I- : / d a l/l. I 2 J) — y ) -1- r^j- fd a fin. (n + v); /" inventa combiner, ha; ainem for- mula: quia per excentricitatem k fiint multiplicata: , multo minores func prioribus partibus jam integratis , ideoque nifi precifio ultra neceditatem urgeri debeat, fatis tuto omitti pofient > fi quidetn jam ob limilem cau- fam excentricitatem e negleximus. §. XCIII. Interim tamen cjuo darius perfpiciatur, integraronem ex hac parte non impediri , acque pari facilitate perrlci poffe etiamfi nullos terminos rejecifle- mus, et;am horum integralia definiam : Vtofdafin. (>i — v) igitur qtucro primum 7<3 Investigatio terturbationum , , j r J —(d» — dv) . dn — dv ==■ — md a , utiic d a = j r rj r i \ •+• cof. ' * — v ) licque erit J d a fin. (» — v) = • Deinde pro f da Jin. (m 4- v) colligo d» ■+- dv = (2 i — m) d as — 4 i k d a cof. v > . . , C0 J- v l in - (" +v )» Sed quia in noftra formula J da Jin. (» •+- v) jam per k eft mukiplicatum , pofterius membrum, quod adhuc inte- grari deberet , omittimus , qui produceret quantitatem per kk affedam. Hac omilfione pariter facta pro reli- quis formulis , habebimus etiamnunc in differentiali- bus : idr\ — -\-dv ldeoque a a = , cC da = — ; • J i — i m 3 j 2.7B §. XCIV. His igitur valoribus adhibitis adipifce- mur facile formulas integrales fequentes: rj r 1 » -f- co f. ;» — v) . fdajin.(v — v) = j Jdafin.{« + v)= — — r^r~> — cof. { * " — v ) . J da fin. ( % „ — v ) == — — , fdafin.{i« — v)— 3i _ im > atque ex his jam priora incegralia complcta red- dentur : fdajin. » motusPlanetarum. 71 cof., i h cof. (» — v) i k cof. {, -f- v ) i — m {i — m) m (i — m){zi — m)' r , ~ cof. 2 , i k cof. (2 , — v) j h cof. ( 1 » -4- v\ Ida in. 1 » = — j. • : — J ——. , J J i{i—m) (i — m)(i—2.m) (i—m){ i i—i.m)> p, p cof. 3 » i k cof. ( ; » — v) ikcof{-, ,-\-v) J a J •) — jp — ,„j (i— m)(ii — 3 mj (i — m; C4* — -3«b) &C. Qua: integralia non folum ad valorem Jntcgralem ip- fius p , fed etiam ipfius 7 inveniendum infervinnt. §. X C V. Cum nimirum valor medius ipfms/> de- beat efle = b, in integracione circa adjettionem con- ftantis nullum eric dubium > fingulis igitur partibus in- tegratis reperiecur t _ __ x 1 » ,,. k [ C J^L (l ' — m) k cof. (, - v) * " y i — m 2 ( i — m) m ( 3 1 — m ) & co/ ( » -t- v ) ■+■ : 2 [1 — «i) (ii — m ) •jig— g") cof, ik (1 g — g") cof. {, — v). 2 ( 1 — '« J 2 ( j — m ) m mibbc )+.( g '— g'")cof.i, k(2g-g"+-zh-h")cof.(.—v) "I" 71 V T. -T- — / ' ] 41' — m ) 4 m H-(g"-g'"W 3" __ ik (g'-g'") cof. (i,-v 6 ( i — m) 2(1 — m) (i — i») __ A fg'— g'"-h />'— 4'") ca/fito v)! 4 ( i — z m) i k ( t g — g" ) co/ ( » -f- v)/ 2 (i — m) (z i — m) *(ig-g"-HA-AVo/(»-t- vj 4 ( i < — m j 'k (g' — g'") cof(z,-hv )] 2 (i -— m) ( ; / — 1 to) *(g'- g"4-A'— a> /:(2h- v) 4 ( 3 i -v 1 m) 7i Investigatio PERTURB ATIONUM Ac fi terminos per execntricitatem k aftcdos, ut pote prae reliquis valde parvos negligamus, erit fuccindius: p z r. i b b cof. * nib b c { : 1 1 . r - b = '- \ i- m ; cc + v=^p\ { 1 s~g') of.* + i(g'— ^"')M/.*.n + f(£r" — g"")cof.)n + *c) ubi notandum effe \ = \j^ , &ff= 6 b + cc. <§. XCVI. Ope earundem formularum fimplicium integralium etiam vera excencricitas orbitae q per inte- grationem differentialis (§. LXXXIV) evoluti affignari potent j mode. adjiciatur /Va/z/z. v =.f*ffin. v = — '^L? t fi quidem porro ex his expreffionibus minimis terminos excentricitatem/t involventes negligere pergamus. Hinc igicur pofita excentricitate media = k , erit excentrici- tas vera : t nlbb / -scof.j* — v ) cof. {* -+- v) \ . * c c \ im i ( t i — m) J ' nib' t gcof.v g' cof. f » — v) g' cof. (* -+- v) •» fi X i i. m x { i i — m ) & / r"cof.(i »-+- v) f 2 ( ? j Iff!) J n i bbcC "7r\ b> t gcof.v g' cof. (r — v) g' cof. (* fi \ i i.m g" cof.( i.-v) g J ;! — 1 m) 2 ( 3 i Iff!) A*_fC g'^v (^g— 8")gg/f»— v) (ig— 3 f)cof ('*+•*] / ' C a i 4 ffi [ld—f)c°f.ii.*-v) 4 (i i — m) I ! g '—ig'" lC o f . (i»-hv ( 4 [3 i — z m) * 4(i~i/») &C. Ubi quidem aflumimus excentricitatcm mediam k tan- tam effe , in ejus refpedu iftx inxqualitates longe fint minima; ; patet autem has ina:qualitates non ab ipfa magnitudine media excentricitatis k pendere , fed eafdem prodire five k fit major five minor. Quod fecus accidit in variationibus lateris redi , qua: funt propor- tionales ipfi magnitudini media; parametri. §. xcvn. ^TZ^Tv b (^S-S") cof. i + 1 (*' - *'") motusPlanetarum. 73' §. XCVII. Cognito jam femiparametro p & ex- ccntricitate q , femiaxis tranfverfus orbits facile defi- nietur, cum fit = — — Erit igitur variabilis tarn ob ' i — 9 9 ° variabilitatem ipfius p , quam ipfius q , fed habc pofte- rior tantum terminos producit per k afFe&os j unde his negiectis variatio axis tranfverfi potiliimum pendebit a variatione parametri , hincque ergo erit Semiaxis tranfverfus =s= y, — - '—-. b cof. « > i — kk ( i — m) c- ni b b c '(' — "<)/ cof. u+ijff-r') «/ 3 » + *c.) Quare tain parameter & axis tranfverfus quam excen- tricitas , variationes tantum fubeunt periodicas , qua; poll: certa temporis intervalla ad ftatum priltinum re- vertantur, neque perpetua five incrementa live decre- menta capiunt j fed quantum certis temporibus fuerint aucta , tandundem aliis temporibus diminuentur. Cete- rum ex hac applicatione ad axem tranfvcrfum patet , valorem invencum pro q , etfi terminos tantum primi ordinis continet , tamen asque longe produdum efle aeltimandum atque valorem iplius p in quo terminos primi & fecundi ordinis evolvimus. §. XCVIII. Denique definiendus occurrit motus aphelii , in quo prscipuus effechis aclionis mutuas pla- netarum , quern quidem obfervationes evidenter mani- fellarint , cernitur; is autem per integracionem formula; (<§. LXXXV) data; determinabitur. Alia: autem hie adfunt formula; fimplices integrandx, quarum intfjgra- tionem quoque ad fecundum -ordinem continuari opor- tet , uti circa parametrum fecimus , non quo termini fecundi ordinis prx primo minus negligi queant , fed Ptix deij56. K 74 Investigatio Perturbationum quia fccundus ordo continet partes omnino conftantes , unde per integrationem hujufmodi termini a. a nafcun- tur, quj quantumvis coefficiens a. fuerit parvus, tamen cum tempore continuo crefcqiit, Quia enim angulus a eft tempori proportionalis, hi termini motum medium aph lii declarabunt ; in quorum idcirco inveftigatione vel minima particula perperam negligitur. At terminis hujus foima; exceptis, reliqui ad fecundum ordinem pertinentes , quia periodicas inxqualitates continent , & pra: primo ordine valde fimt parvi fine errore omitti poterunt 5 cum etiam levis error in loco aphelii com- mifllis nullius fit momenti. §. XCIX. Simili i^itur modo integrationem infti- tuendo , ante omnia fcqucnr.es formulas expendere oportet dv= i d a — 2 i k d a cof. v j dv\ — dv = — m d a — ; d ■» •+■ d v = (2 i — m) da — 4 i k da cof. v j xdy\ — d v — {i — 1 m) d a — 2 i k d a cof. v > xd-n -\- dv = (3z — zm)d a — 6 i k d a cof. v 5 da>=: ~ _^. z k d a cof v > — (d» — dv) da = da = da sss da tss 7 m d « -f- d v 4 i k d w cof. v ——. H : • 11 — m 1 1 — m id' — d v z i k d » cof v H— — 5 i — 1 m 1 — 1 m 1 d » -\— dv 6 i k d a cof. v 3 ' — 1 m 3/ — i m ' turn pro terminis fecundi ordinis : 1 " d v d* — {d* — 2 d v ) d u -f~ i d v ti a «« ~ — ^«w - . — _ — ' — * — — — ___ 1 i — m i •+- m j i m — i J - — *. d v) _ _ i d » -f- 1 d v MOTUS PLANETARUM. 75 Hinc omittendis terminis fecundi ordinis, qui non funr. forms «, a fiet f d a cof. v = Jlili. ■+. k f d a / r > fi n ' v r (1 + 4 1 v) = —. h h a ; J da coj. (» — v) as — J : : j _/ d a CO/. (2« v) = H-- 7 r J i — 2 m y da coj. [ n h- v ) = — ^ , ', 2 i — m n ,„r 1 \ + /?;i. ( 1 » + y] y a a coj. (2 » ■+■ v) = J *■ ' > . 3 i — 1 m qua formula: ad motiim aphelii definiendum fuffi- ciunt. §. C. Ex his igitur differentiate (§. LXXXV) inte- gratum prsbebi: morum aphelii fequenti modo ex- prelfum : r a nibb / lJ!n.{» — v) fin. f» -f- v)\

- v (6g-g")fin.(*—v) t ^g--g<")fin(i*^ -v), nibbc\ -l 1 4 m Hujus expreffionis pars prxcipua forma: a a motum me- dium aphelii prazbet , qui ergo uti perfpicuum eft non a quantitate excencricicatis pendet. Tempore fcilicet Kij *g— g )yw(t»— v; -w 4(i — tm) 1 4(3; — i m ) -J yS iNVr.STIGATIO PERTURDATIOVUM quo fol fecundum motura medium pcrcurric angulum = a aphelium planets proferetur per angulum - — y^- ( 2 g' ■+- h!) a> — ^-r- ( 3 g-*- h ) a reliqui vero termini inarqualitates periodicas aphclii complccVuntur , qux eo evadunt majores quo minor fuerit excencricitas orbitae. §. CI. Prater hunc autem motnm uniformem, quo aphelium profertur , ejus locus ad quodvis tempus cor- rigi debet per inarqualitates periodicas , qua: finibus an- gulorum v,»-4-r, i v -+- v , &c. hint proportiona- les : atque in hunc finem longitudo aphclii ita expri- metur : _ „ nib be . . . nib'- .

— 777 (3 ■§■+«)<»> n 1 '. i b b / [^Jin. (» — v) Jin. (»-J— V)\ cc k \ m 1 i — m J J nib'' C jj fin. v g' Jin. (» — v ) g' Jin.. f» -f- v m i i — m g" Jin. It, — v) g" Jin. ( 1 « 4- »t- 1 — 1 m 3J — 1 m nibbctzg' Jin.v (6g— g")Jin. (» — v) (ig — lg":Jin.» bbc y.g'fu •1 At « 4/' AC* «» 2 J — »i . (3g— g>i"-'-) (s'-3g'V"-(» + -> ; — . » 1 — 1 m j 2 — 1 m Cujus expreffionis pars prima exhibet tongitudinem me- diam aphelii ad quodvis tempus , cui porro fi appliccn- tur inarqualitates reliqua parte contents, impetrabitur locus aphelii verus. Quodfi ponatur a> = 560 , ex prima parte innotefcet motus aphelii annuus refpectu ltcllarum iixarum. §. CI I. Quia in motu Luna; inveftigatio motus ejus apogei tantam diligentiam ac fagacitatem, toto,ue cal- culos intricatos exigebat , dubium hie oriripotelt, an motus Planetarum. 77 hoc niodo verus motus apheliorum eliciatur ? Quodfi. eilim idem calculus ad Lunam transferretur , formula inventa femiflem tancum veri motus apogei prope mo- dum eflcc oftenfufiu Verum in hac applicatione ad Lu- nam numerus n feu potius termini hunc numerum con- tinentes incomparabiliter prodeunt majores , quam no- ftro cafu , atque termini quadratum numeri n involven- tes demum veram motus apogei quantitatem complent. Hie autem ob valores terminorum numero n affecto- rum minimos, nullum ell: dubium , quin terminos, qui ejus quadratum compleclerentur , fine ullius erroris fen- fibilis metu pra:termittere queamus. Deinde etiam ex formulis generalioribus evidens eft , excentricitatem planetx percurbantis e nihil ad motum aphelii con- ferre. *v A*' 78 Investigatio Perturb ationum S E C T I O VII. Invejligatio Anomalies, vene quatenus ea ad quodvis tempus ab aclione Planetarum mutua perturbatur. §. CIII. J.N fuperiori fc&ione formulas eruimus , quibus ad quodvis tempus veri valorcs cum parametri & excentricitatis orbit ae , turn etiam vera longitudo aphelii definiuntur > in has autem formulas prater an- gulum » potiffimum ingreditur angulus v qui planetx anomaliam veram defignat. Prxcipuum opus igitur ad- huc perficiendum in hoc confiftit , ut methodum tra- damus ad quodvis tempus anomaliam veram inveniendi 5 qiix cum , fi nulla; adilnt perturbationes ex anomalia media colligi foleatj hie quoque anomaliam planetx mediam in computum introduci conveniet, qux quo- niam uniformiter cum tempore crefcit, ad quodvis tem- pus tempore crefcit, ad quodvis tempus expedite afhgna- tur ; five quod eodem redit anomalia media reperitur, fi a. planetae longitudine media, aphelii locus medius fubtra- hatur. Quxitio ergo hac fe&ione cnodanda determinatio- nem anomalix verx v ex data anomalia media poftulat. §. CIV. Si nulla: adeffent vires turbantes , foret dq> = dv, atque anomalia vera v ex hac atquatione adtcVap r . pVp dv d

effent enim p 5c q quantitates conftan- tes , &C da incremento anomalix medix proportionale. In noftro autem cafu neque quantitates/> 6v q funt con- motusPlanetarum, 79 ftantes , nequc dq> = dv, unde manireftum eft rela- tionem inter anomalias mediam & veram quoque ab aftione pianetarum mucua perturbari. Interim tamen ..... . aduVap hxc relatio enc petenda ex xquatione dtp = j feu hxc da = ~rr', rr^ fubftituendo pro d

n Q , & n V fint effectus ptrturbationis, eritque ob numerum n minimum p^p = bk{i-^-\nP), Sc quia pofuimus $•* = i habebimus a y a j V 2. / Deinde fra&io u _ ? / o/ . v) » in feriem converfa dat proxime (i — q q) ~t (i-+- z q cof. v -t-± q q cof. zv-hq> cof. $ v &c.) qua; ponendo £ -+- n Q loco 7, & negligendo terminos per /z/z & raXryt affectos abit inhanc: ( i — ,(> £)~i ( n- i £ Co/ v -hjkkcoj.iv-i-k* cof. 3 v) + 2;i^ cof. v ■*• $ n k Q co/~. : v + 3 « ^. Hinque erit /;y/7 (± P + z Q cof v -h k Q -t- k Q cof. z v + {F+^ F cof.v); cujus poftrema; partis non amplius erit difficile intc- grale eruere. $. CVI I. Pro integratione hujus poftrema: formula: notandum eft partem nfV~da> exprimere motum aphe- lii , cujus ergo integrate jam fupra §. CI eft inventum. Reliquas partes tantifper indicemus figno fummatorio , ac pro anomalia vera quxfita fequentem nancilcemur arquationem : v=i{i-kk)-ia> — zkfin.v — { kkfin.iv — \ k "fin.T,v — nfVdoc- f — inj da{\P + z Qcof.v+-j k V cofv); in hac enim ultima parte perfpicuum eft terminos k Q 8c kQcof.v prx P & Q pofle rejici , at vero k V cof.v iifdem MotusPlanetarum. Si iifdem efle quafi homogeneum nude tantum opus eft valores fupra pro P, Q, & V invencos fubftfifuere. Hie aurem primo obfervo terminum i{\ — kk)ka cum partiBus forma; a. da, quas polteriora membra in- tegralia force continent, delignare anomaliam mediani, qua; ad quodvis tempus facile colligitur. Si ergo ano- maliam mediam ponamus = v , habemus hie arqua- tionem inter y & v, per cujus refolutionem non diffi- culter pro qua vis anomalia media ejus refpondens ano- malia vera elicietur. §. C V 1 1 I Statuamus ad abbreviandum : ~;P-^z Q cof v = J + £ cof. iv ■+■ C cof. n -+- 7 k V cof. v -+- D cof. u ■+- E cof. (« - 2 v) •+- F Cof.(yi + iv) + Gcof (i » - 2 v) •+-Hcof(li\-t-lv) atque horum coefficientium valores ex fuperioribus for- inulis colliguntur : a b b c 1 ib' r> bb c i i. b > ; 1 ' 1 \ if i c c \i — m z (i 1 — m) I J if ' c = ibbc /(J(i 7r \ ~i \ 1 m i ; — my s-s") A'g-g') '.' (fg-g"-) m 1 t4— hT) Vg—Vi Z I ' D = , ill ( iz£- + i£' h- . g" ^ ibbc fiig' — g"') dg'—X") dg' — s:") 4} ' \ i — m 1 — i m 1 (g'-ig'"1 (g'-ig'") 3 i — 1 »i iV/* de Ij56. $1 Investigatio perturbationum -u±h i) _ ijtl (£+ L) + Lii! / (*g-?e") _ (liZLUlA \ >i — m i / _ i * . / ^_ g"\ Ibbc G = -TT \ i- »- ' / 4/' n T/T \ ii - «■ « ' y 4/' ?_ (g' -^g'") __ tg'-ig '")^ \_ 5 j — 1 m i / §. C I X. Valoribus aurem horum coefficientum de- finitis facile eric fingulorum terminorum integralia ex- hibere, quia ultra ordinem primum ea deduccre non eft opui : Eric itaque fdu (ii 5 +!Q«/v+^ Fcof. v) = A B C D r -t- — [in. 2 v •+- in. i> -t- — p ; /z/z. 2 )j E F — r-; — (in. (» — 2 r) H : /f/z. (« -t- 2 v) G H — — fin. ( 2 » — iv)h 7— -///z. (2 ii+iv), 1 m- / ' 1 (1 ; — m)J ' '■ Deinde fi ponamus fimili modo ad abbreviandum fVdu = &.a-*-— fin. v -h - y?/z. ( » — v ) -*-—fin. (>i + v) ~+-Jin. (in — v) 4- j7?«. (1 « + v)j erunt hi coefficientes ex §. CI. motusPlanetarum. 8} i b be , , . , i b •" *» bb 3 i £s i g' h b c (6 g — g")i ~cc zm zf> m 4/'" m » y--i — . i__.il. i < f ' _ h _^ ^g-%g") j. *' if" **< (l6'-g'")i zf- i — 1 nz 4 / i i — zm » e : = — — . ig " _ lif. __!_12i * /"' 3'-"i 4/' ii—zia §. CX. Si jam hos valores decerminaverimus, habe- bimus primo anomaliam mediam : V=. i ( 1 — kk)\ a — n Aa — inAui qua cognita anomalia vera v ita debet definiri uc fit : v = v — 2 kfin. v — \kkjin. 1 v — jk^Jin. 3 v, — X (ctjin.v -h C y?«. ( » — v ) +y/«.(i|+v] 4- J^jfo. ( 2 » — . v ) ■+• ey?/z. (2» + v)]j I x */«. u + -/ ft „ + __ _/&. , „ Si eflet n = o, nota eft operatio , qua ex data anoma- lia media « elicitur vera v; cam igitur fit n fradio valde parva , per eandem operationem , omittendis primum terminis per n affe&is quaeratur anomalia vera v medias Lij 84 Investigatio perturb ationum V conveniens, eaque deinceps per terminos fractione n affcctos corrigatur. Turn fi cam accuratius derinire ve- limus , valorem pro v modo inventum in expreflionc ilia pro v rcperta lubftituamus , ex eoque denuo v dc- tcrminemus. $. CXI. Facilius autem per confuetas tabulas ano- maliarum totum hoc negotium expediri poteft. Cum enim perturbationes func minima:, furficiet pro iis ano- maliam veram v proxime faltem noffe , ejufque erj;o loco anomalia media ipfa tt uti licebir, namque erro- res, qui hoc modo committentur, ad fequenrem termi- norum , quos negligimus , ordinem percinerent. Turn valor horum terminorum mmimorum ad anomaliam me- diam M referacur, feu ex data anomalia media v quxra- tur anomalia media corredla m' uc fie y ' = v — ^ (a./In.v -+- Qfin. ( » — v ) -4- y fin. (n+Sf) -4- fr fin. ( l n — fc) ■+■ t fin. (2 » -+- y) ) j ubi quidem partem pofteriorem , urpote prx hac valde parvam omitto, atque jam pro data excentricitate k ex tabulis confuetis qurcratur anomalia vera qua: huic ano- malia: media: corredx refpondeat j hocque modo obci- nebitur ipfa ilia anomalia vera v, qua pro evolurione omnium formularum ha&enus inventarum indigemus , erit fcilicer. v = «' — 1 k fin. v — \ k kfin. 1 v — ~k (fin. 3 v. §.'CXII. In Tabulis autem Aftronomicis pro data quavis anomalia media non tarn ei refpondens anoma- lia vera, quam differentia, qua: proftapharrefis feu aeqnacio centri vocatur , exhiberi folct , neque etiam pro noftro fcopo quicquam in hoc inftituro immutari eft opus. Ad manus igirur fit tabula more folito ador- mta, qua: pro execntricitate /■ cuique anomalia; me- diae refpondentem axpationcm centri cxhibeat. Antc- \ MotusPlanetarum. 8« quad autem hac tabula ucamnr, anomalia media pla- neta: v ad datum tempus collecta , per inarqualitar.es fupra expofitas & tarn ab ea ipfa quam ab angulo », cujus valorem quoque ex motu medio utriufque pla- nets collegifle fufficit , pendentes corrigatur , ut obti- rieatur anomalia media correcta «'. Tuni in dicla Ta- bula quxratur arquacio ifti anomalia; mediar y' conve- niens , qua; fit = Hh JE , qua inventa ltatim habebitur anomalia vera qua:fita v —orro per rationem mediorum motuum i & m valores icterarum i,C,y, ^, e, itemque A , fi, C, D, E, jF, G , H , qui omnes in meris numeris exprelfi pro- dibunt. Turn etiam mafia Planeta; per maflam Solis divifa dabit fradionem n. Quibus inventis ad tempus propofitum colligatur longitudo media planets pertur- bati & perturbantis , quia pofteriori a priori ablata re- manebit angulus , quo loco » uti licebit in indagatione correclionum anomalix medis (§. CXI). Vel quod ex- pediet, utriufque planets longitudo per tabulas ordina- rias deflniatur , ac differentia pro angulo » aflumatur, quandoquidem hie valor a vero nonnifi in minutiis dif- crepabit. motus Planetarum. $7 S E C T I O VIII. Expojitio Univerji Calculi quo verus Pla- netce locus in orbita ob actionem reliquo- rum planetarum perturb atus ajjignatur. §. CXV. Arima operatio in hoc confiftet, uc pro quolibet planeca , a cujus a&ione motus planecx pro- pofiti percurbacur, ope formularum §. LXXII & LXXVIII expoficarum primo valores licterarum g, g' , g", &c. (litteris enim reliquis /i, h' I, /', &c. ibi- dem adhibicis carere poflumus), turn vero ex his porro valores licterarum A, B , C , D , &c. ex §. CVIII, & licterarum quoque A, a, £,y, J\ &c. ex §. CIX per calculum evolvantur : pro quo calculo recordari debe- mus , fraccionem n obtineri , fi mafia planetx pertur- bantis per madam folis dividatur: deinde fi motus diur- nus medius folis unitate exponatur, exprimec liccera i mocum diurnum medium planetx perturbati , & m pla* netx perturbantis. Calculus quidem pro valoribus ilia- rum litcerarum infeicuendus admodum ell moleftus, verumcamen per fubfidia indicaca. fatis exa&e abfolvi poterir. §. CXV I. Scacim aucem ex valore a cognofcecur, quantum aphelium ab aclione cujufdam planetx promo- vearur; li enim pro angulo a> ponamus 360° cerminus n A a dabit motum apheliuannuum , ac fi hunc valo- rem ab adione cujuslibec planetx deducamus , omnes conjun&im oftendent verum motum anntuim planetx refpedu ftellarum fixarum , qui vix quicquam ab eo , S§ Investigatio perturbationum quern per obfervationes cognovimus , difcrcparc deprc- hendetur. Cognito autem tarn aphclii quam ipfius, planets motu medio ad quodvis tempus propoiicum tarn hujus planerx longitudo media q>iam anomalia me- dia facile affignabitur. Statuamus ergo ejus longitudinem mediam = c^.& anomaliam mediam = y> turn vero ex- centricitas media fit = k. §. CXV1I. Deinde hxc anomalia media y ex ta- bulis mediorum motuum detumta corrigi debet per tor- mulam §. CXI allatam, ut obcineatur anomalia media correda v 1 . Vel fi tabulx mediorum motuum loco ano- malix media; exhibeant locum aphelii medium , exdem corrcdiones fignis verfis ad aphclium applicari debc- bunt : hoc autem modo reperietur ipfa longitudo ?phe- lii vera , unde hxc corredio magis eft naturalis priori anomalia: illata. Quare ex longitudine aphclii media quxratur longitudo ejus vera per banc formulam Longitudo Aphelii vera = Longitudiui Aphclii media; -H " (a. fin. v ■+- £ fin. ( » — V ) -+• y fin. » -+• V ) -+- tamen alii anomalix medix ac vulgo refpondet , ideo» que motus Planitarum, S? que tantumJem difcrepat ; deinde quia alii anomalia; mediae refpondet, etiam a;quatio + JE erit diverfa. Ma- mfeftum auccm eft hoc pofterius difcrimen mulco fore minus priorej cum hoe ad.o eo majus evadat , quo minor fuerir. excentricicas k , turn veio arquatio ± JE diminuatur. Etii er^o in calculo perturbationum non adeo accurate nofle opus eft anomaliam veram v, camen corre&io anomalia; media; feu loci aphelii neutiquam negligi poceft. §. C X I X. Definita hoc modo anomalia vera v fta- tim locum planctx in orbica alTignare poterimus , ita ut non opus habeamus ante variationem parametri & excentricitatis exquirere: quantum enim ha; variationes ad locum planeta; in orbita pefcurbandum eonferunt, id jam fumus complexi in exprellione pro loco aphelii vero fupra §. CI inventa. Nam quia jam valorem ipfius v exacte expreffum habemus , eric longicudo vera

— i n A a — 2 k fin. v nB -~ i k k fin. z v — j k'i fin. 5 v — fin. 2 v t C I _ n D i r n E i _ — i (in. h r- 1 l in - 2 >t -+- "T - [in. (» — 1 v) / — mJ i (i — ( ( 1 — k k) 1 — n A) motum medium hujus planeta; ex- Prix dcijbG. M $0 In vestiqatio Perturb ationum ponit , quern ergo ctiam ab actionc planetarum ali- quantillum perturbari manifcihim eft j hinc fi longi- tudo planetx media ponatur = £ , erit £ = Conjl. + /ji — k k) r a — i n A as. Dcinde vidimus portio- nem — z k fin. v — ~ k k Jin. 1 v — \ k * Jin. 3 v de- fignare xquationem centri + JE qua: in tabulis ordi- nariis anomalix medix correctx v' refpondet , dum- modo hx tabulae excentricitati k fine jufto calculo fu- perftru£fcae. Cum igitur tarn longitudo media ( quam ilta xquatio + JE conitec , habebitur longitudo vera planetx in fua orbita : = Q ± M — — Jin. iv — ; — -Jin.y\ Jin.r* n E i r 1 n Fi _ ■+• ■-——- in. (n — 2 r) — — fin. ( « -+- 1 v ) n G i r , n Hi •*- - — - in. ( 1 » — 2 v) j—. : fin. (2 » ■+- 2 v) ubi portio £ * m exhibet longitudinem modo ordina- rio inventam , nifi quatenus anomalia media hie eft corre&a , turn vero reliqui termini continent ceteras inxqualitates ab actione planetx perturbantis profectas, quarum quidem portio quxdam jam in ipfa xquatione centri ± je ob anomaliam mediam corredam compre- henditur. § C X X I. Aiftionum ergo planetx perturbantis ad duplicem effect urn perduximus, dum altero longitudo aphelii feu anomalia media , altero vero ipfa longitudo perturbatur. Quia vero & priori effectus valde elt par- vus , uterque commode ad unum revocari poterit. Cum enim anomalia vera tantumdem immutetur quantum anomalia media , fi v denotet earn ipfam anomaliam veram , quae anomalix medix non correctx feu nacu- rali « refpondet, in expreflione pro vero planetx loco iavema, loco v fcribi opportct v — = fa. Jin. v ■+• Qjin. MOTUS PLANETARUM. 91 (» — r) +.yfo.(„+v)-t-£jin.(2y l — v) -t- e fin. (2 r\ •+- v) J qua; mutatio quidem in terminis minimis nullam variationem fenfibilcm gignit. Ac fi jam + je denotet xquationem centri ipli anomalia; media: v con- veniencem, quia eft ±jE = — 2 k fin.v — \ kkfin. 2 v — \k\(in. 3 v, in primo termino mutatio fenfibilis oricttir, ideocjue loco ± m fcribi debebic •±_JE-*- n(a fin ir + (£ + y) yT/z. » -4- (£ + t )fin. 2 » -H €7?/z. (» — 2 v) -^-y fin. (» ■+- 2 v) -+- J\y?/z. (2 n — 2 v) -+- e_/z/z. (ll| + 2Vj]i ficque jam ± ^r denotabit arqnationem centri anomalia; media; naturali « refpondentem , & anomalia vera v eric etiam ea qua; more iolito fumitur fcilicet v= y -± je. ' J, CXXII. Hinc igitur faciliorem modum adipif- cimur effe&um perturbationis in loco planeta; determi- nandi. More fcilicet folito ad dacum rempus collicra- tur anomalia media *, eique ex tabula ordinaria capia- tur refpondens a;quatio centri ± je , indeque formecur anomalia vera v = m ± je. Qua ftabilita, fi longitudo planeta; media fucrit = £ & » delignet angulum , qui relinqu ; tur h a longitudine planeta; perturbati longi- tudo planeta; perturbantis fubtrahatur , habebitur lon- gitudo planecx perturbati vera. Mij $z Investigatio Perturbation um ubi ^-tr/ZTexprimit longitudinetn planetx, quam tabula: ordinaria: pra'bcnt , totaque perturbatio jam in terminis annexis continetur. §. C X X 1 1 1. Hie ftatim obfervo fieri «. — % = o , unde li ad reliquos terminus contrahendos ponatur : '=oj £' = 05 F\=o$ & G'=o. Hanc ob rem tota corre&io ita contrahitur , ut tan- tum duobus terminis conftet j fitque

fiquidem in perturbationibus excentricitatem k rejicimus. §. CXXIV. Diftantia vera planeta: a fole x nunc quoque facile definiri poterit j cum enim fir x= ^—~ * ' * I — qcoj.v fi ponamus ut fupra p = b ( i -hnP) & q = k + n Q, erit ob n P & nQ minima : * = r=TctfT + nl(P+QcoJ. v). Supra autem jam valores qnantitatum P & Q affignavi- mus , hie vero pro v capi debet ea anomalia vera , qua; motus Plane ta rum. 93 anomalix media: cerre£hx y'refpondet: fin au tern ano- malia vera tabulari uci velimus , eamque lictera v indi- cemus , pro v in ifta formula fcribere debemus v — f (a. fin, v ■+- Cfin. (» — v) -t- y fin. (« ■+- v) •+-Jlfin.(zy — v) +e/n.(2i, + v))j ideoque pro k cof. v fcribi opportebic : k cof v-t-^(a — a. cof. 2 V — (£ — y) cofiy +&C0f. (« — iv) -*-yco/(»-i-2v) — (JN — e) C0/T2» -+-^cof (Z » 1 V) 6 Co/I ( 2 « ■+■ Z V)\ Hinc fi ponamus k cof. v = k cof v -f- « R , erit * = ; — r— r -*-nb{P -t-Qcofv+R), ubi - — — I — h c oj, v X. J ' » , — k cof. v diftantiam ex tabulis more folico erutam exprimicj ne- que vero plerumque opera: eft pretium pro diftantia nanc correftionem adhibere. mm ^2E**fc .### 2 ♦♦..♦♦■♦> 54 Investigatio Perturbation um S E C T I O IX. Evolutio Incequalitatum qiiibus cum lined nodorum turn indinatio ab actione Pla- net arum aj-ficinu: §. CXXV. Jupha in §. LXXXVII 5c LXXXVIII formulas exhibuimus differentiales, quibus muratio mo- mentaneatam in fitu lincx nodorum quam in inclinations orbitae planetx perturbati ad orbitam pcrturbantis, quam tanquam flxam confidero exprimicur. Produche autem funt ilia: formula: ufque ad tcrminos excentricitate fimplici k affecr-os , omiffis iis , qui vel per quadratum altioremve poteftatem ejufdem excentricitatis k , vel per excentri- citatem orbira: planeta: perturbantis e func multiplicati, quos autem fi quis laborcm fufcipere velit eidem me- thodo infiftendo non eflet difficile infuper adjiccre: ne- que etiam turn iftarum formularum integratio majori premeretur difficultate. Verum quia actio planetarum eft minima , hie adeo terminos excentricitatem k invol- ventes rejicere licebit, ficque expreffiones integrates & facilius invenientur, Sc multo fient fimpliciores. §. C X X V I. Quod iginir primum ad longitu- dinem nodi attinet , quam refpe&u flellarum fixarum littera t indicavimus , in ejus differentiale ingredi- tur angulus =* i d a, & quia porro elf _/£«. A, fin autem latitudo fuerit auftralis tantumdem augebitur. Contrarium eveniet fi longicudo ftella: fuerit 180 h-tt, turn enim eodem tempore 5 cui folis motus a refpondec , ejus lacitudo fi fueric boreaJis augebitur particula "~ g'. i a fin. a, fin autem fit auf- tralis tantumdem diminuetur. At fi longitudo ftella: jo 9 diftet a nodis turn ejus latitudo nullam patietur muta- tionem. In genere autem fi longitudo ftella: fixa: fuerit = £, eodem tempore ejus latitudo fi fuerit borealis di- minuetur particula ssi__f g'i a fin. A cof. (% — -r) fin autrem latitudo fit auftralis tantumdem auge- bitur. &* §. CXXX. Maxime igitur notabiles efFedus, qui ab aftione planecarum in terram exercentur , funt primo ifta exiguamutatio in latitudine ftellarum fixarum , qua; autem cum obfervationibus vetuftis circa latitudinem ftellarum fixarum inftitutis minus fidere liceat , utrum veritati fit conformis ? non tarn facile explorari poteft. Interim tamen ftudiofa collatio veterum obfervationum cum recentioribus vix dubitare finit , quin in quibus fteliis fixis latitudo parumper fit immutata , quod pha;- nomenum fine dubio actioni planetarum eft tribuen- dum. Deinde maxime confpicuus effectus cernitur in motu aphelii , cujus confenfus cum veritate facillime explorari poteft , quandoquidem ex obfervationibus cercumeft, aphelium terrae quotannis per fpatiolum 1 1" circiter promoveri } fimilique modo motus apheliorum in reliquis planetis ab eorum aclione mutua oriundus cum obfervationibus comparari poterit. Reliqui efFec- tus in plerifque planetis minus perceptibiles confiftunt Prix dc ijb6. N $8 INVESTIGATIO rERTURBATIOKtJM in mutatione excentricitatis , in inxqualitatibus pericv dicis loci aphcliorum , unde anomalia media afficitur ac denique m variatione parametri orbitarum ; quibus cognitis , loca planetarum per praxepta vulgaria Aftro- nomica facile ailignari poterunr. y MOTUS PLANETARUM. 99 PARS ALTERA Continens Applicationem Theorice ad mo turn Terrce ejufque perturbation.es ab aclionc reliquonim Planetarum oriundas. i T JL N parte fuperiori Theoriatn actionis planetaruni mutuje ita in genere conftitui , uc ex ea inxqualicates cujufque planetx, quae ejus motni ab a&ione reliquo- rum planetarum inducuntur , definiri atque affignari queant. Quas insEqualitates ita ad commodum calculi aftronomici traduxi , ut pateat , quantum primo latus rectum feu parameter orbita: , turn vero excentricitas , tertio locus aphelii, & quarto pofitio plani , quod or- bita in ccelo occupat , quovis tempore immutetur. Cognitis enim his variationibus , manifeft'o apparebit, quantum motus planetas quovis tempore a regulis Kep- plerianis recedere , & quales corre&iones Tabulis con- fuetis adhiberi debeant, uc ad quodvis tempus verus planetas locus in ccelo affignari queat. i. Labor autem foret nimis operofus , limitefque huicdifiertationi prasfixos longeexcederet, fi hancTheo- riam ad fingulos planetas accommodare vellem. Ipfa quoque Illuitriffima Academia Regia tarn prolixum opus non requirit, dum poftquam Theoria perturbationum folide fuerit ftabilita ejus applicationem tantum ad 1110- tum Terra: exigit : cujus pr.xcepto morem gefturus N ij too Ikvestigatio perturbationum cunctas perturbationes , quibus terra in motu fuo ob actionem reliquorum planetarum eft obnoxia , data opera detcrminabo. Ex hac autcm applicatione facile perfpicietur , quomodo per eandem Theoriam & reli- quorum planetarum omnium perturbationes , quas fibi mutuo induunt , derlniri oporteat. 3. Ad motum autem terrx perturbandum rcliqui pla- netx omnes concurrunt , fmgulorumque effectus fecun- dum prxccpta fuperiora feorfim inveftigari convenict , quod opus pro fingulis fimili calculo abfolvetur. Quo- niam igitur terram in locum planetaz perturbati confti- tuimus , littera i perpetuo unitatem denotabit : atque ex tabulis folaribus pro ejus excentricitate media afiu- memus ^ = 0,01 6S. Quanquam enim cunctis inxqua- litatibus rite determinatis demnm verum valorem excen- tricitatis media: k definire licet , tamen in ipfa harum inxqualitatum inveftigatione valore ipfius k proxime vero tuto uti poterimns , quandoquidem hie minimas aberrationesmeritonegligimus. Interim valor A=o,oi 68 tarn prope ad veritatem accedere videtur , ut error nul- lius certe fit momenti. Habebimus igitur conftanter i=i & £ = o, o 1 68 , neque quicquam praterea ex terrx theoria repeti eft necefle , propterea quod non tam quantitas abfoluta ejus parametri quam ejus ratio ad parametrum cujufque alterius planetre in computum ^ngreditur. 4. Quicunque planetarum pro perturbante afllimitur, ejus primum vim abfolutam , feu rationem ejus marTaj ad maflam Solis nofle opportet, quam rationem littera n indicavimus. Ex phanomenis quidem SatellitumNev- tonus conclufit , fi Saturnus fit plancra perturbans fore n = ~T7 j fi" autem fit Jupiter cfie n = -—jy > P'o reliquis autem planetis , quoniam Satcllitibus deftituun- tur , valor fradionis n ex pharnomenis determinari ne- motus Planetarum. 101 quit. Etfi autem Mars & Venus ratione voluminis terras func minores, fortafie ob majorem denfitatem ratione ihaflac non multum difcrepant , foretque ergo pro illis « = 17 o'jj3, pro Marte tamen hanc fra&ionem ob ce- leb. Monnierii obfervationes notabiliter imminuere vel- lem , ut eflet quafi « = Toobo^d > nullumque eft du- bium , quin pro Mercurio ruec fradio multo minor fie accipienda forfitan n = tbo^^To- Verum ex ipfa quan- titate effecluum forte hsec accuratius definire licebit. 5. Porro pro quovis planeta none oportet motum me- dium jfeu rationem anguli , dato tempore circa folem defcripti ad motum medium foiis pro eodem tempore. Hanc rationem littera m indicavimus , unde tabulas aftronomicas confulentes reperiemus pro Saturno m = ^z= 0,0339 pro Jove m=z /r = 0,0843 pro Marte m = jj = o, 5316 pro Venere m^ 1 ^- = 1,62 50 pro Mercurio m — jj — 4,i')ij Excenrricitate horum planetarum Jittera e indicata non erit opus , llquidem vidimus perturbationes inde pen- dentes tam prodire exiguas , ut pns reliquis facile rejici queant. Saltern in hac applicatione ejus rationem non habebimus, etiamfi in Theoria non fit neglecta 5 prop- terea quod ad motum apogei medium nihil plane con- fert. 6. Cum ieitur fit m - — - = ob a = b , bine re- ° cV c cV c liquas exprelliones , qua: in calculum ingrediuntur, de- terminare poterimus. bb , bb Jj m* cc 1 Sic erit c c y f f 1 ff~ \ + l/m<>fj—i+j(m4> 101 INVESTIGATIO PER.TURBATIONUM £5 mm b b c ij m* Turn etiam hinc elicicntur valores numerorum /* & r fupra ($. LXXVII) introductoruin , eritque: z b c z 1/ mm cc — b b i — y/m 4 Ex his autem negle&a excencricitate e habemus : j = jtt ( i ■+• y A: co/i v) ; s s = (j. '- ( i -*- z v A Co/', v ) J s* =111 {i •*- } v kcof.v) &c. atqne i — ss = w — z ^. /* v k cof v , & I i i fi fi k cof v 7. Jam pratcipuus labor in computo litterarum g-, h, g' y bJ, 8:c. confiftet , pro quibus primum ex §. LXXII valores expreffionum P(l—ss); iQ.(l — ss);±R(i — ss)i LS(l—ss)&c. hincque ipfac hse littene P , Q , R , 5" , &c colligi debenr. Qiux finguke cum habicura: fint formam A-±-B kcof.v , eric porro g +.h kcof.v = P (1— £(1 — i)kcoJ.v) g' +-h' k cof. v -0 £r (1 — i (1 — v) k cof. V) g" ^ hi 1 kcof.v =Rs^{i—\{i—^)k cof. v) g m + h'"k cof. v =S jJ (1 — 1(1 — v) k cof v) &c. MOTUS P L A N E T A B. U *&. IOJ quoniam excentricitatem e, ac proinde numeros inde pendentes /, /', /", dec. negligimus. Negligimns vero etiam terminos quadratum /t 1 ejufque altiores potefta- tes involventes , undc calculus in numeris fa:is expe- dite abfolvi poterit. Atque hoc modo omnia elementa , quae ad perturbationes motus in orbita inveniendas fpec- tant, erunt cognita. 8. Denique vero quod ad variationem plani orbital attinec id pro quovis planeta perturbante ad planum ejus orbitas , quae faltem ad tempus ut fixa fpe&amr, eft relacum. Ex tabulis autem Aftronomicis collio-imus pro An. 1750. Si orbita terra referatur ad Efle longirudinem nodi Liclinationem alcendentis orbita: Orbitam Saturni 5> f , 2 1°, 20', 6" 2°, 3 '» 10 Orbitam Jovis 5>, 8 , 15, 5°> 1 > 19, 10 Orbitam Martis 7> n> 5 6 > ", r , 51 , Orbitam Veneris 8 , 14, 23 , 43> 3 > 2 3 > 2° Orbitam Mercurii 7> l8 > *9> 0, 6, 55?, 20 His igitur notatis perturbationes, quas quilibet planeta in motu terra producit , per calculum numericum in- veftigemus , unde quantum Theoria cum veritate con- fentiat, facile eric judicare. 104 Investigatio perturbatiokum I. Invcjligatio incequalitatum motus Tcrrot ah aclionc Saturni oriundarum. 5- 1 mmum igitur Saturnus locum teneat planetx pcrturbancis, atque ut vidimus pro eo habemus & m J Oi I o» 0339, & quanticates hinc derivatas cum fuis logarithmis : /^i== 8,040266 r4 = °> 01097 £f = 0, 00114 ^ = 0, 01079 iy, =7,055293 1^=2, 033159 IX =0, 2072 At l = 0,0429 ^?= 0,0089 ^4=0,0018 » =0,9783 1 == I , O449 lit =S.3^4M 1^=$, 632.850 /At!= 7, 949175 lp4s=sj t 2657OO / , =9,990465 /- = o, 019070 ^ v = o, 2027 ^*K= O, O42O /xh = o, 00S7 l«,4 v = o , o o 1 8 i-v = o, 0217 & =0,0459 1 o. Ex his valoribus formabimus fequentes t\ = i — I ( 1 — » ) * cof v = 1 — o, 03 16 A: co/ v s =0, 2072 ■+■ 0, 2027 k cof. v s 1 = o , 0429 ■+- o , 0840 £ a?/ v 55 = 0,0089 ■+■ 0,0261 A: cof. v 54 = 0,0018 -+- 0,0071 k cof. v 55 = 0, 0003 ■+■ o, 0017 k cof. v s 6 = o, 0001 ■+• o, 0003 A: co/ v Turn MOTUS PlANETARUM. 105 Turn vero r -J- = 1 , 04.49 -+• o, 05 1 8 k cof v, unde valores7 > (i~^j); ±Q(i—ss)) { R {i~ ss),& c . colliguntur P (1 — ss) = o, S>97 2 9 — °> 0053 5 kcof.v 7 Q (1 — jj) = o,75307-ho, 00605) k co f- v i R (1 — -tj-J = o, 475 1 8 -4-0,01283 k cof.v x S (1 — ss) = 0, 18 004 -ho, 01316 k cof. v 1 1. Ex his deducitur : P = I , 0411 -f— o , 08/9 h cof. v; hinc Q = 1 , 5746 -r- °, 1511 kcof.v ; Qj = o,3ij7-t-o,55»o^ co/T v R = O, 92 J o -J- o, 1 14s A cof.v; Rs- =0, 04 J. 5 •+■0,0877 k cof. v S =0,5851 -J— o, 0790 A; Co/ v ; SjirrrOjOO^iH-o^oifilA «/ v multipliccntur jam hx formula: per 1 — o, 03 16 kcof.v, indeque pro litteris g, k, g' } h', g'\ h'\ &c. fequen- tes obtinebuncur valores: g =1,0411; h =0,0519 g' =°> 3*57* /z ' = °> 3394 £•"=0,04255 h" =0,0863 £-'"=0,00515 ^'"=0,0159 &c. qui per fe tantopere decrefcunt , ut circa convergen- tiam feriei in quam fupra terminum ^ transformavimus nullum dubium fuperefle poffit. 11. His valoribus invenris inquiramus primo in mo- turn aphelii terra: , quatenus ab aifhione Saturni afficicur, & quoniam per ( 101) tempore quo Sol motu medio con- ficit angulum a , aphelium terra; refpecl:u ftellarum fixa- rufn promovecur per fpatiolum nb b c • . ,, n b ! . . , —-{■Lg'+.h') a ( ig + A)u, ob Prix 377"' k"- 1 12 '"> farculo autem elapfo hie motus eric quafi 38'". Ina:qualitates periodicas, quibus locus nodi afficitur, quia nullius plane funt momenti, hie non evolvo, multoque minus eas , quibus in genere incli- natio turbari eft inventa : ilia; enim nunquam ad mi- nutum fecundum, ha: vero ne ad tertium quidem ailiir- gere reperientur. Si ergo terra a folo Saturno percurban- tur, linea nodorum terrx fuper orbita Saturni retro- moveretur . ' // Tempore unius anni per fpatium 22' Tempore unius feculi per fpatium 3S", qui ergo motus motui aphelii proxime eft arqualis. 16. Phenomena, qua: hinc in latitudinem ftella- rum fixarum fluunt, ita fe habebunt. Cum fit inclina- tio orbitx terra: ad orbitam Saturni a = 2 , 30', 10", erit pro tempore unius anni xyrg 1 . aJzn.A — o, ci 64": Hinc fte liar urn fixarum, quarum longitudo eft ?', 1 1", vel 3«, 21 , latitudo tempore unius anni mutabitur fere uno minuto tertio. Seculo autem elapfo, mutatio lati- rudinis ita fe habebit : Si longitudo ftella: fit '', 14'", idque ob fo- lam actionem Saturni. MOTUS PLANETARUM. I 09 II. Inveftigatio inxqualitatum Terra ab aclione Jovis oriwidanim. 17. v>ollocato jam Jove in locum planetar perturbantis habebimus n — -— , 5: m = o , 0843 j indeque quancitaces derivatas cum logarithmis fub- fcriptis ^ = 0,0369645 f' = 0,006730; '^=0,0350041 8,5677705 7,8180105 8,544144 Porro erit i «, = 0,37081 & y ss= 0,97871 , hincque s =0,37081 -+- 0,34437 kcof.v; 5'>5 6 9M I 9>537° 2 i> .s l = o , 1 3 7 5 o -+-0,25539 k cof. v j 6,138301 9, 4071 10 J? = O, O5O99 -HO, I4Z06 k Cof V y 8 > 707453' 9> J 5 2 45* s-i ==■ 0,01891 -j-o, 07013 k cof. V i 8, 276604 8 , 846542 s^ = Oi 00701 +0, 03255 k cof. v 5 7. 845755 8 > 5 I2 ^°3 ^ 6 =0,OOl6o -h O , O I 449 £ COf. V y 7, 414906 8, 160935 j" 7 =0, 00096 4-o, 00627 k cof vj 6,985057 7,797°33 i io Investigatio Perturbationum j 8 s= O, COO 3 6 H-O, OOiil! k cof. V, 6, 553208 7, 414176 s? =0,00013 -4-0, eon 1 kcofv; 6, 1213551 7,044475? j 10 = 0,00005 -j- 0,00046 k cof v i 5, 651 510 6, 655)388 .,-!.= 1, 15943 +0,34331 kcofv, o, 064144 5>, 5 3 5 6 5- s £ = 1 — o , 1 0694 ^ co /- v > 9, 019140 18. Ex his jam calculo fecundum {§. LXXII) fub- ducto invenitur P ( x jj) = O, 991 I I I O, OI7O94 g Ct>/ Vj 9,996m S,13 1844 <2*(i — ") = 0, 5 6 3774"*-°» 53 8 3 94 kcofv; 5>>75 II0 5 5>>73 llCO /J^i — ss) = 0, 134856 -ho, 262368 kcof.v, 9, 119870 9, 418910 5j5(i — jj) = o,o30i76-»-o, 088736 /'co/T v; 8, 479)18 8, 948100 hafque formulas primum per p^-n deinde per fj mul- tiplicari oportet, hoc eft conjunctim per 1, 15943 •+• o, 11933 k cof. v\ 0,064144 9,341098 unde prodeant forms g ■+- h k cof v. Fa&a igitur mul- tiplicatione reperietar : £ = 1,1491x5 h =0,197565 g" = 0,65566; h' = 0,74788 ; g"=0, 15636 i A" = o, 33378 ; g'"= o } 03498 ; A'"= , 10950 5 motus Plane ta rum. hi 15?. Hinc pro mom aphelii terra medio eric 1 g'+./i'= : 2,05510 i 3 £-*-/£= 3, 64491 !?U 1 S''- t - /i ')= =0 > OI 798S5 ^fjg"*- A) =0,011x65* unde tempore , quo fol motu medio angulum a> confi- cit , aphelium terra: promovetur per fpatium o, 005710 n « => rrrm > ob " = n>«7- Ponamus jam a = 360°= 1:5)6000", ut obtineamus aphelii motumannuum, qui prodibic =6", 9 5=6", 57'"; & motus feculalaris = 65)5 " = 1 1', 3 5". Quare fi terra tantum a Jove perturbaretur , aphelium ejus refpectu ftellarum fixarum promoveretur Tempore unius anni per fpatium 6", 57'", Tempore centum annorum per fpatium 1 1', 35", Saturnus igitur &: Jupiter conjun&im imprimunt aphe- lio terra: motum annuum 7", 15)'". Revera autem quot- annis promoveri obfervatur per fpatium 1 1 " circiter. 10. Omiflis mutationibus , qua: excentricitatem Sc parametrum afficiunt , quarramus ftatim correcrionem , quam locus terra: in orbita exigit , ac pro coerHcienti- bus B' &c C (§. CXXIIJ) obtinemus valores fequentes: B' — — 0,03650; C = -h o , o 1 3 8 1 . Quare fi « jam denotet angulum , qui oritur , Ci longi- tudo Jovis a longitudine terra: fubtrahatur , longitudo terra: per tabulas folito more computatas fequentem correctionem recipere debet : — 7", 06 Jin. « -t- 2', 67 Jin. 2 »j qua: ergo nunquam ad decern minuta fecunda exfur- gere poteft. Verumtamen ha: correctior.es maximi (tint momenti, quandoquidem Theoria motus folis jam ad tantam perfe&ionem eft perducta, ut in calculo vix unum minutum fecundum ne^li^ere fas lit. Deinde cum Luna iiz In vestioatio Perturb ationum fore tantumdem motum terrx perturbare fie invenra , neuter effedus per obfervationcs rite comprobari po- teft, nifi utriutque vera quantitas per Theoriam fit cx- plorata. 2 i. Motus linex nodorum motui aphelii tarn exade xqualis deprehenditur , ut differentia vix ad parces mil- lionefimas afcendat > difcrimen autem in hoc verfatur, quod aphelium fecundum fignorum ordinem progredi- tur, dum nodi motum retrogradum tenent. Motus igi- tur hujus linea: nodorum ita elt comparatus uc retro- grediatur Tempore unius anni per fpatium 6", 57"', Tempore 1 00 armorum per fpatium 11', 35". Viciffim ergo linea nodorum orbitx Jovis ad eclipticam relatx tanto motu retrogredietur , quatenus ipfa terra adioni Jovis eft fubjeda : qui effedus probe diftingui debet ab eo , quern reliqui planetx adione fua imme- diate in Jovem exerunt , unde peculiaris linea; nodo- rum Jovis motus oritur non pendens a mobilitate plani eclipticx. Ex quo intelligitur motum obfervatum no- dorum cujufque planetx effe effedum mixtum partim ex mobilitate ejus propria: orbitx partim vero ex mo- bilitate ipfius ecliptica: oriundum, qui propterea modo magis rationalis definietur, li orbita: planetarum non cum piano eclipticx, utpote mobili, verum cum piano refpedu ftellarum fixo , veluti forfitan cum piano xqua~ toris folis comparentur. 22. Seorfim autem hxc mobiiitas orbitx terrx ab adione Jovis profeda fentiri debet in latitudine ftella- rum fixarum, qux indc variabilis reddetur. Maximam vero mutationem fubibunt ex ircllx fixx , quarum lon- gitudo in nodos orbitx Jovis incidit, 6: qux eft vel $\ S°, vel 3', S°j hxeque maxima mutatio ob inclinatio- nem orbitx Jovis = i°, \$' 10" fingulis annis valebit o , MOTUS PlANETARUM. 113 o", 16 = 9'", fingulifque feculis 16"; qua; propterca ehpfo quovis feculo ita fe habebit : Si longitudo ftella; fit 9*, 8° ejus latitude {£*<} r«" fi latitude fuerit {— $ At fi longitudo ftella; fit 3 ', 8° ejus latitude {**£ i«5" fi latitude fuerit {^$ pro reliquis ftellis fixis hsc mutatio fecularis in latitu- dine diminui debet in ratione firms totius ad cofi- nura differentia; longitudinis ftella; ab his duobus limi- tibus. mt >^£**fc ******* Prix de 17 56. 1 J H4 Investigatio perturbationum III. lnveftigatio incequalitatum Terra ab actione Manis oriundarum. .Si i3.0l mafia Manis arqualis eflet mafia: terra: habe- remus a ■= l7 o Q 6o cum autem fecundum celeb. Mon- nierii obfervationes volumen Marcis fit quafi quadragies minus volumine terra:, fi mafia in eadem ratione eflet minuenda haberemus n ■= iS0 ' ^ : Nihil autem im- pcdit quominus ftatuamus n== 100 o 0dS , fi enim aliunde conftiterit hanc fractionem n efle five majorem five mi- norem, insqualitates , quas reperiemus in esdem ra- tione erunt five augenda: five diminuendo. Ob hunc autem tantillum valorem ipfius n facile intelligitur ina:- qualitates, ab actione Martis oriundas multo fore mi- nores, quam qua: ab a&ione Jovis oriri funt inventa:, neque hanc parvitatem ab vicinitate compenfari pofie ftatuamus ergo pro his inarqualiiatibus inveniendis : , & m = o, o, 5316. 1000000 24. Ex valore ipfius m deducuntur fequentes va- lores : -?-* = 0,43064 5^ = 0,16515 5 ^/=0, ay 166 ^,634114 9,117875 9, 400819. Dcinde eft: ^ = 0,91740 5 v = o, 39797 unde porro coiligitur fore : M O T U s = O » PI740 ■+■ 9 , 5*62557 J 1 = o , 84I 6i -+- 9 ,915114 Si = o , 77110 -t- 9 , 887671 s* = , 7083 1 ■+- 9 , 850118 si = o , 645181 •+■ 9 , 81178J s 6 = o , 55>6i3 H- S> > 77534* S7 = o , 54689 + 9 ) 737&5>5> ; 8 = o , 50171 •+■ 9> 700456 5? = o. 46017 •+- 5>> 663013 5 10 = O j 41115 •+■ 5>> 61557O S n = o, 3873-7 -h 5>> 588117 s 11 = o> 35537 -♦- 5>> 55O6S4 J 1 ' = o, 31601 -t- 5>» 513241 JH = o, 29909 -*- 9. 47575>8 J 1 * = O] 17438 -»- 9> 43^355 J 1 ' = o , 15 171 H- 5>: 400911 s Planetarum. 0,36510 k cof v j 9, 561414 o, 66989 k cof. v i 9, 826001 0,91183 k cof v i 9,964.64.9 1 , 12757 k cof v; 0, 051145 1 , 2 9 3 04 k cof v ; 0, i 1 161 1 1 , 41348 k cof v; 0, 15335° 1, y 13 54 k cof n o, 181854 1 , 59736 k cof v; o, 103403 1 , 64859 k cof. vi o, 1171 13 1 , 68045 k cof. v, 0, 22^427 1 , 695 8 1 k cof vi o, 219377 1 , 6971 6 k cof vi 0, 219721 1 , 68671 k cof v> o, 127041 1 , 66642 k cof v\ o, 111783 i , 63796 kcof vj o, 114303 1 , 60184 k cof. vi o, 204889 Pij "5 1 1 6 Investigatio pfrturbationum ij, Potcftates has ipfins s ulterius continuare opus erat , quam pro Saturno feu Jove , quoniam ferics pro licteris P , Q, R, &c. multo minus convergunt : cujus rei ratio eft quod orbitx Alarcis 5c terrx longe minus a fe invicem magnitudine difcrepant. Quam ob rem illarum ferierum pro P , Q, R , Sec. inventarum plu- res terminos a&u colligi oportet, antcquam de illarum veris valoribus cerci efte queamus. Praterea vero ex va- loribus fju 5c v habcbimus : ,-— = 6,31373 -J- 16,70380 kcof.v o, 800286 1 , 416573 &f^=i — 0,90305 k cof. v 5>>5>557 12 Quoniam igitur deinceps per harum duarum quantita- tum productum eft multiplicandum , iftud productum reperitur. f!. l4r;= 6, 31373 M- 21, 00x19 kcof.v o , SCO286 1 , 322265 26. Seriebus igitur illis fummatis, qua: (§. LXXII) funt exhibits, primum valores P (1 — ss), Qs{i — ss) 7 Rs z {i — ss), 5cc. reperientnr, turn vero ex iis, dum per ^. T ^ Tl multiplicantur , littera: g, A,g', h' , &c. eliciuntur, ut fequuntur: P (1 — jj)=o,9i8S6 — 0,08705 kcof.v; g = f , 8*4*4 9,96791s 8,939784 A =18,95868 Q'(" — **) = 1,55081 -1-0,87715 kcof.v; g' = 9,79134 0,190556 9,943094 h' = it, 108/7 Rs x {.i — ss)=.l, 19171 -+-1,671.71 kcof.v; g" = 7,71407 0,070167 0,113418 A" = 3/, j 3530 5jMl~^i) = o, 87773 -4-1,04009 kcof.v; g'"= 5,54175 ?, ?433«I °,3 3> &C'~— 31, 33048. Hinc fi ftatuamus n = t000 T 000 , corredio loci terra: ex tabulis ordinariis computati erit in minutis fecundis — o", ^ot, Jin. yi — 3", 231 Jin. 2 » fin autem ftatueremus n = j 7 J 000 > f° ret i^ a corredio ~ 4", 73 5 /"• « — 37", 9^4/"- 2 »• Ubi » prodit fi longitudo Martis a longitudine terra: fub- trahatur. Hinc ftatim apparet, maflTam Martis certe efle minorem mafia terra:, propterea quod tanta: inxquali- tates in motu terra: non deprehenduntur; atque etiam motus aphelii a tribus planetis fuperioribus genitus jam veritatem excederet. 2S. Motus nodorum fuper orbica Martis iterum pra> cife squalis deprehenditur motui aphelii , quod qui- dem quoties n eft fra&io minima femper evenire debet. Nodi ergo hi pofita n = —jj^ quotannis regredien- tur per fpatium 23'" at vero per fpatium 4", 40'", fi pone- remus «= ^J^,, , In hac ultima hypothefi , qua mafia 1 I S Ikvestigatio perturbationom Martis maflae telluris a-qualis fumicurerit motus fecularis = 466", hincque ob inclinationem i° 51', maxima mil- ratio fecularis in ftcllarum fixarum latitudine prodit 1 5", quam ex ftellx* fixa: patiunuir, quarum longitudo eft vel 7 ! , 17°, vel 1*, 1 7 , ilia- fcilicet tantum a polo ecliptica; boreali removebuntur, ha: vero tantumdem eo admove- bunttir quovis feculo elapfo. At hie effectus toties eft mi- nor, quoties mafTa Martis minor fuerit mafia telluris. An- tequam autem effedlum a Venere oriundum definive- rimus, nihil certi hie ftatuere licebit; actionem autem Mercurii cum ob parvitatem , turn ob folis vicinitatem tuto negligere poterimus. motusPlanetarum. 119 IV. Inveftigatio incequalitatum Terra ab aBione Veneris oriundanim. 1 9. J\- N 19. Ante celeb. Monnierium Venus tellure major eft; credita, nunc autem ejus volumen quad triplo efle minus certum eft, ejus tamen mafia pro ratione fortafle eft major, quoniam Newtonus obfervavit, quo quifque planeta foli fueric propior ejus denfitatem efle majorem. Haud multum ergo fallemur fi maflam Veneris maflac terreftri jequalem aflumamus, quoniam deinceps con- ferendis phxnomenis cum calculo certius judicium circa maflam tarn Veneris quam Martis ferre licebit. Habemus itaque pro calculo noftro ad actionem Vene- ris traducendo Unde cum m fit unitate majus , calculus multo allcer fe habebit ac pro planecis fuperioribus, interim tamen ex iifdem formulis erit petendus. 30. Ex hoc valore ipfius m primo deducuntur fe- quentes valores. £=.1,910465 £ = 0,531815 '£=0,384775 0,281138 9>7M7 6 5 5,585197 ^ = 0,94981 5 v= — 0,30571 5 5^77638 9,485300 unde colligitur fore no Investigatio Perturbationum .r =0,94981 — 0,19036 kcof.v; 5,5)77638 9,4625)38 s 1 = 0,90215 — 0,55158 kcof.v, 9>5>55 z 7 6 9,741606 j}=o, -85687 —0,78947 kcof.v; 9> 93*9*4 J>> 8 5>7335 j + = 0,81386 — 0,99520 kcof.v; 9,910552 9*9919** ^ 5 = 0, 77502 —.1,18157 kcof.v; 9, 888190 o, 072460 s 6 = 0,73412 —1,34673 kcof.v; 9, S65828 o, 129279 ^7= 0,69737 1,49233 kcof.Vi 9, 843466 o, 173864 ; 8 s=o, 66237 — 1,61992 kcof.v; 9, 821 104 o, 209494 j9 = o, 61913 — i>73°5>5 kcof.v; 9,798742 0,138285 .fi°= 0,59750 —1,82676 kcof.v; 9, 7763S0 o, 261680 j«s= 0,56757 —1,9085s kcof.v; 9, 754018 o, 18071 1 j»=o, 53908 —i,97759 kcof.v; 9, 7316)6 o, 196137 ,i!ss 0,51203 —1,03487 kcof.v; 9,709294 °>3 o8 537 i«4=,o, 48633 —1,08141 kcof.v; 9, 686932 o, 318360 lf M=» o, 46192 —1,11827 kcof.v; , 9,664570 0,315961 MOTUS PLANETARUM. Ill 5 '==0,43874 —1,1455)9 kcof.v; 9, 64220S o, 331628 s'7= 0,41672 — 1,16568 kcof.v; 9, 619846 o, 335595 - rl8 = 0,39581 — 2,17800 kcof.v; 5>> 5^74^4 o. 33 8o 57 3 r. Quoniam hie valor ipfius ^ propius ad unitatem accedit quam pro Marte , feries pro inveniendis litteris P, Q, R,&ic. minus converging , unde plures termi- nos aclu addere eft opus, infuperque necefle eft regu- Jas pafTim expofitas pro fummandis feriebus minus con- vergentibus in fubfidium vocare. Hx fcilicet feries comparentur cum progreflionibus geometricis , & cum exponentes continuo varientur, medius qufdam , cum jam plures termini actu fuerint fummati , eligatur, quo paclo ifta: fumma; facile proxime falcem obtinebuntur. Turn yero ex valoribus pro ^ & y invencis eliciemus. 1-^=10,70040 — 63,15470 kcof.v t 1,019400 1,800406 U £=: 1 — 1,912)7 kcof.v} quarum duarum formularum produ&um eft /> i^ = 10, 70040 — 84,11210 kcof.v. 1 , 019400 1 , 924859 31. Colligamus igitur fummas ferierum / quat fupra (§. LXXII) func propofics , & cum invenerimus va- lores pro P ( 1 — ss) ; Qs (1 — s s) ; Rs^ii — ss); Ss" ( 1 — s s) j eos ftatim per fj> ^^77 mukiplice- mus, ut eadem opera valores g, k, g' , h' , &c. nan- cifcamur , Prix de ljbG. Q 122 Investigatio Perturbationum P (l — ss) =0,91034 4-0,08475 kcof.vi g— 9,2^tc» 9, 565948 8,918140 /; = — 76, 50484 Qs[i — *j) = i, £3454 — o, 78198 kcof.v; g' = 17,49010 0,113394 9,893751 A'= — 1;3, 31131 fi-j'fi — s s) s=i, 3/6Si — 1, 70 in A fp/ v; 5"= 14, y 18 jo 0,131516 0,130730 A"= — 132, 31640 Sj'(i — »)= 1,09118 — 1 , 3J3fO A co/v; g"= n,6SSoc o, OjSj4° 0,371714 A'"= — 117,05800 Ex his valoribus ftacim pro mom aphelii invcnicur ^Jl (ig' + A')— lj-(5g + A)=i, 54-66, Cum autem in prargrandibus illis numeris error facile irrepferit qui etfi ipfos parum afficic, tamen in diffe- rentiis notabilis evadic , & aliunde conftec hunc valo- rem convenire cum '~ g'. hujus valor eft i , 6746 , quo fi utamur pofito n => 170 ' 00 - tempore unius anni aphelium promovebitur per fpatium 12, 7", feu 11", 33. Si ergo mafia Veneris arqualis efiet mafia: terra , ab ejus actione Aphelium Terra: fingulis annis promo- veretur per fpatium 12", 42.'", & quidem refpectu ftel- larum hxarum , cum tamen conftet totum ejus motum annuum vix 12" fuperare. Quare cum certum fit, ac- tionem. Saturni & Jovis jam ipfi imprimere motum 7'', iS>'" quotannis, qui a Marte aliqiiantillum augetur , evidens eft pro Venere vix 5" relinqui. Multo igitur minor fit Veneris mafla quam mafia telluris necefie eft, 8c quia ejus volumen jam triplo minus eft , mafia quo- •qvie in- eadem ratione diminui debet j nnde fi pro Ve- aierc ponamus n ~ j—^ ; ejus efiectus in aphclio jcrnt promovendo erit quotannis 4", 14'". Verumta- men fi ordinem,' quo planeta: Soli propiorcs fimul den- fiores obfervamur, fecuti denfitatem Veneris, aliquan- MOTUS PlANETARUM. I: turn augeamus , effe&us aliquantillum major prodibit. Pro Marte autem , cujus volumen fere quadragies mi- nus eft terra , ob denfitatem minorem ejus mafia pluf- quam quadragies minor mafia terra: ftatui deberet. Unde cum Marti parem cum terra mafiam tribuentes , ejus effe&um annuum in motu aphelii invenerimus 4", 40'", hie effectus revera minor eric quam 5'", ideoque penitus rejici poterit. 34. Si conjecluris aliquid tribuere licet; quia Ne\r- tonus ftatuit denfitatcs Saturni , Jovis & Terra; uc 6~ } 9 5 & 400 , videntur ea: proportionales efie radici qua- drate motuum mediorum , quos littera m indicavirnus. Hanc igitur regulam fi fimul ad reliquos planetas tranA feramus , eorumque volumina fecundum celeb. Mon- nierium conjungamus, poterimus eorum mafias colli- gere ut fcquitur Volumen 132 Denfitas Mafia Saturnus 0, 184 i4,2S8 Jupiter 270 0, 2512 78,840 Mars I 41 0,730 0,018 Terra I 1. i> Venus I 5 1, 17 0,420 Mercurius r 5 ° i> 04 0,040 Mafiam vero Terra: ad Mafiam Solis ftatuit Newtonus ut 1 ad 170000 circiter, qua: ratio paralaxi Solis 10" nititur , qua: , fi efiet major minorve , fractio I70 ' ooo in ratione duplicate parallaxeos deberet augeri mi- nuive. j 35. Quia ergo Martis effectus in motu aphelii eft nullus & Veneris effectus ex hypothcii n = l7o ' O0O inventus eft = 12", 42"', hie per o, 42 multiplicari debet, ut prodeat verus effectus annuus qui ergo eric i;4 Ikvestioatio Perturb ationum = 5", 20. Cum ergo ab a&ione Saturni & Jovis con- junctim fie 7", 19", ob actionem omnium planeta- rum aphclium terra: refpectu ftellarum fixarum quoc- annis promovebitur per fpatium 12", 39" 6c fi ob Martem addamus circicer 4'", habebimus 12", 4}'", id quod Luis convenic cum obfervationibus j cum enim prarceffio media arquinoctiorum fit fingulis annis 50", 1 8'", erit refpee~tu arquinoclii'motus aphelii annuus 63" 6c unum "' qua: dcterminatio cantum tertio major eft quam motus 63", qui aphelio in noviflimis tabulis afli- gnatur. Viderur ergo dcterminatio mafia: Veneris veri- tati maxime conformis, ac proinde pro Venere erit va- lor 11 = jyszzo == 4o 4 '»h ' S u ' cum rat ' on ' maxime fit conformis , nefcio an gravius argumentum proferri point, pro evincenda planctarum a&ione mutua, quan- doquidem motus aphelii terra: exa&iffime inde dedu- citur. 36. Cognito itaque vero valore ipfius n = 404 ' 7< - qualitates in loco terras inde orhmda: certius definiri poterunt: colligiuitur autem valores : B' = — 1 1, 2886 i C' = -t- 11, 7995. Quodfi jam longitudo Veneris a longitudine terra: fub- trahatur & angulus refiduus vocetur <=», turn longi- tudinis terra: more confueto computata: correc~tio ab actione Veneris profeda eric 1 — 5", 75 fin. y\ ■+- 6", 02 fin. 2 x, qua: correclio, quando fit maxima, ufque ad ioi mi- nuta fecunda increfcere poteft, id quod evenic, quando angulus n eft vel » =4 f , 7 , vel » = io«, 7 , illo cafu io{" a longitudine terra: fubtralii hoc vero addi debent. A Marte autem talis coneftio vix fcnfibilis motusPlanetarum. uj oritur, quoniam enim ea, qua: ex hypothefi n = . ^ p 5 eft inventa, plufquam quadragies minor accipi debet, ea femper infra minutum fecundum fubfiftet, ideoquc nifi fumma precifio delideretur, fine errore ne^li^i po - tent 37. Motui aphelii sequalis eft motus nodi retrogra- dns , unde linea nodorum orbita; terra; fuper orbita Ve- neris quotannis per fpatium 5", 10'" regredietnr; qua; pracefiio integro fa;culo valebit 533 minuta fecunda. Cum igitur inclinatio orbitarum harum fit 3 , 23', 20", maxima mutatio fecularis, qua: hinc in latitudinem ftel- larum fixarum redundat erit 3 1{", qui effe&us cerse no- tabilis poft plura fecula efle debet. Quoniam longitudo linea; nodorum terra; fuper orbita Veneris cadit in 8', 1 4 , erit latitudinis variatio fecularis ut fequitur Pro ftellis quarum longitudo eft S', 14 U*>* {»":"' } 3 . f " R U* foe* { ^} At pro ftellis quarum longitudo eft 2', 14 Latitude |2mLr) 3 > r" *> latitudo fuerit f |5b£.J i 16 In vestigatio Perturbationum CONCLUSION Contincns dijlinctam expofitioncm omnium incequalitatum quibus motus tclluris ab acHone omnium Planctarum conjun3im perturbatur. h j X iis quce ha&enus fingulathn circa effectum cujus- libec Planets in mocnm terra: per calculum funt eruta, perfpicuum eft, omnes perturbationes , quibus motus terrae afficitur , ad tria genera reduci pofTc. Primum fcilicet genus fpectat ad promotionem aphelii terra?, five apogei orbits Solis , prouti in Tabulis exhiberi folet. Ad fecundum genus refero correftiones , quibus locus terroe five folis fecundum confueta Tabularum Aftronomicarum prxcepta computatus ad veritatem per- duci debet. Tertium vero genus refpicit latitudinem ftcllarum fixarum, qua:, quia ab aclione planetarum planum ecliptics paulatim immutatur , variabilis eft deprehenfa. Hos igitur ternos a&ionis planetarum ef- fedus in motum Telluris exertos hie breviter comple- xurus diftincte proponam : quo tarn eximius Theoris cum veritate confenfus clarius perfpiciatur , quam ipfa Theoria motus folis ad majorcm perfectionis gradum evehatur. motus Plane ta rum. 127 I. De effeclu P lanetarmn in Aphelio Terra feu Apogeo Soils promovendo. Quilibet Planeta aliquid ad aphelinm terra: refpectu ftellarumrlxarum promovendnmconfert. AcSaturni qui. dem & Jovis cffectus nulli dubio eft fubjectus, quoniam horum duorum planetarum mafia, feu vis abfoluta ex motu fatellitum fatis exacte eoncludi poteft. Si enim tnaflam folis unitace defignemus, ex remporibus perio- dicis Sacellitum novimus efle maflam Saturni = j^- ri & Jovis = tofj* Hinc igicur inveni ab a&ione Saturni aphelium Terra: fingulis annis promoveri debere per fpatium o", 2 1'", ab a&ione Jovis autem per fpatium 6", 57'", ideoque ab ambobus conjunctim per fpatium 7", 1 $/". Pro Marte fecutus fum reccntiffimas conclufio- nes celeb. Monnierii , qui ejus volumen 42 vicibus minus ftatuit quam volumen terra;, uude cum ejus mafia ob minorem denfitatem ad minimum quinquagies mi- nor fit putanda, ejus effe&us in motu aphelii terra: pro- movendo per annum 5'" fuperare nequit. Eidem auc- toritati innixus volumen Veneris triplo minus aflumfi volumine terra: & quia ejus dcnfitas probabiliter ali- quanto eft major, ejus maflam fumfi ■— mafijc terra:, unde pro Venere prodierat valor ipfius n = 404 ' 7 ^r? hinc vero pro aphelio telluris adeptus fum motum an- nuum 5", 20'". Mercurii plane nullam habui rationem, cum ob fummam ejus parvitatem , turn quod ingens difcrimen inter ejus orbitam & orbitam Terra: efFettum diminuit ; unde calculo fubdudo aphelium Terra; vix per 1'" quotannis promoveri reperitur. Ex his igitur effe£tibus particularibus colligendis adi- pifcemur univerfum aphelii terra: motum annuum , ut iequitur : u8 Investigatio perturb ATIONUM Promotio annua Aphelii Terrae a vi Saturni o", 22'" a vi Jovis 6 , 57 a vi Martis o , 5 a vi Veneris 5 , 20 a vi Mercurii ..... o , 1 1/ . hi Moms totalis annuus . . . 1 2' , 44 Per tantum ergo fpatium aphelium terra feu apogeum Solis quotannis refpectu ftellarum rixarum promoveri debet , refpectu requinoctiorum autem , quorum pra:- ceffio media annua fhtuitur ab Aftronomis 50', 18"', hxc aphelii terra; promotio erit 63", 2"'. Convenit autem hxc determinatio tarn accurate pendet, atque ea mutata in ratione cuborum imrau- tsri debet , manentibus illis reliquorum planetarum rnafiis. Si ergo Solis parallaxis horizontalis efiet 12 ±", ^fta mafia afiumta per (if^) 5 = 1, 5? 5 mukiplicari de- beret, ficque prodiret = ^ylpo- Hinc igitur mafia Veneris foret 4 1 vicibus minor mafia terra: j 5c quia volumen tantum triplo eft minus , denfitas multo mi- nor efiet ftatuenda j quod etfi nullo jure inficiari pofiii- mus , tamen prior hypothefis Newtoni 1 o" elegantius cum ordine , quo denfitas planetarum ad folem acce- dendo crefcere videtur , confifteret. Verum cum ha;c conjectura nimis debili nitatur fundamenco , hinc mi- cime argumentum contra parallaxin n±" petendum gtf& ceafeo. II. De Ejfcclu Planetarum in longitudine terra vel Sohs alter anda* Supra vidimus efFedum Saturni nimis effe parvum quam ut in loco terra; folisve perceptibilem mutatio- nem generare valeat , quod idem de Mane & Mer- curio eft tenendum , omnis ergo perturbatio , qua; qui- dem ab attione planetarum in locum terra; redundare poteft , tantum a Jove 5: Venere oritur, qua fit, ut etfi locus folis fecundum tabulas ordinarias veris ele- aientis rite inftru&as fuerit computatus , is tamen ad Prix deij56. R. 130 IN VESTIG ATIO rERTURBATIONUM plura minuta fecunda a veritatc difcrepare poflit. Re- quirit itaque accurata loci terra; folisve determinatio duplicem corredionem , alccram a loco Jovis alteram a loco Veneris oriundam , qua; utraque adhiberi de- bebit ad locum ex tabulis ordinariis fupputatum, quas quidem tarn ratione motuum mediorum quam excen- tricitatis rede conftitutas effe poftulo. Primum igitur ad tempus propofuum quxratur lon- gitude Jovis heliocentrica, eaque a longitudine terra;, (qua; a longitudine folis 6 (ignis diftat) fubtrahatur, ac refiduo per » indicato, erit corredio a Jove orta: — 7", fin. » -+- zy", fin. x «. Deinde fimili modo ad ternpus propofitum colligatur Longitudo Veneris heliocentrica , qua; a longitudine terra; fubtrada , relinquat angulum littera h iudican- dum , ex quo habebitur corredio a Venere ~ 5f fa » + 6" fin. z „. Atque hac duplici corredione adhibita verus locus terra; vel Solis obtinebitur , quatenus is quidem ab adione planetarum principalium turbatur. Nam fatis certum videtur locum terra; etiam ab adione luna; aliquan- tillum alterari , qui effedus ad io" ufque exfurgerc pofle videtur i & fi adhuc non fatis diftinde eft ani- madverfus , ignoratis illarum duarum inarqualitatum Jovialis 8c Venerea; in caufa fuifle eft credenda. Nullum autem eft dubium , quin adhibendis his corredionibus locus folis exadiffime definiri poflit s dum ea; ex iifdem fontibus promanant, unde illae^re- gia motus aphelii determinatio eft deduda. Aftronomi quidem etiamnunc conqueri folent loca folis ex opti- mis tabulis deduda quandoquc ultra femiminutum pri. mum ab obfervationibus difientire, etiam fi eardem tabula; pluribus aliis obfervationibus exade refpondeant : nunc autem facile perfpicimus mazqualitates a Joye & Venere MOTUS P L A N E T A R U M. 131 profe&as, fi iunarem adjiciamus interdum fere ad 30" afllirgere pofie. Verum cabularum fumma cura inftruc- tarum error etiam major evadere potelt , proprerea quod his corredtionibus ignoratis neque excentricitas neque aphelium uet|uc Iula media exa£liu"iuic confti- tui potuerinc. Quando autem plures accuratiffima: folis obfervationes praifto fuerint , ex quibus ejus longitudo ad aliquot minuta fecunda vere deriniri poffit , noa fo- lum confenfus harum corre&ionum cum vericate facile explorabitur , fed eciam vulgaria elementa quibus ta- bula; func fuperftrudae , exa£liQlme emendari pote- runt. III. Ds effeclu P lanetarum in Latitudine Jlcllarum fixarum mutanda. Quatenus planetx vi fua planum eccliptica: de fitu pellunt , eatenus nobis ftelL-e fixa; latitudinem mutare videntur. Hie quidem effedus a Marte & Mercurio oriundus rejici poteft, cum a priori integro feculo va« riatio nodi j" aflurgatj qui autem a Saturno oritur, quia lines nodorum Saturni & Jovis tantum 13 dif- ferunt , ejus effedus utpote valde parvus fine errore cum efFedu Jovis conjungi atque ad lineam nodorum Jovis referri poterit quorfum eft exiguum efTedum Martis conjicere licebit. Variatio igitur fecularis maxima , qua; a Saturno , Jove 6c Marte fimul in latitudine ftellarum fixarum generatur ita fe habebit : Pro ftellis fixis , quarum longitudo eft 5% 8° (A. 1 7 5 o) Rij i3* Investigatio Perturbationum Pro ftellis fixis , quarum longitudo eft 3 * , 8 ° Latitude { afL W'i « ^udo fuerit { fgl } Major autein effe "* latitudo fuerit { J^ } Hate fcilicet valent pro ftellis quarum longitudo nunc eft vel 8', 14 , vel 2*, 14 . Etfi cnim labentibus feculis longitudo ftellarum fixarum notabilitcr mute- tur, tamen earum diftantia a nodis planetarum multc minorem mutationem patitur, unde quarum ftellarum longitudo nunc eft 8*, 14 °, vel 2', 14 , eat etiam ante plura fecula nodis Veneris tarn fuerunt propin- quat , ut in variatione feculari nulla fenfibilis mutatio oriri queat. Atque ob hanc caufam iftat expofitat va- riationes ad plura fecula retro & in pofterum fine fen- fibili errore extendi poterunt. Quantum autcm hate cum experientia conveniant tarn facile non patet, dum plures Aftronomi omnino negant latitudinem ftellarum fixarum ulli variationi cile obnoxiam > quat fententia fi veritati efiet confentanea, certe ingens detrimentum pateretur. Verum ejus falfi- tas argument© maxime obvio luculenter oftendi poteft. Qui eni.m ftatuere velit latitudinem ftellarum fixarum efle invariabilem, quia orbits; planetarum fitum fuum jefpedu ecliptics continuo mutant, is concedere cogi- lHOTUS PUNBIAKUM. X33 cur , diftantias flcllarum fixarum ab orbitis planetarum eSTe' variabiles , eorumque hieolns mucationem quan- 6am in ftellarum latitudine ipfis'vifa pcrcipere debere. Cum igitar omnium planetarum iricolajvar-iationem in latitudine ftellarum fixarum obfervent, ridiculum fdrer, hoc de incolis Terrs negare velle. Verum non dico , omnes ftellas in latitudine parem variationem pati , quin potius dantur ftella; , quippe quarum longitudo vel intra hos lrmites o',S^ 5 &c 1 1 5, 14 , vel intra hos 6', 8°, & 5 V 14° conti- netur , qua; , nullam fere mutationem in latitudine fubeunt. Ac fortafie tales ftelhe fixa; Aftronomps fe- duxerunt 5 ut crederent latitudinem nulli mutationi cfit; obnoxiam. Ad hoc accedit,'quod vetoes obferva- tiones pierumque nimis fuht cralfe , quam ut ulla mu- tatio ex ear'.im -cufrv hodierrtis compardtione tnto con- cludi queat, prscipueh ejiifmodi ftella; fixa; eXamini fubjiciantur , in quibus non fatis notabilis variatio lati- tudinis evenire_ debuit. Verum G examinaretur ftella cujus longitudo hodie eft circiter vel 3! vel 9% ejus ktkujo tempore Ptolemei ad 1 3 1 diverfas efic debuit ab ea quae hodie obfervatur. Interirii tamen in catalogo Ptolemei plerunique multo majus difcrimen latitudinis deprehenditnr, quam Theoria poftulat , & quam hie errori obfervationum ihaud parum eft tribuendum , tamen inde iftam varia- tionem fatis manifefhm reddi pofie mini quidem vide- tdr , praccipue fi ad ftellas principaliores refpiciamiis. Ita a Landsbergio ad initium jExx. Chriftianx affi- gnatur Oculi Tauri latitudo 5° 3 44' A quae hodie eft 5 , 30' A> Cordis Scorpiilatitudo 4, u A qua; hodie eft 4 , 31'! A, At hodie oculi Tauri longitudo eft 2', 5 , 52' & Cordis Scorpii . . . . 8 , 5 , 1 *> } Ij4 Investigatio perturbationuw Secundum noftram ergo Theoriam latitudo octih Tauri a A. o ad A. 1 7 5 o decref<~erc <-lebent i j\ X 48" = 1 4', id quod exa&iflW cum decremenco a 5 , 44' ad 5 , )o' conven't. Ueindc latitudo Cordis Scorpii ab A. o ad A. 1750, quia eft auftralis & longitudo fere 8* 14 , crefcere debuit incremento \~j\. 48"= 14' j cum ergo nunc latitudo lit 4 , 3 1 \" y tempore A. o crat 4 , 17' qua: a Landsbergio alfignatur 4 , 12', ubi error 5' incuria: obfervationum adfcribi debet. Qua: duo exem- pla mihi quidem ad variationem per Theoriam ftabi- litam confirmandam fufficere videntur , neque du- bito quin indidem plura hujufmodi argumenta peti queant. Quo autem clarius appareat quomodo cujufque ftella;. flxa; variatio iatitudinis fecu-laris definiri queat , pona- mus ftella: fixa: longitudinem A. 1750 efie = /. atque ejus latitudo fi fuerit borealis labente quoque feculo crefcet parcicula 17 f" cof. (/— 3 J . 8°) * 3 i\" cof. (/_ ifj 14°) fin autem latitudo fuerit auftralis , ea fingulis feculis tantumdem decrefcet. Hxc autem formula fimplicius ita exhiberi poteft » at fit W±"fin.l+6\"cof.l; unde fequens tabufa pro variatione feculari ftellarum fixarum eft fupputata. MOTUS PLANETAR.UM. I35 TABULA INDICANS Quantum latitudo cujufque ftellcz fixce Jl fuerit borealis elapfo quoque feculo varietur. ARGUMENTUM. Longhudo flcllce ad An. ij5o futnta. '-, V K f H s Q "$ Grad. A - / S // 5 //; 5 lv s V s + «",! +29", 5 -1-44 ,5 H-47", 8 -+-38", 3 +18", J 5 -+-10, 3 -+-31. 5 -4-45.9 +47, 1 + 35, * -f-14 , fi 10 -t-'4. 4 +35, S -+-47 > ° +46 ,0 +3i, 6 H-10,5 'J -HiS, 4 +38,1 -+-47 » 8 +44.6 +J-9. 4 + 3 +44,5 +47.8 +38,3 + 18,5 — > tf, 2 ■A. »n 4-> £ ~- )( Grad. W 5 *7/ 5 VI 11 S IX S X S AT/ 5 -IS", 5 - 6",i — is",5 -44", 5 -47">8 ~38",3 5 — io,5 — 3i,5 —45,9 — 47, » — 35><> — 14,« 10 —M.4 —35,5 —47,o —46,0 —32,4 — JO,/ »/ -18,4 — }».! —47,8 — 44. <> —19.4 — *i3 10 — 11,1 — 40, « —48,1 — 41. 8 — 16,0 — *,i *5 -*5.« — 4S 7 —48.1 —40,7 — ti, 3 + 2,0 30 — 1P.3 —44 5 —47.8 -38,} -18,5 -t- 6,1 Si ftellae latitudo fuerit auftralis , turn figna hxc verfa funt intelligenda. Veluti fi quxratur latitudo Sirii tempore Ptolemei feu A. 150 qua? nunc eft 39°, 31', 8" A. quia ejus Ion- •136 INVESTIGATTO PERTURBATION0M gitudo nunc eft jS io°, 14', ejus latitude fingulis fe- culis laberttibus minuitur 46", ergo A. - 150 major fue- rit quam nunc 1 6 X 46", hoc eft 1 1', 1 6", erat ergo Latitudo Sirii A. 1 50. . . . 39 , \$', 51" A. Similique modo opehujus tabula: latitude) omnium ftel- larum fixarum ad quodvis tempus definiri poterit. Quodfi Catalogos Fixarum Ptolemau & Tychonis , quos Flamftedius cum fuo proprio edidit confulamus , manifefto inde fequentes quatuor obfemtionis collige- mus. I. Quod fixarum borealium, quarum longitudo eft H vel 2 > latitudo olim fuerit minor , quam nunc. II. Quod fixarum auftralium, quarum longitudo eft H vel s>, latitudo olim fuerit major, quam nunc. III. Quod fixarum borealium, quarum longitudo eft +» vel % > latitudo olim fuerit major, quam nunc. IV. Quod fixarum auftralium , quarum longitudo eft +* vel h , latitudo olim fuerit minor, quam nunc. Etfi enim ex comparatione horum catalpgorum ob no« tabiles errores in antiquis obfervationibus commifibs, de vera differentia nihil certe ftatuere valeamus, tamen infignis confenfus nullum dubium circa veritatem ha- rum 4 regularum re'linquit. Hac igitur ratione noftra Thcpria , qua: jam ex motu apheLii orbita: terra; egre- gie eift confirriiata, novum firmamentum acquirit, fimuU que quxftionem maximi momenti de variabilitate lati- tudinis ftellarum fixarum, circa quam omnes Aftronomi adhuc aucipiter hxfere , ica dilucide* decidit, ut etiam cujufque ftellx fixx ad quodvis tempus veram latitudi- nem aflignare valeamus, IV MOTUS PLANETARUM. 137 IV. De effeclu Planetarum in obliquitate Ecclipticce im~ mutanda. Tametfi jam fatis conftat , ab a&ione planetarum nullum efFe&um in axem terra? redundare pofle } unde ejus fitus immutetur, tamen quoniam pofitio plani ec- clipticse variatur, dum planum arquatoris neuticam affi- cicur , manifefturn eft hinc mutationcm in horum duo- rum planorum mutua inclinatione oriri debere. Ad quam dilucide definiendum , ne effe£tus a mutatione axis terra: oriundos , qui in prsceftione xquinockiorum .& mutatione quadam periodica obliquitatis ecclipticx confumuntur , cum hoc effciftu adtioni planetarum de- bito confundamus, quia uterque eft valde parvus, al- terum fine altero in hoc negotio confiderare licebit : Animum ergo prorfus a nutatione axis terra: abftraha- mus > ita ut neque a:quinoetiorum prarcefllo , neque mutabilitas ilia in obliquitate eccliptica: locum habeat, & quoniam planum arquatoris refpeftu fpatii abfoluti nulli mutationi eflet obnoxium , omnium ftellarum fixa- rum declinatio eflet immutabilis. Confideremus ergo ftellam fixam , cujus afcenfio re&a fit 90 , ejufque propterea longitudo in initio caniri , cujus declinatio fie = d conftantis magnitudinis; lati- tudo vero prarfenti tempore fit =» / , caque borealis > ntque nunc quidem erit obliquitas eccliptica: = d — /. Verum poftquam feculum fuerit elapfum, declinatio etiamnunc erit eadem = d, latitudo vero turn ex noftra tabula erit = /-*- 47", 8 , ideoque poft feculum obli- quitas ecliptics erit d — / — 47", 8, hincque fero 48 ' minor quam nunc. Quod ratiocinium cum ad p!u- rima fecula elapfa accommodari queat, cvidens eft obli- Prix de zjiff. S 1 3 S Investigatio perturbationem, &c. quitatem ecliptics fingulis feculis 48" diminui. Cum igitur hie idem effe&us ad phenomena ab axis terrs nutatione oriunda accedat , per Theoriam certum eft, mediam obliquitatem ecliptics fingulis feculis 48" mi-' norem fieri j quare cum nunc ea obfervetur 13°, 28', 30" ea ante feculum feu A. 165c fueric 23 , 25?', 18" necefle eft, at A. 1550, 23 , 30', 6"; tempore au- tem Ptolemsi feu A. 150, obliquitas ecliptics fuit 23°, 41, 18". Verum fi veteres obfervationes examinemus, nullum plane dubium relinquitur, quia quo magis regrediamur, obliquitas ecliptics major fuerit, quam hodie undede- nuo qusftio maximi momenti in Aftronomia deciditur, & quod adhuc in fumma dubitatione erat conftitutum, ad infignem lncem revocatur 5 quo ipfo Veritas Thecv- ris hie expofits ad fummum certitudinis gradum eve- hitur. FINIS. Periurbait07i&f PLxusLirum . a L. Eulerj? Pr/w Jl' i-5, ./.' Li i'.lr.L-IL' J'.v^ . P R I N C I P E S HYDROSTATIQUES ET MECHANIQUES, Sur la queftion propofee pour la feconde fois par l'Academie Royale des Sciences : Quelle ejl la meilleure manure de diminuer le Roulis if le Tangage d'un Navire , fans qu'il perde fenjl- blement par cette diminution aucune des, bonnes quahte's que fa conflruclion dolt lul dormer. Piece qui a remporte le prix de l'Academie Royale des Sciences en IJfyJ. Par M. Daniel Bernoulli, AJfocie E tr anger de l'Academie Royale des Sciences , Membre des Academies de Berlin , de Petersbourg , de Bologne , &c. Qui dubiis aufus committere flatibus alnum Quas natura negat , prxbuit arte vias. Sur la maniere de diminuer le Roulls & h Tangage d'un navire ,fans qu'il perde fen- Jiblement, par cctte diminution , aucunc des bonnes qualites que fa conjlruclion doit lui donner. §• !• V^y uoique l'Academie Royale des Sciences ait adjuge le prix de l'annee 1755 a M. Chauchot , tres- favant & tres-habile Conftrudteur de Vaifieaux, elle n'a pas laifle de propofer une feconde fois la meme queftion pour le Prix de 1757. Ce fujec etoit , La maniere de diminuer le plus qu'il ejl pojjible le Roulis & le Tangage d'un navire, fans qu'il perde fenfiblement , par cette diminution , aucune des bonnes qualites que Ja conjlruc- tion doit lui donner. L'Academie donne en meme terns a connoirre la rai- fon qui i'a engagee a ce nouveau procede : Elle a voulu Aij 4 RliCHERCHES SUE LE IlOULIS couronner l'excellence &: la bcante do la piece de M. Chauchot > mais en meme terns, elle a en egard a ['im- portance d'un fujet qu'elle juge fufceptible de recherehes plus profondes. Ces recherehes plus profondes ne peu- vent conlifter fans dome que dans un examen exadV. & precis de tout ce qu'une bonne Mechaniquc 6c Hydrof- tatique peuvent nous dieter fur ce fujet. §. 1 1. De toutes les recherehes qu'on peut faire fur notre queftion, la plus elientielle eltcellc qui conceme la itabilite des navires. Celt auffi ce qui a engage M. Bou^uer, cet illultre Geometre, 6c 1'hommc du monde le plus cutendu dans tout ce qui regarde la navigation Sc la conftruclion des vaifleaux, a traiter cette queltion avec une fcrupuleufe attention 6c toute la fagacitepollible, dans fon Traiti du Navire , de fa conjlruclion & defes mou- vemens. M. Chauchot , a fon exemple , n'a pas manque de citer la-deflus quelqucs form u les, 6c d'y ajouter quel- ques reflexions , mais fans cette precihon 6c ce detail que l'lmpo ranee de la queltion exige. Je ne faurois done me difpenfer de reprendre tout de nouveau cette roa- tiere,, mais ion jours dans la vue d'appliquer mes recher- ehes a notre fujet principal) He comme depuis tres long- tems j'ai tache de me la rendre familiere, j'ofe me flatter de n'eh rien dire dans ce Memoire de fuperrlu ou d'etranger a la queltion de l'Academie. ET LE TanGAGE DES VaiSSEAUX. CHAPITRE PREMIER. Sur la ftab'diti des corps flottans. §. III. 1 out corps flottarst dans des eaux calmest affcctcra une cercaine poiition determinee ; il n'y a que les corps fpheriques, done le centre de gravite fe crouve place an centre inemc des corps, qui foient abfolumenc indifrerens a toute pofition. La moindre fcrce pent faire quitter A ces corps leur premiere poiition , & iis ne la reprendront point, quoique la force cede d agir. Dans les corps cylindriq ies ou fpheroidiques , qui auroient leur centre de gravite place dans l'axe , il n'y auroit que i'axe meme qui prendroit toujours une certaine por- tion determinee ; raais rien ne determineroit leur pofi- tion autour de leur axe Tons les autres corps flottans prennent une certaine petition determinee en tons fens. II eft vrai que la moindre force leur fait encore quitter cette pofition ■. mais la force cefiant d'agir, les corps re- prennent toujours leur pofition d'equilibre. Celt cet effort de fe rapprocher de fa pofition diequiiibre qui for- me la ftabilite des corps flottans , comparable en tout a celle d un corps arrondi pole fur un plan horizontal, qui auroit le centre de gravite an defibus du centre de la courbure pour le point d'atrouchement & pour le plan vertical , dans lequel on rouleroit le corps. Ordi- nairement la force requife pour eloigner les corps plon- ges, de let r poiition paturclle", ell ci'autant plus grande que les corps s'en elbigncnt davantagej cependant cette augmentation de force ne va que julqu'a un certain de- gre. Cecte force depend encore de plufieurs aucres cir- 6 Recherches sur le Roulis conftances, ce qui fait que les corps plonges out plus on moins de ftabilite. quoique rapportee au meme plan & a une inclinaifon egale. Jc me propofe done, avant toutes chofes , d'examiner les circonftance> qui decer- minenr la ftabilite des corps plonges ; & comme les na- vires font fore fujets a s'eloigner extremement de leur pofition droicc, je poufferai a cet egard mes recherches plus loin qu'on ne fait ordmairement > je confidererai des inclinaifons finies queiconques. II faut confiderer d'abord deux poincs dans les corps plonges 5 Tun eft le centre de gravite du corps, 6c l'autre, le centre de gravite de fa partie fubmergee , coniideree comme homogenej on regardera enfuite la pefanteur de tout le corps comme concentree dans le premier de ces deux points ; de-la il refulte une force egale au poids du corps appliquee a fon centre de gravite, agiflant verticalement de haut en bas. Dans l'autre point on fuppofera une force egale qui agit verticalement de bas en haut 5 cette feconde force provient de la pouffee de l'eau qui foutient le corps. Lorfque le corps plonge fe trouve dans (3. pofi- tion naturelle , les deux dits centres de gravite fe trou- veront necefiaircment dans une meme ligne verticale j mais fuppofons le corps , par des forces purement hori- zontales, arrete dans une autre pofition , il faudraalors, par les deux dits centres de gravite , tirer des verticales, & la diftance entre ces verticales marquera le levier, fur l'extremite duquel le poids du corps agit & fait effort pour remettre le corps dans fa pofition naturelle. Je pane legerement fur ce principe comme clair par lui- meme. Si on nomme done P le poids du corps & r la diftance entre les deux dites verticales, le produit Pr marquera le momentum de la force, qui tend a rappro- cher le corps plonge de fa pofition naturelle, 8c qui fera fon effet auflitot que les forces horizontales etrangeres cefTeront d'agir. Ainli notre qucftion fe trouve reduite a celle de determiner la quantite r pour chaque pofi- ET Lii TANGAGE DES VaiSSEAUX. J tion du corps , done le volume fubmerge eft fuppofe conftammenc egal. Je remarquerai cependant ici , que cette fuppofition ne trouvc plus lieu aufiitot que le corps eftabandonne a lui-meme & qu'il commence a balancer, &i que ce corps tirera alternativement plus &i moins d'eau. §. I V. Commencons par une fimple tranche unifor- mement epaiffet plongee vercicalement dans l'eau , 6c pcrpendiculaire a l'axe de rotation. Suppofons la tran- che d'une figure quelconque, telle que ace , qui pent p lc j reprefenter la plus grande fection verticale d'un navire perpendiculaire a fa longueur. Suppofons audi que dans Ja pofition naturelle de la tranche la ligne a e foit hori- zontal , & que de cette pofition naturelle la tranche foit parvenue dans la pofition oblique ace: foit alors bd la ligne d'eau, & bed la panic fubmergee. De cette maniere Tangle cntre les prolongees e a fie db fera Tan- gle de rotation , que j'appellerai a , Sc que je mefurerai par un arc de cercle qui a Tunite pour rayon. 11 eft queftion de trouver une equation entre la differentielle da & Tincrement de force correfpondant. Soit done pour la pofition infiniment proche de la precedente la ligne d'eau mn , & comme la partie fubmergee eft fup- pofee conftammenc egale , il faut que le triangle ele- mencaire b x m foit egal au triangle oppofe dxn , ce qui fait bx — dx> le petit angle bxm ou dxn fera expri- me par da. Soit le centre de gravite de la tranche ace au point s , les centres de gravite de la partie fubmer- gee homogene pour les lignes d'eau b d & m n aux points j & g. Si apres cela on tire des points s &/", les lignes s r &. fo perpendiculaires a la ligne d'eau bd> 1'interceptee ro fera, en vertu du §. Ill, la longueur du leyier fur lequel le poids de la tranche fait effort pour rapprocher cette tranche de fa pofition naturelle relativement a la ligne d'eau bd; & fi pareillement on tire des points s &cg, les lignes n& gy perpendi- 8 RtCHERCHES SUR LE ROULIS culaires a la ligne d'eau m n, l'interceptee t y fera dans le merac fens le levicr relativement a la ligne d'eau mm ainfi la difference entre ty 8c ro, marquera ['increment du levier pendant que le poids applique a ces leviers refte conftamment le meme. II s'agit done de determi- ner la differentielle ty — r o : or tirant encore la ligne fo perpendiculaire a b d, on aura ty — r o =■ y q — op-*- lit; & comme la petite ligne gf eft neccflairement parallele au niveau d'eau m n , on aura y q =gf, & par confequent ty — to =g f — op -+- u t : nous allons maintcnant determiner analytiquement ces trois ele- mens. Soit bd = q, la furface Bcd=-M , on trouvera par les premiers principes de la Statiquc gf-= ^~^' Confiderant enfuite l'egalite des angles b xm-, ofp & u s t , & denotant la verticale fo par y , la verticale s r par f, on aura op =y da 8c ut = ^da, Sc enfin la quanti te cherchee gf — op-^-u t — ( ^-^ — y -+- r J da. Si on indique par s la hauteur verticale du centre de gravite de la tranche par - deffus le centre de gra- vite de la partie fubmergee homogene , ladite quan- tite devient ( — - — s) da. Voila pour chaque rota- tion elementaire da l'accroiffement du levier j 8c fi on multiplie cette quantite par le poids de la tranche, on aura raccroifTement du momentum de la force. Soit done lepaiffeur de la tranche = * £c la quantite M a. expri- mera la quantite d'eau deplacee, au poids de laquelle le poids de la tranche eft egal. Ainfi nous exprimerons ce poids par Met , 8c de cette maniere nous aurons lc- dit accroiffement du momentum de la force = ( *-, — Ms ) ad a, 8c le momentum total fcra exprime par Tintegrale de ladite quantite ou par/ (7^ ?' — Ms) a. da. $. V. La ET LE TANGAGE DES VaISSEAUX. ? §. V. La folution que nous venons-dc dormer de no- tre probleme, s'etend a tons les corps prifmatiques, l'e- pailteur de la tranche indiquee par «. pouvanc etre quel- conque ; mais sil etoit queftion d'aurres corps, il fau- droit prendre des abfcifles x dans Line ligne perpendi- culaire au plan ace, enfuite fubPcituer dx pour a., 8£ faire une feconde integration , puifqu'il eft clair que le momentum total fera exprime ywfdxf{-± T a> — Ms) da. Cette derniere expreffion eft a la verite generate & com- prend abfolument tout cc qu'on peut defirer fur cettc matiere ; mais comme il n'y a aucune loi de continuite, qui puiiTe exprimer la valeur de s pour chaque tranche d'un navire, verticale & parallele a la tranche principale, la formule devient tout-a-fait inutile pour cet ufage , 8c il faudra avoir recours a d'autres expediens ; mais avant que d'entrer dans ces difcuffions , nous examinerons d'abord les corps prifmatiques , & il eft indifferent que toutes les tranches de ces corps foient umformement char- gees de matiere on non , pourvu que ces tranches de- meurent dans des plans verticaux. §. V I Pour trouver la valeur def( -^ a ' — Ms)a.da- i il faut connoitre pour chaque angle a les quantises a 6c j, & il fero't extremement difficile de determiner une rela. tion entreces quantites, fi on ne vouloit demeurer dans des fuppofitions bien fimples touchant les configurations des fecfions ace. Je fuppoferai premierement la figure ace former un grand fegment de cercle : e'eft la fuppofition la plus fimple , & en meme tems celle qui approche le plus de la fection principale d'un navire Dans ce cas la quan- tite q devient conftante > mais pour trouver la qumtite s, confiderons la tranche dans fa polition naturelle , 8C fuppofons alors la hauteur du centre de la figure par deffus le centre de gravite =[■> & puis la hauteur de ce dernier centre par deffus le centre de gravite la la partie fubmergee = g : fi apres cela la tranche a pris Prix de 1757. B IO RECHERCHES SUR le Roulis une autre foliation quelconque , on voit facilemcnt qu'on aura toujours la haureur vcrticale du centre par- defllis le centre de gravite =/'«>/] a, pendant que la hau- teur du centre par-defllis le centre de gravite de la par- tie fubmergee eft conftamment f-*-g ; d'ou Ton tire s —f-k-g — fcof.ai ainfi nous Amonsf{—q^ — Ms) a.d a —f{-n ? J — M f — M g+ M f cof. a) a.da = (t? q ; — Mf — M g) a. tr -+- M fa. fin. a j mais la nature du ccrcle eft telle, que la quantite — q x — Mf — M g eft toujours =s= o ; done toute la quantite qui exprime lc momentum de la force devient fimplement = Mf a. fin.a. Cette formule nous montre que ladite force eft propor- tionnelle au finus de Tangle d'inclinaifon. Elle angmentc done continuellement jufqu'a une inclinaifon de 90 de- grees j mais les augmentations deviennent continuellemcnc plus petites. Cette remarque merite quelque attention, parcc que les roulis d'un navire ne fauroient manquer d'etre a-peu-pres pareils a ceux qu'auroient les corps que nous confiderons ici. Or les vaifTeaux font fouvent fort incli- nes par un vent de cote permanent , & alors e'eft cette pofition, quoi qu'oblique , qui doit etre regardeecomme naturelle j en ce fens on pent dire que la ftabilite devient d'autant plus petite, que la pofition naturelle eft plus oblique. II me femble cependant qu'il taudroit richer de donner d'autant plus de ftabilite aux navires, qu'ils font plus inclines par quelque caufe uniforme, parce qu'alors un nouveau degre d'inclinaifon peut etre dangereux* II fuit audi de-la que les balancemens d'un navire con- fiderablement incline dans fi pofition moyenne, feront plus lents que ceux d'un navire dont la pofition moyenne eft droite: ces derniers balancemens difTereront encore entre eux en ce qu'ils feront d'autant plus lents qu'ils feront plus gr.i:i;ls. Notre expreffion marque audi que la ftabilite de ces corps eft proportionnelle a la quantite /, e'eft-a-dire , a la plus grande hauteur du centre par def- fus le centre de gravite, fans que la hauteur du centre de et le Tangage des Vaiss£aux. ir gravite de la parcie fubmergee y entre pour rien pour ces corps figures en fegmens de cylindres. Enfin, la fta- bilite eft encore proporcionnclle a la quantite d'eau de- placee par le corps : le corps aura done d'autant plus de it. bi : te , qu'il tirera plus d'eau , pourvu que fon centre dc gravite ne change pas. En confiderant done la figure ace comme un grand fegment de cercle creux , s'il eft queftion de quelle maniere ii faut le charger de maciere pour lui donner la plus grande ftabilice , je repons qu'il taut tacher de faire la quantite Mf la plus grande qu'il eft poffibie. Si done par exemple la hauteur du centre pa r deflus le centre de gravite eroit de cinq pies , toute la charge qivon ajoutera au-defius de ces cinq pies di- minuerala ftabilite, 8c l'augmentera fi e'eft an deflbus. De-la on pent conclurre qu'en pompant les eaux d'un navire , on diminuera le plus fouvent fa ftabilite. Mais d'un autre cote le monvement des eaux qui coulent du meme cote que le navire s'incline , diminue pareil- lement la ftabilite. §. VII. La matiere qui nous occupe eft fi efientielle a notre fujet principal , quelle merite toute notre at- tention j examinons done encore TefTet de quelques au- tres figures. Void une obfervation fort importance : Soit abedej (Fig. z) la fe£tion du corps prifmatique plon- gee dans l'eau jufqu'en be; fuppofons que Its bords ac Be j d foient des arcs d'un meme cercle , & que jamais les inclinaifons ne foient aflez grandes pour que Tune des extremites c ou d forte hors de l'eau : je dis que Ton pourra ficilement determiner la ftabilite , quelle que foit la figure de la bafe cd t en joignant les deux bords circulates par l'arc intermediaire cgd, de maniere que tout Tare a c gdffoh un arc circulaire. Comme l'eau n'exerce aucun effort dans l'eau, il eft clair que pourvu que le plan cgdc foit d'eau , le plan propofe a c d f aura la meme ftabilite qu'auroic tout le plan acgdj, ii la partie fuperieure a c df "reftanc chargee comme elle ' Bij 12, RECHERCHrS SUR LE RoULTS left, la partie inferieure cgd etoit route d'eau. Soit done le centre commun des arcs abc , cgd & d a J au point o, le centre de gravite de tout le plan acgdf, charge comme nous l'avons dit , au point m; ces deux points o &. m font dans une meme ligne verticale pour la pofition naturelle; qu'on fuppofe om=$ & Tefpace l c gd e = i*> on aura, en vertu du §. VI, la ftabilite pour la figure plongee a c d j egale a la quantite fx $ » fin. a. Cette formule nous fait voir que pour une meme quan- tity fubmergee , la ftabilite eft ici beau coup plus grande quelle n'eft dans les hypothefes du precedent article , le rapport des deux ftabilites etant celui de /t*

cequi augmente le creux : Pour (avoir li cette augmen- tation du creux augmente ou diminue la ftabilite , il ET LE TANGAGE DES VaISSEAUX. 13' n'y a qu'a examiner fi le furcroit du creux furvenu eft rempli d'une matiere plus ou moins pefante que l'eau : dans le premier cas, laftabilite eft augmentee 5 & dans l'aiitre, diminuee. Mais tin aurre effet plus fenfible con- fiftera dans la retardation ou l'acceleration des balance- mens : plus le tirant d'eau eft grand, plus les balance- mens font retardes j 6c dans les balancemens , il ne faut pas feulement avoir egard aux excurfions , on doit en- core confiderer, la duree de chaque balancement. II fauc egalement tacher de diminuer & de retarder les balan- cemens des navires lorfque la chofe eft polfible. §. V i 1 1. La maniere finguliere dont je me fuis fervi dans le precedent article pour determiner la ftabilite dans le cas que les deux bords ac & j d font des arcs d tin meme cercle, quelle que foit au refte la figure du fonds cd, & t'expreffion ft (pa. fin. c. m'engagenc a faire ici encore une remarque qui marqnera en meme terns la juftefle de nos methodes &: repandra quelque nouveau jour fur nos formules. Voici cette remarque. Soit la hauteur be ou ed de la partie fubmergee bedeb tres-petitej alors le centre de gravite de tout le fyfteme que nous avons fuppofe au point m , fera le meme que le centre de gravite du fegment homogene beg des en prenant done le point m en cefens, la Geo- metric & la Mechanique nous apprennent que la quan- tite ,«cp ( e'eft-a-dire l'efpace begde multiplie par la diftance du point m au centre ) eft toujours egale a yy eub.be. Cette propriete convient admirablemenc bien avec la formule generale marquee a la Hn du §. IV /( t l ,q 3 — Ms) a.d mais a caufe de la petitefle de b c , les in- cHnaifons doivent toujours etre tres-petites 5 on peuc done cenfer o- =Jin. e'eft quid la ftabiiite n'eft it leTangage dEs Vaisseaux. 15 plus proportionnelle au fin us de l'inclinaifon , comme lorfque Ies bords font des arcs circulaires d'un meme cercle j elle augmente en plus grande raifon que ledit finus. Plus le corps eft incline" ici, plus il refifte pour etre incline davantage i les augmentations de force pour produire toujours un nouveau degre d'inclinaifon , croif- fent ici en beaucoup plus grande raifon que dans la pre- cedente hypothefe. On obtiendra facilement ici que le corps ne s'incline jamais au-dela d'un certain degre, bien loin de courrir rifque de renverfer; Sc cette leule qualite rend l'hypothefe du parallelepipede infiniment recommandable. Si on faifoit d= j* , on auroit le poinc que M. Bouguer, mon illuftre guide, appelle meta- centre ; {1^ = 25 & c= 10, la hauteur du metacen- tre devient = 20 1 comme M. Bouguer le determine pour 1'arche de Noe. Mais qu'arriveroit-il alors ? 1'ar- che renverferoit-elle i Voila ce que Ton pourroit croire, quand on ne calcule la ftabilite que pour des inclinai- fons iiitiniment petitesj mais nous voyons tout le con- traire par notre methode. La ftabilice feroit exprimee par M ^ a. Jin. a. Elle feroit nulle en faifant x = o & c = o 3 mais elle commence a devenir reelle avec la moindre inclinaifon. Je mettrai ici pour les deux hypothefes, fcavoir, pour celle des bords circulaires & des bords droits Sc verti- caux, les ftabilites pour des inclinaifons egales, en fup- pofant de part & d'autre la meme quantite M, comme aufli la meme ftabilite initiellej c'eft-a-dire, en fiiifanc jtjsse M;8i $ =e ii — d. De cette maniere.. les ftabilites pour les deux hypothefes feront en raifon de {"-fc — ^) fin. a , & ( ^ — d-*-\± c ) fin 45 2 2, JO 2, 52 3 4. 35 4.4* 4 5, 81 5.98 5 7, 16 7» 5 9 10 I4> 47 i7» '7 '5 n> 57 30,86 20 28, 50 yi, 15 2 S 35> ll 81, 17 30 4i» 33 1 24, 66 55 47 > 80 188, 40 40 53» 5 6 274, 70 45 58, 93 412,48 Nous voyons par cette Table combien il y a a gagner pour la ftabilite en approchant la coupe principale ver- ticale & perpendiculaire a la longueur, de la figure rec- tangulaire > mais furtout pres de la furface d'eau : car les parties qui reftent toujours fubmergees , ne fauroienc changer la ltabilite qu'en tant qu'elles changent la hau- teur feT le Tangage des Vaisseaux. *7 tcur du centre de gravite, par-defflis le centre de gravite de la partie fubmergee , ce qui ie plus fouvent n'effc pas de grande importance. §. X I. Venons a prefent aux corps plonges , 6c ne nous arretons plus a une feule feci: ion de ces corps. Lorf- que toutes les fections paralleles de ces corps font les metrics 8c egales en tons fens, la folution pour ces corps prifmatiques , on cylindriques , ne demande rien de nbuvcau j il n'y a qua entendre par * la longueur de ces corps , & nos tommies ferviront encore pour ces corps s il n'eft pas meme necefiaire que le centre de gravite de chaque coupe foit pareillement place, ni que le poids foit egral pour toutes les tranches esialement epaiffes > car le poids entier qli corps pourra toujours etre conn- dere comme concentre dans une feule 5c meme coupe, &c le centre de gravite du corps comme place dans la meme coupe a une pareille hauteur. Il eft vrai que les navires different confiderablement de ces corps j cepen- dant on voit deja que la principale coupe en largeur d'un navire reglera prefque entieremenr la ltabilite d'un bord a l'autre. Cette llabilite pourra faire comme les deux tiers ou les trois quarts de la ltabilite qu'auroit le corps cylindrique de la meme longueur: la fection prin- cipale en longueur du navire reglera pareillement fa fta- bilite dans le fens de la proue a la pouppe. Je ne laiffe- rai pas d'cxaminer cette matiere avec plus de preciiion dans le deflein de chercher toutes les circonftances qui peuvent contribuer a la ltabilite d'un navire , tant a l'egard des roulis que des tangages. Mais pour ne nous point engager dans des difficultes inutiles, je ne confi- dererai que des corps femblablcs en quelquc facon aux navires ; 8c dans ces corps je ne ferai attention qu'aux inclinaifons qui fe font faites , foit en largeur, foit en longueur , fans entrer dans les recherches fur les incli- naifons intermediaires , qui ne font qu'un mouvemenc compofe des deux autres mouvemens. Prix de \jj-j. C iS Rfcherches sur le Roulis §. XII. Ceux qui auront hi avec quelque attention nos remarques fur cette matiere , verront d'abord que la ftabilite de tous les corps flottans depend uniquemcnt de deux chofes : la premiere eft la feclion horizontale du corps faite au niveau des eaux , &: la feconde eft la hauteur du centre de gravite du corps par-deffus le centre de gravite de la partie fubmergee , confidence comme homogene , laquelle hauteur doit etre multi- plied par tout le poids du corps plonge , ou par touc le poids de 1'eau deplacee. Examinons chacun de ces deux points a part. Nous avons vu , au §- V, que la ftabilite des corps eft = fdxf{± qi—Ms) da=J dxffi q ' da-fdxjMs da. Quant au premier membre, on remarqucra qu'il pent arriver que les memes coupes pourront tirer dans les dif- ferentes inclinaifons tantot plus, tantot moins d'eau , & en ce cas la quantite fdxf-— q-> da ne feroit plus exactement vraie , puifqu'elle eft fondee fur ce que cha- que tranche deplace continuellement la meme quantite d'eau. II pent cependant arriver qu'un navire differem- ment incline tire plus ou moins d'eau par le milieu , & qu'il arrive le contraire vers les extremites. En ce cas , il faudroit une autre folution de notre probleme j il faudroit confiderer la figure de Ja fe&ion du corps au niveau de I'ean. Dans cette rigure on tireroit une ligne parallele a l'axe de la rotation elimcntaire. Cette ligne doit partager ladite fedion de maniere que les deux coins folides formes par la rotation foieni egaux. Voici, apres cela, comme il faudroit proceder. Soit la furface plane du coin d'un cote = 5", & de l'autre = S', la dif- tanre du centre de gravite de cette furface jufqu'a la ligne qui partage la fection du corps faite au niveau de I'eau, d'un coie — q, & de l'autre = q'i Tangle ele- mentaire de rotation = da. On fait que le folide du coin fcra d'un cote = S q J a & de Tautre = S' q' da , & ces deux quantises doivent etre egales. Soit apres IT LE TANGAGE DES VaISSEAUJT. I<) cela la diftance da centre de gravite dii coin a ladite ligne qui partage la feci ion entiere =jP, d'un cote, 8c de l'autre =/?'$ je dis qu'on aura la ftabilite du corps, entant qu'elle eft formee par la k&ion du corps avec le niveau dc \!cau=. fS p q da-\- J S 1 p 1 q' da=f(p-^p') 5 qda. Dans cette exprelTion, on fuppofe toutes les quantites p, p' t S & q determinees par i'inclinaifon o-, 6 elle a cet avantage quelle ne demande qu'une feule integration. On voit afliez que la quantite fSp q da marque le momentum du coin d'eau elementaire qui fur- vient d'un cote , 8: J S' p q' d a- celui du coin oppofe & retranche du contrepoids. Quant a l'autre membre de la formule, qui exprime la ftabilite d'un corps plonge quelconque , on peut , au lieu de confiderer le double centre de gravite de chaque coupe, examiner tout d'un coup la place du centre de gravite de tout le corps , comrae audi celle du centre de gravite de la partie fub- mergee homogene. Si on nomme enluite encore s la hauteur verticale du premier par-deffus le fecond, 8c P tout le poids du corps plonge , ou de l'eau deolacee , on aura fP s d a pour l'expreflion de l'autre membre qu'il faut retrancher du premier membre, 011 l'y ajouter, fuivant que le centre de gravite du corps eft plus hauc ou plus bas que le centre de gravite de la partie fub- mergee. La relation entre les deux membres de la formule qui exprime la ftabilite des corps eft telle , que dans les corps qui tirent pen d'eau 8c qui forment une grande feftion au niveau de l'eau , le premier membre 1'emporte ordi- nairemcnt beaucoup fur l'autre ; 8c que c'eft tout le con- traire lorfque cette feclion eft tres-petite. §. XIII. Toutes les reflexions que je viens de faire feroient trop abftraites , fi elles n'etoient eclaircies par quelques excmples applicables a notre fujet : il convient done de defcendre a quelques excmples. Celui qui re- pand le plus de jour fur cette matiere, eft de fuppofer Cij io Recherches sun le Roulis l'inclinaifon aflez petite pour que les quantites finies n'en re^oivent aucun changement considerable. Dans cette rcftriction nous pourrons nous fervir de la formule du §. V, fdxfi—qf — M s) da , qui de- vient — [ -^ q > a d x — f M s a d x. Ici l'element dx marque l'epaiffeur de chaqne tranche, q la largeur variable, M la furface plane de chaque tranche variable, 6: s la hauteur verticale du centre de gravite de la tran- che par deflus le centre de gravite de fa partie fubmer- gee , & enfin a la petite inclinaifon commune a toutes les tranches. Quanc au dernier membre, on fait par la theorie fur le centre de gravite, qu'il eft egal a P d a , en entendant par P , le poids de tout le corps, que nous mefurons par la quantite d'eau deplacee, & par d' la hau- teur du centre de gravite de tout le corps par-deflbs le centre de gravite de la partie fubmergee ; mais le premier membre f—; qi a d x ou bien ■— fq'^d x de- pend uniquement de la figure de la fection horizontale ou corps au niveau de l'eau. Si done cette fection etoit tin parallelogramme rectangle , done la longueur fur, egale a b , on auroit (implement f^i J ' environ = £. Si on confidere cetre inclinaifon afiez pe- tite pour induire peu d'erreur dans nos formules, la fta- bilite fera = 711005 e'eft-a-dire que le momentum de la force pour tenir le vaifleau incline de 1 ^ degres , fera egal au poids de 72100 pies cubes d'eau, agiilanc fur un levier d'un pie de longueur. Mais fi nous fup- pofons un levier egal a la demi-largeur du vaifleau , le poids agiflant fur ce levier, fera celui de 3610 pies cubes d'eau , ou de 125 tonneaux, en prenant 2S pies cubes d'eau pour le poids d'un tonneau ; ce qui fait en- viron la quatorzieme partie de tout le poids du vaifleau. Si la fection a fleur d'eau etoit fuppofee faire un rectan- gle, la ftabilite abfolue en deviendroit double j car nous avons vu que le premier membre de la formule , qui cxprime la ftabilite , en feroit augmente en raifon de 335, pendant que le fecond membre n'en eft prefque point change j & ce fecond membre , faifant environ le tiers du premier, les ftabilites pour la fection elliptique & pour la fcflion rectangulaire , feroient comme 3 — 1 a 5 — 1 , ou comme 134. §. X I V. Nous venons de donner, dans le precedent article, des mefures abfolues pour les ftabilites relatives aux roulis 5 confiderons en deux mots celles qui rcgar- dent les tangages. II n'y a , pour cct cftet , qua conver- ET LE TaNGAGE DES VaISSEAUX. 1$ tit les quantitesa & b pour le premier membre des for- mules ; car le fecond membre reftera le meme pour le roulis & pour le tangage. Cette feule confederation nous marque que le premier membre augments en raifon quarree de la largeur du vaiffeau a fa longueur, qui eft ordinairement comme z a 7 ; de forte que le premier membre augmence en raifon de 4 a 45 : & comme le fecond membre , pour la fe&ion du vaifleau a fleur d'eau elliptique , n'eft qu'environ le tiers du premier membre a l'egard du roulis , il n'en fera plus qu'envi- ron la trente-feptieme partie a l'egard des tangages. De- la nous voyons qu'on pent, pour les tangages, negli- ger abfolument le fecond membre ; & que la ftabilite du vaiiTeau pour les inclinaifons de la proue a la pouppe, depend prefque uniquement de la fedion du vaifleau a fleur d'eau. Si done cette fe&ion eft une ellipfe, la fta- bilite de la proue a la pouppe fera {implement expri- mee , pour les petites inclinaifons, par —- ab^a & fi la feftion etoit un rectangle , elle feroit exprimee par ■gj- ab* a. La form 11 1 e pour la fedion elliptique donne pour l'exemple du vaiffeau rapporte dans le precedent article , en faifant P — { a b c , la ftabilite telle que s'il y avoit attache a la proue ou a la pouppe un poids qui fut egal a *-$-£■ P. II fuidroit done appliquer a la proue un poids qui fut environ la huitieme partie du poids de tout le vaiffeau , pour ne Pincliner que de 5 degres. Je trouve que le vent le plus impetueux nc pourra jamais faire la dixieme partie de cet effet , ni par confequent incliner le vaifleau de la pouppe a la proue au-dela d'un { degre. §. X V. J'ajouterai encore quelqucs theoreme; furies corps plonges qui feroient formes par la rotation d'une figure quelconque autour d'un axe horizontal. Toutes les fecYions perpendiculaires a 1'axe de rotation , font alors des arcs de cercle ; & fi l'inclinaifon d'un rel corps plonge fe fait autour d'un axe parallele audit axe de *4 Recherches sur le RoULIS rotation , chaqne arc dc cercle demeurera conftamment le raeme , quelle que foit l'inclinaifon du corps. Voici maintenant une propriete remarquable fur notre fujet. Si on multiplie un fegment de cercie quelconque par la diftance du centre de gravite du fegment au centre du cercle , le produit fera toujours egal a la douzieme partie du cube de la corde du fegment. Si nous nom- rnons done a la corde du fegment fubmerge, nous voyons que l'expreiiion f~q ] dx (voycr §. V) , n'eft autre chofe pour ces corps que le voiume conftant de la par- tie fubmergee de tout le corps multiplie par la diftance du centre de gravite du memc volume a l'axe de rota- tion de la figure generatrice. Soit done le poidb de tout le corps, ou ceiui du volume d'eau deplacee = P, la diftance du centre de gravite de la partie fubmergee homogene a l'axe de rotation de la figure generatrice =/, nous aurons frr^' dx—Pf. Ces facteurs P Sc/'demeurent conftamment les memes pour toutesles inclinaifons du corps plonge j £c le premier membre de la formule generale pour la ftabilite des corps plonges, deviendraici Pfa , quelle que foit la figure generatrice: Examinons maintenant le fecond membre de cette formule. Nous avons vu que ce fecond membre eft toujours egal a / P s d a , en entendant par s la hauteur du centre de gravite de tout le corps par-deflus le cen- tre de gravite de la partie fubmergee homogene ; &. il eft clair que dans les corps formes par la rotation d'une figure autour d'un axe horizontal , la hauteur verticale s eft =/" — g cof. a , en entendant par g la diftance du centre de gravite du corps a l'axe de rota- tion de la figure generatrice. Nous avons done [P s da =JPfd a fPgda cof. a = Pfa — Pg fin. a \ & cette derniere expreflion foit le fecond membre de la formule generale fur la ftabilite des corps plonges, qu'il faut retrancher du premier membre , qui eft pour les corps en queftion toujours == Pfa. Ainll la formule generale ET LE TANGAGE DEs VaISSEAUX. 15 ■generate pour la ftabilite des corps en queftion dcvicn limplement Pgfin.a. §. XVI. Voiia nne propriete bien remarquable fur la ftabilite des corps formes par la rotation d'une figure quelconque autour d'un axe horizontal. Cette ftabilite eft la meme que fi le corps etoit fufpendu en l'air par ledit axe horizontal, &C qu'il lut incline d'un angle a; car le poids P feroic le meme 3 fon a&ion feroit concen- tree au centre de gravite , & il agiroit .fur tin levier g ftn, chacun voir, que plus elle eft grande , plus elle doit faire d'effet ; mais il n'eft pas egalement facile a de- terminer comment les intervalles d'un acces a l'autre concourent pour former les roulis. Ccft ici une queftion, ET LE TANGAGE DES VaISSE AUX. 1$ qu'on n'a pas encore traitee , & que jc vais richer de reduire aux loix de la mechanique. §. X X. Les acces de force motrice font , on tout-a- fait irreguliers , ou uniformement periodiqu.es. Cette derniere efpece pent: encore etre fous-divifee par les durees de chaqne acces : cette duree elt ou plus petite, on egale , ou plus grande que la duree d'un balance- ment naturel du vaifleau ; car tout vaifleau incline, & puis entierement abandonne a Jui-meine , fait des allees &: venues a-peu-pres ifochrones, que je nomme balan- cemens naturels. Lorfque les acces de force motrice font irreguliers, ils agiteront le navire : mais ces agitations feront affez petites j car ces forces accelereront tantot un balance- ment deja imprime au vaifleau, & tantot le retarderont, en agiflant dans un fens contraire a Ion balancement; &C quand meme le hazard feroit que trois, quaere, ou cinq coups de fuite confpiraflent a augmenter les balance- mens du vaifleau, ceux-ci ne pourront pas encore deve- nir exceflifs, a moins que la force de chaque acces ne foit exceffivement grande. Dans tons les cas , la ftabi- lite du vaifleau fera un vrai remede qu'on pent oppofer a ces efforts : plus la ftabilite fcra grande, plus les balancc- mens provenans de ces efforts feront petits. Cette re- flexion nous conduit done encore pour ces cas a la con- clufion d'auqmenter la ltabilite des navires , rant que les autres circonftances le permettent. §. XXI. Confiderons a prefent les acces de force motrice , lorfqu ils font reguliers & uniformement pe- riodiques ; je ne doute pas qu'ils ne foient a-peu-pres tels afl'ez fouventi carlorfque le vent n'eft pas variable, qu'il ell parvenu a agiter les eaux de la mer avec toute la force qu'il peut leur imprimer, £c que la mer eit libre & bien profonde jufqu'a une grande etendue, il eft cer- tain que les agitations des eaux ne fauroient manquer d'etre resrulieres. Alors ces agitations confitteront a faire 30 Recherches sur le Routis des allees & venues conformes aux balancemens d'nn pendule fimple > & il eft queftion d'examiner l'effet que ces agitations des eaux , devenues reguliercs, pourror.c faire fur le navire. Je prens ici d'abord pour principe , que dans tout fyfteme de corps qui agiflent les uns fur les autres , fi ces corps font des mouvemens reciproques , reguliers & permanens, ils feront toujours des balancemens har- monieux 6c fynchrones , qui commenceront 6c rmiront tous dans les memes inftans. Ceft-la une verite que j'ai reconnue avec une evidence entiere, toutes les fois qu'il m'eft arrive d'examiner de pareils mouvemens recipro- ques compofesj & cela m'eft arrive tres fouvent. Lc fyfteme que nous avons ici devant nous , font le navire & les eaux qui l'environnent , car je fuppole un vent fait 6c uniforme a tous egards. Or le navire , quelqucs . balancemens qu'il fafle , ne fauroit changer les mouve- mens reciproques des eaux agitees. Ceux ci maitriferont done entierement le navire, qui par conlequent fera dans ces cas fes balancemens harmonieufement avec ceux des eaux agitees ; de force que la duree de chaque balancement foit egale a celle de chaque acces mo- teur. &: qu'au contraire, cette force etrangere s'oppofcra au mouvement du corps pendant tout le terns qu'il emploie a defcendre. §. XXIII. Par les deux exemples que j*ai examines dans le precedent article , on comprend aifement la fo- lution generate fur la queftion de l'excurfion du pen- dule anime en meme terns par la pefanteur 6c par une force etrangere qui foit de la nature des forces qui pro- duifent des balancemens ilochrones. Soit done a pre- fent I'intenfite de la force etrangere telle , que dans le moment qu'elle eft la plus grande , elle foit egale a la force de la pefanteur du corps du pendule fous un angle s. Soit le terns d'un balancement naturel du pendule t, tv que ce pendule foit oblige par la force etran- gere a faire chaque vibration dans un terns ± t , je dis que le pendule fera de chaque cote des excurfions , done Tangle avec la verticale fera = „'., ■, 11 fuit de cette formule , que plus les acces de la force ET LE TANGAGE DES VArSSEAUX. 33 Force etrangere fe fuccedent rapidemenc , plus les ex- curfions du pendule feront petites > mais lorfque les in- tervalles entre deux acces font a-peu-pres egaux a la duree d'un balanccmenc naturel du pendule , ce pen- dule fera des excurfions exceflives. C'eft ici une pro- priete a laquelle je fouhaite qu'on faffe attention. Enfin , lorfque lefdits intervalles furpaflent la duree d'un ba- lancement naturel du pendule , il arrive que la force etrangere & la force qui refulte de la pefanteur des corps agifient d'un fens contraire , parce que Tangle de l'ex- curfion reelle devient negatif, & alors l'excurfion elle- meme devient d'autant plus petite , que les acces de la force etrangere fe fuccedent plus lentement. Tout cela fera eclairci par l'experience phyfique qui fuit. Qu'on prenne par exemple 1111 pendule fimple a fecondes, & qu'on le tienne fufpendu entre deux doigtsj qu'on faffe avec la main des mouvemens reciproques horizontaux , en imitant le plus qu'il eft polllble ceux d'un pendule d'une longueur qaelconque ; on verra que fuivant la rapidite de la main , qu'on pourra fuppofer faire toujours les memes excurfions , le pendule s'ac- commodera aux memes durees de vibrations de la main, & que les excurfions du pendule pourront 011 fe faire du meme cote que celles de la main , 011 du cote oppofe ; mais on remarquera furtout , que lorfque chaque allee &: venue de la main fe fait precifement dans unc fe- conde de terns , alors les plus petits mouvemens de la main feront faire au pendule des excurfions exceflives, qui meme ne font limitees que par la refiftance de l'air & par l'imparfaite rlexibilite du fil. §. XXIV. Les proprietes remarquables que nous venons d'indiquer fur l'etendue des balancemens d'un pendule , peuvent toutes etre appliquees aux roulis d'un navire , puifqu'il eft clair qu'on pent fubllituer au corps du pendule tout autre corps foutenu d'une facon a pouvoir faire des balancemens. Les hypothefes que Prix de 17 by. E 34 Recherches sur le Roulis nous avons faites ne repondenc pas a la nature de la chofe avec une precifion entiere ; ce que je ne diflimu- lerai pas. Les roulis naiurds d'un vaifleau ne fauroient etre parfaitemem ifochiones entre eux : les acces de la force qui agite le navire auront auffi rarement des in- tervalles de terns parfaitement egaux ; cette force n'a- gira pas precifement avec cette loi que demande l'ifo- chronifme , & elle n'agira pas tout-a-fait egalement fur le navire pku ou moins incline dans les momens ou ces inclinaifons font grandes ; mais tout cela ne doit pas nous empecher d'avoir de Indulgence pour nos prin- cipes, puifqu'il eft certain que les roulis auront toujours quelque penchant marque pour cet etat que notre theo- rie cxige, pendant tout le terns que les agitations des eaux font fort regulieres & permanentcs > ce qui fait le cas dont nous parlons. J'appliquerai done les balance- mens du pcndule, que j'ai expliques & que j'ai pris pour exemple uniquement pour etre intelligible , aux balan- cemens d'un navire. §. XXV. Nous avons vu an §. XXIII, que Peten- due des balancemens de chaque cote eft exprimee par ,;/_, . Voyons d'abord quel fens il faut attacher a cette formule lorfqu il eft queftion des roulis d'un navire. Pour cet effet, il faut prcmierement confiderer la force qui agite le vaifleau dans le moment quelle eft la plus grande j j'appellerai cette force nous aurons = ^, &: par confequent «==,', ou nn — i== '- : 7p- ! > Sc fi nous fubftituons encore cette valeur dans notre formule [nn ^_ l ^ > nous aurons enfin (tt- _ 9 " )> . §. XXVI. Voila la formule qui exprimera toujours a-peu-pres l'etendue des balancemens du navire perma- nens & caufes par des efforts reguliers. Elle nous ap- prend done que la quantite des roulis depend de la force qui agite le navire, de la ftabilite du navire, & du rapport qu'il y a entre les tems t & 6, e'eft-a-dire, entre la duree d'un balancement natureldu navire, &: la duree de chaque acces de la force qui agite le navire. Nous voyons aulfi que les cas les plus a craindre font ceux ou les balancemens des eaux qui caufent les rou- lis font a-peu-pres de la meme duree avec les balance- mens naturels du navire. Je n'examinerai pas encore toutes les confequences qu'on peut tirer de cette for- mule. On voit generalement que plus la quantite t, qui eft proportionnelte a l'intenfite de la ftabilire , eft gran- de , plus l'etendue des roulis fera petite. II eft vrai que le tems t depend le plus fouvent de la ftabilite , puif- que (I la ftabilite eft plus grande , les balancemens na- turels du navire en doivent etre acceleres. On peut dire que tout le refte etant egal , le tems / eft a-peu- pres reciproquement proportionnel a la racine quarree de la ftabilite j mais on remarquera qu'on peut changer Eij $6 Recherches sur. le Roulis le terns t, fans rien changer da cote de la ftabilite, en eloignant ou en approchant la matiere, qui fait toutc la charge du vaifleau , de l'axe de rotation. La relation cju'il y a entre les quantites t, t & 8, pourroit faire, dans de certains cas , qu'en augmentant la ftabilite, on ren- dit les agitations du navire plus grandes. Celt done line queftion bien importante , s'll convient d'augmen- ter la ftabilite du navire. La-defTus on peut faire les reflexions fuivantes. Comme le terns 8 elt incertain , puifqu'il depend de la nature des agitations des eaux de la mer, &c par confequent des mers meme ou Ton fe trouve , & de phifieurs circonftances accidentelles ; il arrivera toujours , quel que foit le tems t , ou que G foit plus grand que t , ou qu'il foit plus petit , ou qu'il lui foit egal. Si 8 elt plus grand que t , il elt clair que la quantite ^J,,^ , devient d'autant plus petite - t que l'inteniite de la ftabilite -x eft plus grande , puifqu'on peut fuppofer la quantite ttir a-peu-pres conltante; 8c on remarquera qu'il eft indifferent que la valeur du de- nominateur foit affirmative ou negative pour la quan- tite de l'excurfion, & que cette difference marque im- plement (1 les forces

mais que l'excurfion des roulis caufee par des acces de force , ne fe regie pas toujours fur ladite inclinaifon. Si 8 etoit inriniment plus grand que t , l'etendue des roulis fcroit exprimee par £ , & on diminueroit les roulis a melure qu'on augmente- ET LE TANGAGE DES VaISSEAUX. 37 roit la ftabilice. Si au contraire 9 etoit infiniment plus petic que r, la meme etendue de roulis feroit exprimee par '— , &: la ftabilite ne changeroit prefque pas I'eten- due dcs roulis ; d'ailleurs les balancemens feroient en ce cas tres-petits par cux- memes, a caufe de la petitefie fuppofee de "-]. Le premier cas merite done plus d'at- tention que le fecond ; outre cela , il femble que le premier cas fera beaucoup plus frequent que l'autre j car lorfque les acces, qui font rouler le vaifleau , font reguliers, je nc doute pas que ces acces ne foient ifo- chrones avec les mouvemens reciproques des lames , & ceux-ci font le plus fouvent beaucoup plus tardifs que ne font les balancemens naturels d'un navire. Apres tout, il n'y a que le feul cas a craindre oil les terns t Sc G font a-peu-pres eg.uix; & comme on ne fait pas le- quel pre.audra fur l'autre , e'efr fans doute prendre le parti le plus fur que d'augmenter la itabilite tant qu'il eft poflible , puifque pour la meme quantite it — G0, les roulis en font certainement diminues. Je ferai voir ci-deilous de quelle fr.con particuliere on pourra fe pre- cautionner contre ce cas , qui eft le plus facheux. Au reite, on voit as:ez que nos principes font toujours les memes , quelle que foit la fource des forces qui agitent le navire. Apres avoir examine tons les cas qui peuvent arriver, & apres avoir fait voir, que le meilleur parti 8c le plus fur pour diminuer les balancemens d'un navire, eft toujours d'augmenter fa ftabilite, il eft terns de con- fiderer ce dernier article avec tout le detail requis. 3S Recherches sur le Roulis CHAPITRE III. Expofmon des moyens quon ptut employer pour dimiuucr le roulis & le tangage des navircs fondes fur leur jlabdite. §. XXVII. XL s'agit , dans ce Chapicre, d'examiner quels font les moyens convenables d'augmenter la ftabi- lite du navire , 8c de diminuer par-la fes balancemens. Je ne parle pas de cette augmentation de ftabilite qu'on obtiendroit en augmentant les dimenfions principles du navire. Tout le monde fait qu'un grand vaifleau a plus de ftabilite qu'un petit. Nos formules montrent a cet e^ard que la ftabilite croit en raifon biquarree des dimenfions homologues pour les vaifleaux femblables, fuivant toutes les circonftances. Mais 1'inertie de toute la matiere relative aux balancemens du vaifleau , croit comme la cinquieme puiflance des dimenfions homo- logues. D'ou il fuit que la longueur du pendule fimple ifochrone avec les balancemens naturels du navire, fine la raifon des dimenfions homologues ; 8c la duree de chaque balancement, la raifon fous-doublee des dimen- fions homologues. Ainfi un grand vaifleau pliera moms fous les voiles , dans les routes obliques , qu'un petit , en raifon reciproque des dimenfions homologues i parce que le momentum de l'effort du vent pour hire plier le vaifleau, en fuppofant la mature 8c les voiles garder la meme proportion en tout fens , ne fuit que la raifon de la troifieme puiflance des dimenfions homologues, pen- dant que la ftabilite croit en raifon de la quatrieme puif- IT tE Tangage des Vaisseaux. 39 fanee. On pourroit done employer plus de voiles a pro- portion fur un grand vaifleau que fur un petit. Mais au(Ii , d'un autre cote , le centre de gravite du navire eft a proportion plus haut dans les grands navires que dans les petits , tant a caufe de la charge & de l'artille- rie , que parce que la ftruclure n'eft pas entierement femblable j & cette circonftance diminue la ftabilite des grands vaifleaux, furtout celle qui eft relative aux roulis , car la ftabilite dans le fens de la longueur ne fera pas fenfiblement diminuee par cette circonftance. Quant a la proportion des forces , qui agifTent fur des navires de differente grandeur pour les faire balancer, & dontnous avons fuppofe, an §. XXV, Pintenfite = cp, on voir, pour peu qu'on y fafle attention , que e'eft un probleme abfolument indecermine que d'indiquer cette proportion. Ces forces pourront confiftcr quelquefois dans Paction d'une petite mafic d'eau , qui exercera tout fon pouvoir tant fur le petit que fur le grand navire, de maniere que ces forces feroient egales ; d'autres fois ce feront de grandes mafles d'eau, qui agiflent fur toute la carenc , ou fur une grande partie de la carene ; outre cela la direction moyenne des efforts paflera tantot plus loin , tantot plus pres de l'axe de rotation du navire, &c. Celt done la une queftion fur laquelle on ne peut rien affirmer de pofuif. Mais voyons auffi quelle fera la proportion entrc les balancemens des deux navires, lorfqu'ils fe trouvent en meme terns, dans les memes circonftances proches l'un de l'autre. Car quoique la theorie fur letendue des ba- lancemens devenus tout-a-fait reguliers , que j'ai expofe depuis le §. XXI jufqu'a la fin du chapitre, ne fauroit jamais convenir aux balancemens des navires avec une precihon entiere , parce qu'il y aura toujours un refte d'irregularite dans les circonftances, il n'eft pourtant pas douteux que ces balancemens ne fuivent plus ou moins les loix de cette theorie , fuivant le plus ou le moins de regularite dans leurs caufes. 4-o Recherches sur le Rouxis Suppofons done deux navires de grandeur differente, mais cntierement femblables en routes chofes. Soic la longueur de l'una la longueur dc l'aucre, comme i a «, & que l'etendue des balancemens foit exprimee , pour le petit navire, par — -^rfs-r , qui eft la formule que nous avons trouvee a la fin du $. XXV. II s'agit d'exa- miner comment cette formule fera changee pour lc grand vaifleau. Pour cet efFet , on remarquera que le terns 6 eft le meme pour l'un £c l'antre navire > que le terns / doit etre, en vertu de ce que nous avons marque au commencement de ce §, change en tV n, 8c t en n""K\ Sc enrin qu'on ne pent rien affirmer de pofitif fur le changement de la force < 66}' ou comme On voit affez , par ce rapport , que les balancemens du grand vaifleau doivent natnrellemcnt etre plus petits que ceux du petit navire , parce que le plus fouvent le de- nominateur tt — 6 9 fera beaucoup plus petit que l'autre denominateur n * tt — n« 9 9. Si on veut fuppofer t beau- coup plus petit que 9 , & je crois qu'on fe trouve fouvent dans le cas a le pouvoir faire , ces balancemens feront en raifon de n*

ivent faire cet efFet. §. XXVIII. Voyons maintenant ce qu'on peut faire pour augmenter la ftabilite du navire, & pour diminuer par-la fes balancemens, fans changer aucune de fes di- menfions principales. Nous avons demontre dans le cha- pitre fur la ftabilite des corps flotcans , que cette ftabi- lite depend uniquemenc de deux chofesj favoir, de la fe&ion horizontale du corps a fleur d'eau , St de la hauteur vcrticale du centre de gravite du corps par- deflus le centre de gravite de la partie homogene fubmergee. Confiderons douc ces deux chofes l'une apres 1'autrei car en les confondant , on obiienc fou- vent des quantites qui fe detruifent } 6c les deux four- ces de la ftabilite ne font plus reconnoiflablcs par la formule qui exprime la fbbilite abfolue. La fection horizontale du navire a. fleur d'eau fait a-peu-pres une ellipfe. La ftabilite qui en refulte dans le fens de la lar- geur du navire , eft en raifon compofee du cube du petit axe de l'ellipfe 6c du grand axe 5 & la ftabilite dans le fens de la longueur , eft au contraire en raifon com- pofee du cube du grand axe 6c du petit axe ( §. XIII ). De4a on voic combien il y auroit a gagner a augmenter la largeur du navire pour diminuer les roulis, &c la lon- gueur pour diminuer les tangages. Si cependant on veut conferver la plus grande largeur, de meme que la plus grande longueur dans la fection du navire a fleur d'eau , il v aura encore un autre moyen d'augmencer la ftabilite > Prix de 1757. F 4i Recherches sur le Roulis c'eft de diminuer moins la largeur de ladite fection vers la proue & vers la pouppe : plus la fection approchera du rectangle circonicrit, plus la ftabilite du navire au- gmenrera, &. cela nonfeulemenc par rapport aux roulis, mais encore par rapport an tangage. J'ai demontre au milieu du dit §. XIII, qu'eti changeant l'ellipfe en km rectangle circonferit , chacune des deux ftabilites , en- cant qu'elles refultent de la coupe du vaiiTeau a fleur d'eau , eft augmentee en raifon de 3 a 5. Voila rout d'un coup une grande augmentation de ftabilite, mais qui devient encore plus grande du cote des roulis, en confiderant la ftabilite abfolue, e'eft-a-dire , en confi- derant les deux termes qui l'expriment enfemble, puif- que j'ai fait voir, a la fin du §. XIII , que la ftabilite en- tiere & abfolue feroit doublee, par ce changement, pour les roulis, quojqu'elle ne foit pas fenfiblement augmen- tee au-dela de la proportion de 3 a 5 pour les tan- gages. On devroit, au lieu de confiderer la coupe horizon- tale du vaifleau a fleur d'eau comme une ellipfe , la re- garder plutot comme compofee de deux demi-ellipfes fur un petit axe commun , & dont les demi- grands axes feroient comme 537, parce qu'on ne fait pas le fore du vaifleau precifement au milieu , mais environ a -^ de route la longueur, depuis la proue, & y^ depuis la pouppe. J'avoue cependant que je ne vois pas ce qui a pu engager les conftructeurs de vaifleau a fuivre cctte maxime , qui ne fait qu'augmenter la refiftance des eaux contre la proue : c'eft peut-etre pour dormer aux vaifleaux plus de foutien vers la proue que vers la pouppe, & pour occafionner par-la cette pente de la tjuille dans le fens de la proue vers la pouppe , que l'experience a montre etre utile , & que plufieurs raiions me font en- vifager comme telle. Mais on pent obtenir une telle pente par la Ample difpofition de la charge. M. Bou- guer fait voir pourtant quelc navire en gouverne mieux et le Tang age des Vaisseaux. 45 Quoiqu'il en foit, & quelque parti qu'on prenne la-deffus, ['augmentation de Ja fta'oilite que nous confeillons, eft la meme pour les deux demi-ellipfes &. pour la fimple elliple entiere. §. XXIX. II me femble que dans la construction des vaifleaux, on ne dirige pas aflez directemenc fes vues du cote de la figure que prendra la coupe du vaifleau a fleur d'eau , qui fair cependanc un des points les plus eflen- tiels, puifque la charge qu'on pern mettre fur le vaifleau, aufli-bien que la ftabilite de celui-ci, dependent oref- que uniquement de cette fection. Par-la il arrive qu'une difference aflez legere dans la conformation de la ca- rene , jette une diverfite aflez considerable fur la figure de ladite coupe. Ayant examine quelques excmples fur ces figures , j'ai remarque qu'elles n'etoient aflu jetties a aucune loi fixe. J'ai vu feulement que la figure etoit toujours plus large vers la proue que vers la pouppe , quoique tantot plus tantot moins. Je ne faurois approu- ver cette maxims ; car quand meme l'experience auroic entierement demontre qu'il faut rendre la proue plus grofle que la pouppe, & rentier la carene vers 1'avant, rien n'empeche de fe relacher fur cette maxime, peuc- etre mal fondee , aux environs de la flottaifon. Je ne veux pas qu'on retrecifle 1'avant de la figure, mais qu'on en elargifle 1'arriere. En un mot, il me femble que cette figure devroit approcher de la figure d'un rectan- gle arrondi par les quatre coins. Si on conlidere la dite coupe comme compofee de deux demi-cllipfes , faites fur un petit axe commun , quelle que foit la proportion entre les deux demi grands axes, 1'aire de la figure fera toujours egale a || du pro- duit de la longueur par la largeur. Si done la coupe a uo pies de longueur fur 19 pies de largeur, (e'eft un exemple que M. Bouguer donne dans fon Traiti du Navire, p. 141) , l'aire de la coupe devroit etre de 1734 pies quarres. Cependanc M. Bouguer, par une Fij 44 Recherches sur le Roulis regie qu'il cite, ne la trouve que de 16^5 pies quarres. La lection etoit done encore plus petite que n'eft I'aire d.s deux demi ellipfes. II eft vrai que la regie alleguee par M. Bouguer, peche toujours en defaut a caufe du grand nombre de petits fegmens curvilignes qu'on ae- glige ; & je fuis fur que pour la conftru&ion ordinaire des v.liiTeaux, on trouvera I'aire de la feciion pour le moins avee une preeifion egale , en multipliant (imple- ment la plus grandc largeur par la plus grande longueur, & en prenant les f| du produit. §. XXX. J'ai deja indique , que par le moyen que nous venous d'expofer , on augmentera egalement la ftabil'te dans le fens d'un bord a 1'autre , & dans celui de la proue a la pouppe j Sc qu'ainh on diminuera ega- lement le roulis & le tangage. Celui que je vais ajoiiter eft a-peu-pres de la meme nature , quoiqu'il paroifle ne regarder que la diminution des roulis. Cet autre moyen confifte a faire les flancs du vaiffeau, aux environs de la Hottaifon , plus droits & verticaux, qu'on n'a cou- tume de faire. Entrons , fur cet article , dans le detail qu'il merite. Dans les routes obliques , le vaifTeau in- cline confiderablement , par la force du vent fur les voiles. II faut alors confiderer le vaifTeau , ainfi incline y comme dans fa pofition naturelle , que j'appellerai obli- que. Le vaifTeau ne fera pas moins fujet aux balance- mens , dans cette pofition forcee , qu'il l'etoit dans fa portion droite. Les ba'ancemens fatigueront davantage la mature , & feront plus a craindre parle peril de ren- verfer. La ftabilite eft done plus necefTaire pour les pofitions naturelles obliques que pour les droires. Mais 1 trlque la pofition naturelle eft droite , fi le vaifTeau eft balance, ll taut abfolument que la force qui le repoufTe vers fa pofition naturelle , augmente a chaque nouvel increment elementaire d'incirnaifon , fans quoi le na- vire feroit bientot renverfe. On conviendra fans doute, qu'il eft bon de donner auxditcs augmentations de force it leTakgage d e s V a i s s £ a u x. 45 elementaire le plus d'etendue qu'il eft pollible. Plus un vaiffeau incline trouve d'obftacle a s'incliner davantage 3 plus fes balancemens feront diminues. On pent entendre, par le mot Ac ftabilite momentanee le furcroit ce la force requife pour ajoiiter au vaiiTeau deja incline un nouveau pent degre dinclinaifon conftant, que nous avons ex- prime ci deflus par da. Dans ce fens on peut dire, qu'il refulte de la conftruction ordinaire du navire , que fa Jlabilite momentanee diminue a mefure que l'inclinaifon du navire augmented car, fuivant cette conliruction , on fe trouve affez dans le cas du §. XV, pour lequel le calcul nous a conduit au beau theoreme marque a la fin dudit §. XV, qui donne la ftabilite (ce mot y eft pris dans un autre fens , & il y exprime le momentum de la force qui repouile le corps vers fa pofition naturelle, lorfque Tangle de fon inclinaifon eft = a) egale a P g Jin. a, en entend.int par P le poids du corps , &: par g la hauteur de l'axe de la figure generatrice par- deflus le centre de gravite. Comme done les quantites P & g font conftantes, la difFerentielle de ladite quantite de- vient = P gdacoj. as & cette formule nous apprend que la jlabikte momentanee du navire diminue a mefure que l'inclinaifon angmente , puifqu'elle eft proportion- nelle au cofinus de 1'inclinaifun aiftuelle. Cette dimi- nution de ftabilite peut fans doute occafionner de grands roulis. II fatit done faire tout fon podlble pour que cette nouvelle efpecede ftabilite devienne, au lieu de dimi- nuer , d'autant plus grande que le navire fcra plus in- cline. Les roulis vont fouvent jufqu'a 3 5 degres ; un leger accident pourroit alors achever de renverfer le vaiiTeau , s'il n'eft retenu par une grande ftabilite j d'ail- leurs,, le navire ne fera ces roulis enormes 8c les incli- naifons moyennes exceffives, qua caufe meme de ladite diminution de ftabilite , qu'on ne fauroit prendre trop de foin de prevenir. §. XXXI. Examinons la caufe qui fait que la ftabi- 46 Recherches sur le Roulis lite en queftion diminuej celt que la fection du navire a fleur d'eaa demeure a-peu-pres toujours la meme, pendant que la hauteur verticale du centre de gravite du navire par-defius le centre de gravite de la carene homogene augmente. Cette derniere circonftance, qu'on ne fauroic prevenir, a moins qu'on ne vienne a bout de placer le premier centre de gravite plus bas que le fecond , fait que la quantite a retranchcr pour avoir la ftabilite abfo- lue , devient d'autant plus grande , que le vaifieau eft incline davantage , &: par confequenc que la ftabilite abfolue devient plus petite. Le moyen pour prevenir cette diminution de ftabilite, fera dc taire enforte que la fection horizontale du vaifieau a rleur d'eau augmente a mefure que le vaifieau incline. Cell: dans cette vue que je confeille d'elever verticalement les rlancs du vaif- ieau, cant au-defius qu'au-defibus de la rlottaifon, puif- que de cette facon la coupe en queftion augmente comme les fecantes des inclinaifons , 2c que la ftabilite provenante de cette fection augmente comme les cubes de ces fecantes (§. IV). Si les conltructeurs de vaifieau trouvent un tel changement excellif, ils pourront du moins diminuer la rentree des vaifleaux , 6c conferver un pen au-defibus de la rlottaifon toute la largeur des coupes venicales perpendiculaires a la longueur. C'eft pour faire voir le grand fucces qu'on pent fe promettre d'un tel changement, que j'ai donne, au §. X, la petite table qui montre aflez la grande difference entre les ftabilites, lorfque les inclinaifons commencent a deve- nir fenfibles. On voit, par cette table , que la premiere efpece de ftabilite eft pour une inclinaifon de 10 de- gres, augmentee par ce changement, en raifon de 28, 50 a 5 1, 15 ; & que la feconde efpece de ftabilite, de- puis tod. jufqu'a 1 5 d. , eft augmentee en raifon de 3 S , 1 1 — x8 , 50 a 8 1 , 17 — 5 1 > 1 5 011 en railon de 7, 72 a 30, oz. On remarquera, dans cette table, que les differences des nombres de la feconde 6c de la et leTangage dEs Vaisseaux. 47 troifieme colonne marquenc les flabilites momentanees. Ces differences diminuent dans la feconde colonne , comme les cofinus des inclinaifons 5 mais elles augmen- tent confiderablement , aii lieu de diminuer , dans la troifieme colonne. Je ne douce done nullemenc qu'un tel changement , afiez leger, ne diminue tres-confide- rablement le roulis. La ltabilite laterale etant augmen- ted , la longitudinale le fera auffi, puifque celle-ci eft proporcionnelle a la largeur du vaifleau {§. IV). De la il fuit que plus les roulis font grands, plus les tangages feront petits (car ces deux fortes de balancemens peu- vent fort bien coexifter en meme tems) , parce que les roulis augmenteront la ftabilite longitudinale. §. XXXII. Tant qu'on confidere a part les deux membres de la formule qui exprime la ftabilite, on voic facilement que nous avons indique actueilement tout ce qu'il eft pollible de faire pour augmenter la ftabilite, relativement au premier membre ; car toutes les parties du navire qui ne plongent jamais dans l'eau , de meme que celles qui n'en fortent jamais, n'ont aucune relation avec la ftabilite qui refulte de la valeur du premier mem- bre. Ce n'eft qu'en tant qu'elles font varier les deux centres de gravite, qu'elles pourront augmenter ou di- minuer la ftabilite , comme le ftcond membre de la formule l'indique. La ltabilite relative a ce fecond mem- bre , eft exprimee par f P s J a, en entendant par P le poids du navire, ou le volume de la carene , 5c par s la hauteur du centre de gravite du navire par-defius le centre de gravite de la carene homogene j & la flabi- lite momentanee elf (implement exprimee par Ps. Ce fecond membre dok toujours etre retranche du pre- mier , tant que le premier centre de gravite eft plus haut que le fecond ; & il faudroit nop s'ecarter des principes ufites , pour qu'il fut plus bas. Ainii , pour rendre la ltabilite ablolue plus grande , il faut diminuer la quantice P s. Celt ce precepte general qu'il ne fauc 48 R.ECHER.CHES SUR. LE R.OULIS jamais perdre de vue en conftruifant le vaifleau. Il fauc done baifler le centre dc gravite du navire tout charge qu'il eft , 6: haufler le centre de gravite de la carene tant qu'il eft poifible. Le centre de gravite du navire eftordinairement autour d'uncinquieme du tirant d'eau plus bas que la furface d'eau. Sur ces preliminai- res, voici les maximes qu'on pourra fuivre. {a) II faut menager egalement la hauteur & la ma- tiere dans toutes les parties qui font au-defiiis de la fur- face d'eau , autant que les circonftances peuvent le per- mettre. J'entens ici les mats, les vergues , les voiles, les cordages , les chateaux , &:c. Il femble que la hau- teur des mats n'eft diclee que par la hardiefTe de l'homme, trop fouvenc funefte au genre humain. (6) Le left doit fervir en quelque facon de contre- poids a toutes ces parties indiquees dans la remarque precedente : il faut le proportionner en partie a la hau- teur des mats. S il y avoit done quelque chofe a gagner au fujet de la remarque (a) , on gagneroit en meme terns fur le left requis j le navire enfonceroit moins j la reliftance des eaux contre le fdlage en deviendroit plus petite: on feroit dedommage, en partie, de ce qu'on fe relacheroit fur la hauteur des mats. (c) En fe mettant dans les circonftances qui deman- dent moins de left , le poids P diminue, 2c la quantite Ps en devient d'autant plus petite, comme nous le fouhaitions. (d) II faut prendre du bon left, pour pouvoir placer plus bas fon centre de gravite pour le meme poids. Enfin on fe conformera aux principes connus de la Statique , dans l'arrimage & dans l'arrangement de la charge. §. XXXIII. II be nous refte qu'a examiner la figure la plus convenable de la carcne, en fuppofant la furface horizonrale donnee , comme ayant deja ete determinee. Plus on lelargira vers la flotcaifon , & plus on la retrecira vers ET LE TANGAGE DES VaISSEAUX. 49 vers la quille , plus on elevera le centre de gravite de la carene nomogcne. Plus aufli le navire tirera d'eau fans changer le volume de la carene , plus on augmentera le momentum du left. Voila les deux considerations prin- cipales a faire fur la carene , ou du moins fur cette par- tie de la carene qui, pendant les plus grands roulis , refte conftamment fubmergee , puilque cette partie ne peut avoir aucun rapport avec le premier membre de la formule qui exprime la ftabilite. II re'fulte de ces considerations, que depuis la flottaifon on doit confer- ver aux navires toutes leurs largeurs jufqu'a une cer- taine profondeur. Cette premiere reflexion s'accorde heurcufement avec le confeil que j'ai donnne au com- mencement du §. XXX, de faire les flancs du vaifleau, tant au-defTous qu'au-deflus de la flottaifon , droits & verticaux. A une certaine pro'ondeur , on commencera a retrecir fenfiblement les coupes verticales & perpen- diculaires a la longueur du navire. Vers les deux tiers de la profondeur, on les retrecira brufquement. On pourra enfin donner alacourbure un point d inflexion contraire, & faire diminuer tres-peu jufqu'a la quille ces petites largeurs deftinees a recevoir un bon left. Je dirai ci- deflbus un autre avantage eflendel qu'on donnera a la carene par une telle conltrucliion, les loix de la Theorie «e laiflant pas douter du bon fucces d'une telle conlfruc- tion a l'egard de notre fujet ; mais je ne pretens pas qu'on les fuive aux depens des Loix de l'Architecture Navale abfolument conftatees , me contentant d indi- quer tous les principes qui meritent I'attention du con- ftrudeur. Voici quelques reflexions generates fur la figure de la carene. Si on partage la carene route char- gee , en tranches horizontales , les tranches inferieures feront plus pefantes qu'un volume egal d'eau , & les fuperieures feront plus legeres , parce qu'on doit arran- ger, fuivant 1'ordre de la pefanteur , tout ce qui doic etre mis fur le vaifleau , en tant qu'on eft libre fur ce Prix de 17 s; 7. G 50 Recherches sur le Roulis point. U y aura done une tranche moyenne qui fera egale en poids au volume d'eau egal. Cependant il faut conilderer le volume de la carene comme donne, parce qu'il n 'eft queftion que de la figure de la carene. II me femble qu'il convient d'eftimer ladite place de la tran- che moyenne , de conferver aux vaifleaux prefque toute leur largeur , jufqu'aux environs de ladite tranche j mais apres cela on diminuera fubitement les largeurs, pour nc plus employer le refte du volume de la carene qu'en profondeur. Plus on voudra accorder de profon- deur a la carene, plus on pourra donncr de ftabilite au navire , tout le rcfte demeurant egal. C'eft pourquoi il taut plus de left aux navires qui font plats de varangues, qu'aux autres , qui font bien tailles , 6c dont les fonJs font fins. On ne doit applatir les navires par leur fond , que lorfqu'on eft dans la necelTite de donner au navire peu de tirant d'eau. Je voudrois meme , lorfqu'on fe trouve dans cette neceffite , qu'on augmentat un peu au-dela des regies ordinaires la largeur du navire, pour pouvoir lui donner plus de facon, fans changer la foil— dite de la carene , d'autant plus que le navire en rece- vra plufieurs autres avantages. En un mot , en prendra pour maxime de jetter beaucoup de volume vers le haut, & beaucoup de poids vers le bas 5 mais comme on s'e- carteroit infiniment des loix de l'Architecture Navale , ft on ne vouloit (uivre que ce feul principe pour deter- miner la figure de la carene , 2c que cependant on a la libcrte de l'obferver jufqu'a un certain point , je me contenterai de l'avoir indique , en recommandant la profondeur de la carene , pour augmenter par-la I'efFec duleft, comme auift de ne commencer les retrecilfe- mensque vers la region deftinee a contenir les chofes pe- fantes. J'ai deja remarque que le dernier confeils'accorde heureufement avec ce que j'ai dit, de faire les flancs du vaifleau , tarn au delTous qu'au- defllis de la flottai- fon , droits 2c verticaux ; 2c comme la coupe horizon- ET LE TANGAGE DES VaISSEAUX. 51 tale du navire a fleur d'eau doit aufTi , en vertu du $. XXVIII, approcher de la figure re&angulaire, il en refulte que pres de la flottaifon le corps du navire doit former a-peu-pres un parallelepipede convenablement arrondi par les coins. J'excepte cependant de cette re- gie la proue & la pouppe , fur lefquelles je me referve quelques petites reflexions particulieres , que j'expofe- rai vers la fin de ce Memoire. &*&'& en ce cas le plan fera des balancemens que je It LE TANGAGE DES VaiSSEAUX. (j } confidere fe faire avec une liberte entiere, &. que j'ap- pellerai par confequent balancemens libra. Je dis que dans ces balancemens le centre de rotation fera necef- fairement le centre de gravite , & voici comme je le p;ouve. Duranc les balancemens fibres , il n'y a abfolument que la force de la pefanteur qui agifle fur les parties. Une telle force agiflant verticalement , ne fauroit pro- duire aucun mouvement horizontal abfolu j il faut done que la quantite de mouvement horizontal de droitc a gauche foit precifement egale a celle qui fe fait de gau- che a droite : il faut , en un mot , que le centre de gravite n'ait aucun mouvement horizontal ; done le cen- tre de eravite fera le centre de rotation. D ... On pourroir objecter ici que quand meme le centre de gravite du plan auroic un mouvement horizontal , il ne s'en fuivroit pas qu'il y eiit dans le hiteme une quan- tite de mouvement horizontal abfolu, parce que le cen- tre de gravite commun au plan &; a l'eau qui 1'environne, ne laifle pas de demeurer entierement en repos par rap- port au mouvement horizontal. Mais on voit afTez qu il ne s'agit pas ici dudit centre de gravite commun , puif- que pour donner un mouvement horizontal a un corps nottant, il faudia toujours employer une force horizon- tale-, & que rien ne peut occafionner ici une telle for- ce , tant qu'on fait abftradion de la refiftance des eaux. Voici un autre principe, qui mene a la meme con- clufion. Le momentum de la force qui agit fur le plan durant fes balancemens , eft le meme , fur quel point que ce plan fe tourne , puifque I'txpreffion de ce mo- mentum eft ind 'pendai te du centre de rotation. II eft .done clair que le centre de rotation fe placera de Iui- meme la oil le plan aura la moindre inertie pour rece- voir le meme degre de vitefle angulaire ( je confidere la vitefTe angulaire , parce que i'amplitude angulaire des 54 Recherches sur. le Roulis balancemens doic etre la mcme , quel que foit le centre de rotation ) > &: il n'eft pas difficile de demontrer que e'eft le centre de gravite qui a cctte propriece requife. Tout corps qui doit etre tourne fur un certain axe par line force donnee, agiflant fur un levier donne, ou bien appliquee a une meme diltancc , depuis l'axe de rota- tion , aura la moindre inertie angulaire , & recevra dans un terns donne la plus grande vitefle angulaire , lorf- quon fait pafier l'axe de rotation par le centre de gra- vite du corps. Je n'ajoute pas la demonftration de cette propofition mechanique, parceque, quoiqu'aflez facile, elle ne laifle pas de demander plufieurs eclairciflcmcns , qui pourroient nous ecarter trop de notrefujet principal. §. XXXV. Mais il n'arrivera pas toujours , ou pour mieux dire , il arrivera rarement que le vaifleau tafle des balancemens ///>/■ & cnrin a lui imprimer un mouvement contra re. On voit par-la que le navire, outre les balancemens de rotation, fera toujours des allecs 6: venues horizontales. Ce font fans douce ces mouvemens horizontaux & reciproques, qui, meles avec le tillage moyen , occafionnent ces elans qu'on remarque ; les allecs 6c venues horizontales feront d'autant plus grandes , que la direction de lim- pulllon moyenne paffera plus pres du centre de gra- vite, 6: les balancemens de rotation en feront d'autant plus petits. §. XXXVI. II refultc de ces principes , qu'outrc les balancemens Hires qui fe font autour du centre do gravite, il y a une autre efpece de balancemens, que jappelleraiyorcej , qui fe font autour du centre de rota, tion jpontaniz. Ce dernier centre fera extremement va- riable , a caufc de la variabilite des forces momenta- nees , qui caufent les balancemens forces. Une remarque efTcntielle a faire fur les balance- mens forces , eft qu'ils ne font a chaque initant qu'un mouvement compofe d'un mouvement dc rotation autour du centre de gravite , £c d'un mouvement paralkle. Soit pd (Fig. IV) la direction de la force moyenne qui agit fur la carcne ; foit le centre de gravite du vaifleau en c , & que par ce point c on tire une ligne ae perpendiculaire a p d. Si on fait ab- ftradion de Taction de la pefmteur , & fi on con- fidcre (implement l'incrtie de la matierc, la iorcepd fera prendre a la ligne ae, apres un petit terns donne, la pofition/A; le point d'interfection b fera le centre de rotation fpontnnee. On voit d'abord que le mouve- ment , par lequel la ligne ae prend la iituation f/i, pent ET LE TANGAGE DES VaISSEAUX. 57 peut etre refolu en deux mouvemens, par le premier def- quels la ligne ae garde le parallel i (me , & prend la Situation In, en jecranc le centre de gravite de c en gj pendant que par le fecond , la ligne a e tourne autour du centre de gravite c , de maniere que In, par cette rotation , ptenne la fituation//z. Ainfi eg mefurera la viteffe du mouvement parallele, & 1'angle/gY mefurera la viteffe angulaire de la rotation. La proportion de ces vitefles fera la meme pour la merae direction p d ; mais plus la force moyenne eft grande ou petite , plus l'une & 1'autre viteffe feront grandes ou petites. Pour deter- miner le point b , je dis que ce point b eft le centre d'ofcillation , fi le navire etoit fufpendu par le point d. Soit m une ligne conftante , &ci=x; on aura , par la nature du centre d'ofcillation , b c = "^. Soit auffi eg, qui exprime la viteffe du centre de gravite, ==c> on voit que la meme eg, rapportee au rayon bc t ou bien bm rapportee au rayon gm, exprime la vi- teffe angulaire. Mais comme la. ligne be le regie fur la ligne cd , que je regarde comme variable , il fera bon de rapporter les vitefles angulaires a un rayon conftant a t par cette analogic, be: eg:: a: '£ x a = ~;c. Ainfl la viteffe du centre de gravite etant = c, la viteffe angulaire ou rotatoire autour du centre de gravite, fera toujours exprimee par ^ c, §. XXXVII. Nous voyons par-la que les balan- cemens du navire autour du centre de gravite , pro- duits par les impreffions des eaux agitees , font pro- portionnels a la diftance x , ou a la diftance du centre de gravite depuis la direction de la force moyenne ; & que fi depuis le centre de gravite on prend une diftance a , la viteffe de la rotation fera pour cette diftance t=H c - I" il convient d'expliquer encore ce que e'eft Prix de ij5j. H 58 Recherches sur le Roulis que la conftante m que nous avons introduite ; e'eft la movenne proportionnelle ente be & c d. Soit done o c egale a cette moyenne proportionnelle , ce point u aura pour rous les corps deux proprietes remarquables; la premiere eft que fi on fufpend le corps par tin a>:c perpendiculaire au plan de la figure paflant par le point o (ou par un point quelconque pris dans la circonfe- rence du cercle decrit autour du centre c par le rayon co), il fera fes balancemens brachylfochrones , e'eft-a- dire , de moindre duree que s'il etoit fufpendu par tout axe paradele. La feconde propriete du point eft, qu'il eft en meme tems le centre des forces vives , lorfque le corps tourne autour d'un axe paflant par le centre de gravite c> e'eft-a- dire , que fi route la matiere etoit con- centree au point , la force vive feroit la meme que celle du corps. De cette derniere propriete on voit , que plus les extremites du corps , tournant autour du centre de g r avite , font chargees de matiere , plus le point o fera eloigne du point c , & plus par confequenc la ligne m devient grande. Tachons a prefent de mettre a profit la theorie que nous venons d'expofer. §. XXX VIII. Nous avons dit que l'effet des im- pulfions reciproques des eaux contre la carene , eft en partie de lui fiire faire des allees & venues par un mou- vement parallele , 6c en partie a faire tourner le navire autour du centre de gravite j le premier effet n'aabfolu- ment aucun inconvenient, & le fecond eft le feul qu'on pretend de diminucr. Mais nous avons vu , dans le pre- cedent article , que le mouvement de rotation reful- tant de l'impullion des eaux, eft exprime par — c ; pour faire que ce mouvement ait le moins de rapport a PtfTet total , il faut que la quantite ^ foit la plus petite qu'il eft poilible j & de-la nous tirerons ces deux maxim.es , premierement d'augmentcr la ligne m, 6\: en fecond lieu de diminuer la ligne x , fi Ton voit quel- IT L E TANGAGE DCS Va'I SSEAUX. la pmfondeur ou 'e creux de la carene , & fa figure, ne font pas affez determines par les autres confiderations , qu'on n'y puiffe avoir egard au principe de rapprocher les deux momentum que je vitns d'indiquer. Si les im- pulfions de l'eau font tout-a-fait irregulieres, elles ne pourront jamais cauf r de grands balancemens j & fi elles iont regulieres & aflu jetties a decertaines loix, il laudroit Hij Co Recherches sur le Roulis racher d'en connoitre la nature , favoir a quelle pro- fondeur elles ont le plus de force , & comment elles diminuent vers la quille & vers la furface de l'eau ; com- ment elles penvent differer entre elles d'un terns a l'au- tre & d'une mer a l'autre, fu vant que les agitations des eaux font plus on moins fortes , & les lames plus ou moins grandes. Si on etoit un peu inftruit furces points, & fur quelques autres d'une meme nature , je ne doute pas qu'on n'en put profiler, relativement a notre der- niere remarque. Je reprendrai cette matiere dans le chapitre fuivant. On autre moven pour diminuer les balancemens des navires , eft celui de la refiftance des eaux M. Chau- chot l'a expofe dans fon Memoire couronne. Ce nou- veau principe me paroit fort convenable , a caufe de la nature de la refiftance des fluides , qui agit a fort peu pres en railon quarree des vitefies; die ne fauroit done mettre aucun obftacle au navire a fe re 1 ever , apres avoir acheve fon excurfion, parce qu'alors la vitefle eft nulle i au contraire , lorfque le vaiifeau eft pres de (a. pofuion naturelle , les eaux s'oppofent avec le plus de force pour l'empecher d'outrepafler cette pofition , & s'efforcent a l'y retenir. La refiftance des eaux n'agit jamais qu'avec avantage, & il faut furtout en profiter a J'egard des roulis Ceux-ci fe font prefque avec une liberie entiere , a caufe de la figure arrondie de la ca- iene & du pen d'iloignement qu'il y a depuis 1'axe de la carene, confideree com me fpheroidique , a l'axe de rotation qui pafTe par le centre de gravite du navire paralleled l'axe de la figure. Audi voit-on que les rou- lis fe font avec tant de liberie, qu'jls fe continuent d'eux- memes pendant affez longtems, pendant que la feule re- filtance des eaux arrete tout d'un coup le tangage , qui ne fauroit fe renouveller fans une nouvelle attaque. § XXXIX. Pour mettre ce moyen , fonde fur la refiftance des eaux , a profit contre les roulis , il fauc ET leTangage des Va isseaux. 6't faire atten:ion a la configuration de la carene & a la poficion de 1'axe de rotation , qui doit pafier par le cen- tre de gravite du vaifleauj & alors on verra facilernenc fur quelle partie les eaux portent le plus de refiltance. Je rrouve en general , que c'ell la hauteur de la quille , & les acculemens qu'on donne aux varangues , qui produifent la plus grande refiftance des eaux dans les roulis. La maitrefle varangue n'a que tres-peu d'accule- ment , mais ces acculemens augmentent a mefure que les varangues avancent vers la prone & vers la pouppe. Par cette conftruclion , il provient comme une bande ■des facons , foutenue verticaletnent par la quille, done les deux cotes font comme deux plans verticaux. Cette bande des facons echancree, choque dircctement les eaux pendant les roulis , conjointement avec les cotes verticaux de la quille. On augmentera done la refiftance des eaux contre les roulis , en augmentant les acculemens , les hauteurs des facons, Sc la ha teur de la qu lie ; par la on dimi- nuera en nieme terns la derive dans les routes obliques. Le relte de la carene ell trop arrondi , &: l'axe de ro- tation trop pres de l'axe de I'arrondiflement , pour en attendre une grande refiftance. En examinant la dite bande des faconb , il parott que 'es deux parties, depuis la maitrcfle varangue jufqu'aux deux extremites , font afiez i.ic ; g.iles ; celle de 1 arriere etanr plus longue 8c plus haute que celle d'avant , ne fanroit manquer de trouver plus de refiltance. Ii me femble que cette ine- galite doit cauler un mouvement de nutation horizon- tale dans les navires , lorfqu'ils roulent confiderable- ment , & que cette nutation doit etre nuifible au fillage. Je voudrois que les conltrucleurs cxaminaflent fcrupu- leufement, Ii les raifons qu'ils atleguent pour donner une pente a la quille de la proue vers la pouppe, pour mettre la maitrefie varangue plus pres de la proue que de la pouppe , & pour donner plus d'acculement aux 6z Recherches sur le Roulis vafangues de l'arriere qua celle dc l'avant , font bien feelles & fuffifantes pour I'emporter fur les raifons con- traires. Si la quille etoit horizontale , 6c que les deux parties fuflent egales & femblables , la bai de des tacons d'av.int en (eroit augmentee , les deux demi-bandes de- viendroient epalts, & on eviteroit ladite nutation. Je dirai encore, a roccafion de cttte refinance, que celle de Pair contrc les voiles pent faire le meme effet. Les Manns afTurent que le navire roule plus avec un vent arriere, &: qu'il tangue plus au plus pies. C'eft appa- remment parce que 1'air , dans le premier cas , s'oppofe moins aux voiles pendant que le vaifleau roule , que pendant qu'il tangue 5 & que dans le fecond cas, cell lc contraire. Si cela eft vrai , on peut encore fe fervir fouvent des voiles pour mode'ref les balancemens du navire , furtout dans les calmes , pendant lefcjuels le navire roule quelquerois exceffivemenr. §. X L. Un remede bien fur pour diminucr le roulis , eft d'appliquer aux flancs du vaifleau deux 011 trois ban- des laiilantcsSc horizontals un peu au-defius de la flot- taifon. De telles bancies agiront par deux principes a la fois, car lorfque , pendant le roulis, elles atteignenc ley eaux, elles les frappent d'abord par leur faillant , £c puis torment cette reliitance dont je v'ens de parler; 5c auffitot qu'elles font fubmcrgees , il furvient un nouvel accroifTement de pouflee d'eau de bas en-haut, qui n'a- giflant que d'un cote , emploie tout fon efFet a relever le navire. Je fuis perfuade qu'avec une telle bande de chaque coce, dont la faillie & la hauteur fut un peu conliderable , on pourra parvenir a borner les roulis dans de certaines limites. Un navire , dans (cs roulis excefTifs , fait quelquefois jufqu'a 3 5 d. d'excurfion de chaque cote , & alors ces roulis font certainement dan- gereux. Je crois qu'avec tous les moyens que j'ai ex- pofes , on diminuera aifement jufqu'a 15 ii . les plus grands roulis , &. ainli la plus haute bande ( fi on en veut ET LE TANGAGE DES VaiSSEAUX. 63 employer plus d'une) fera placee au-deffus de la flot- taifon , tout au plus de la hauteur de la cinquieme par- tie de la largeur, fans quoi elle pourroit devenir inu- tile a l'egard des roulis; c'eft aufli jufqu'a cecte hauteur, du moins , que je confeille de ne donner aucune ren- tree aux coupes verticales du vaifleau laites perpendicu- lairement a la longueur. §. X L I. Les bandes faillantes , dont je viens de par- ser , ne fauroient manquer d'etre en meme terns d'un grand fecours contre le tangage , fi on les prolonge juf- qu'aux extremites des flancs , furtout fi on vouloit augmenter leur largeur 011 leur fail lie a mefure qu'el- les approcheroient de la prone 6c de la pouppe ; ce qu'on obtiendroit fi on raifoit leurs cotes oppofes aux flancs entierement droits , puifque les cotes appliques aux flancs auront toujours quelque concavite, malgre le confeil que j'ai donne ci-deflus d'approcher la feclaon horizontale du vaifleau a fleur d'eau de la figure reclari- gulaire. Ces bandes on ces ailes feroient; naturellement hors de l'eau , & ne feroient par confequent en aucune facon nuifibles aux autres qualites du navire , pendant que par leurs extremites elargies , elles s'oppoferoient efficacement au tangage , auflitot qu'ellcs atteindroienc aux eaux , & cela par le double principe que j'ai ex- pofe dans le precedent article. Je prie done les Con- ftracreurs de faire quelque attention a ce moyen , &. de juger par eux-memes jufqu'a quel degre on petit 1'em- brafler , fans tomber dins des inconveniens, C'eft tou- jours avec cette referve que je propofe m.s moyens. §. XLII. Confiderons enri 1 ces cas facheux dont j'ai p.irle au §. XXIII & les fuivans, jufqu'a la fin du chapitre . oil j'ai fait voir que les roulis ne fauroient manquer d'etre extraordinairement forts, lorfque le terns 6 eft a peu-pres egal au terns t ; e'eft-a-dire lorfque les rouhs fords font a-peu-pres de meme duree avec les roulis hbres. J'efpere qu'on ne voudra pas traiter mes comme il Felt lorfque fes balancemens libres font de rneme duree que les balancemens des eaux , ou bien que les balancemens forces du navire. Auifi a-t-on re- marque fouvent , qu'un navire rouloic extraordinaire- ment lorfqu'on ne voyoit rien d'extraordinaire ni dans la force du vent, ni dans les agitations des eaux. N'au- roic-on jamais remarque que de deux vaiffeaux inegaux l'un rouloit quelquefois plus extraordinairement que l'autre , quoiqu'ils fuffent l'un & l'autre dans les memes circonftances ? Je vois bien que ces roulis extraordinai- res & exccffifs doivcnt etre rares , parce qu'il faut que non-feulement les balancemens des eaux foient fynchro- nes avec les balancemens libres du navire , mais encore que les forces motrices foient pendant quelque terns uniformes & permanentes. Cepcndant tout cela peut arriverj & comme notre fujet demande de remedieraux roulis exceflifs , nous devons examiner s'il n'y a abfo- lument aucun moyen particulier pour cela. §. XLIII. Rcmarquons dabord que les moyens que nous avons deja donnes , ne manqueront pas de mode- rer audi ces roulis extraordinaires; mais jc fuis perfuade que ET LE TANGAGE DES VaISSEAUX. 65 que fi on pouvoit mettre queique achronifme entre les deux e peces de balancemens , 011 du moins troubler cerce harmonic qu'il y a entre les acces des forces mo- tnces & les balancemens dn vaifleau , ceux-ci en fe- roient aullicot confiderablement diminues. Je crois qu'on y arrivera en remnant habilement 6: a propos le gou- vernaij , tantot a droite , tantot a gauche 5 c'eft une ma- n & comme dans ces cas la grandeur des roulis n'eft pas caufee par aucun defauc de fbbilice, un tel change- ment pourra fe faire ici fans comber dans de nouveaux inconveniens. S'il s'agifibil d'accelerer les roulis libres, il faudroit faire rout le concraire. Quant a l'inertie du navire ronlant , on l'augmentera en eloignanr tout ce qui ell mobile de l'axe de rotation, qui palle par le centre de gravite j &. comme l'inertie des parties augmente en raifon quarree de leurs diftances a l'axe de rotation , un tel eloignemenc en fera d'autanc plus d'efFet. On hauiTe encore le centre de gravite en hauflanc les vergues &: les voiles, aulli-bien qu'en mouil- lant ou empefant les voiles. La ftabilice aiminue Sc l'i- nercie augmence. §. XLIV. Voyons enfin ce qui doit arriver, quan J on augmente ou diminue la charge du vaifleau. Soic la coupe horizoncale du navire a fleur d'eau = vS" , & con- fiderons-la comme demeurant la meme, pendant qu'on augmente ou diminue la charge, conformemenr. au con- feil que j'ai donne de faire les flancs droits &. verricaux. Soit la folidite de la carene =a S, & que dans cet etar, la diltance du centre de gravite a la fuiface de l'tau foic = b (je fuppofe ce point plus bas que la iurfacc de l'eau ) , & la diltance du cencre de gravite de la carene homogene depuis la furface de 1'eau === c. Qu'on au- gmence enfuite la charge jufqu'a rendre la folidite de la carene — a S ■+■ a. S. Pour connoitrc 1'erTec que fera la nouvclle charge fui le navire , il font favoir l'eudioic ou ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. (,-] ion placera cctte nouvelle charge , ou plutot fori cen- tre de gravite > fuppofons cet endroit plus bas que n'e- toit auparavant le centre de gravite du navire, de la hau- teur £ Sur cela les regies de Ja Statique donnent la hau- teur de la furface d'eau par-deflus le centre de gravite, apres l'augmentation de la charge , =^H-m - — £, & la hauteur de la furface de l'eau par-deflus le centre de gravite de la carene homosene , = c -t- «. — " + '". a -f- a Ainfi la hauteur du centre de gravite du navire par- defTus le centre de gravite de la carene, eft avant l'au- gmentation de la charge = c — b , & aprej- (au- gmentation , = c — b — i^±Ml±±*. Ainfi a -f- a. cette hauteur devient plus ^petite par l'augmenta- tion de la charge tant que £ eft affirmatif. En confide- rant la quantite * comme fort petite, il faudroit que £ fut = — c pour que la diftance entre les deux centres de gravite fut la meme avant 5c apres l'augmencation de la charge j c'eft a-dire , qu'en placant h nouvelle charge autant au defilis du centre de gravite du navire, que la furface de l'eau etoit elevee par-delfus le centre de gravite de la carene. On voic ici le grand efFet du left pour approcher le centre de gravite du navire du centre de gravite de la carene. Car fuppofons un navire avec toute fa charge & non lefte , &; qu'on ait dans cet etat a = i o pies , c = 6 pies : qu'on lefte enfuite le navire, & que la quantite du left fafle la cinquieme par- tie du poids de tout le refte du navire charge > on aura «.== i p. ; £c comme ce left eft place au fond de cale, on pourra fuppofer C = 1 4 p. Ces fuppoficions , qui ne font pas incongrues , font la quantite c '* = 3 \ p. a 68 Recherches sur le Rouns De forte que le centre de gravite du navire s'approche de celui di. la carene de trois pies & demi par le left. "Voil.i le changement qui arrive a l'egard de-la diftance mutuclle des deux centres de gravite en queftion ; mais comme le fecond membre de la formule qui ex- pvime la ftabilite eft proportionnel a la folidite de la carene multipliee par la haureur entre les deux dits centres , il faut , pour voir fi la ftabilite croit ou de- croit par l'a'.igmenration de la charge , multiplier c — b par aS, 8c c — b — — ?— i par aS-i-a.Si le premier produit eft caS — baS , & le fecond produic eft caS — baS — — — — * aS-k-c&S — ba.S — a -f— a £ st [ — a a | *ct ~^ aS. Le premier produit eft plus grand que r iti * e \" a a a **■ d£cc-<- £<*et "*- haa. -*-ycc'-t- €aa _ le lecond, de la quantite — o. Ec comme ces produits doivent etre retranches de la valeur du premier membre de la formule , il s'en fuic que 1'augmentation de la charge augmente ton fours la ftabilite abfolue, tant que € n'eft pas negatif. Ainfi les eaux qui font a fond de cale augmenteut la ftabilite f mais elles font plonger davantage le navire, & le fillage en eft rctarde. Si la quantite a. eft tres petite , on peut cenfer le gain qu'on fait fur la ftabilite , par 1'augmen- tation de la charge, = (b -»-£) olS. Lorfqu'on diminue la charge , il faut prendre negativement la valeur de «.; 6c fi l'endroit d'ou 1'on 6te la charge eft plus haut que le centre de gravite , il faut audi prendre negativement la valeur de C. Par cette double negation , on gagne confiderablement fur la ftabilite, en coupant les mats, a caufe de leurs hauteurs. Si on donne beaucoup de pro- fondeur a la carene , fi on emploie du bon left 8c en quantite , 8c fi la charge eft bien arrangee 8c pcfante et le Tang age des Vaisseaujt. 69 par elle-meme, on pourra faire defcendre le centre de gravite da navire jufqu'a celui de la carene , & peut- ecre plus bas > on pourra alors fe relacher fur le pre- mier membre de la formule qui exprime la itabilite , & diminuer la largeur du vaifieau, lorfque d'autres rai- fons , ecrangeres a nocre fujec , le demaudenr,, 4$f 7<3 Recherches sur. le Roulis CHAPITRE V. Explication de la caufe principale des roulis & des tangages , & de la meilleure manierc de les diminuer, relative a cette caufe , avec quelques reflexions fur la nature des lames. §. XLV. 1 ^t( ous avons confidere jufqu'ici la furfacc des eaux comme horizontal?-, ou plutot , nous n'avons pas encore fai: attention a la figure ondoyante des lames. C'eft cependant dans cette figure ondoyante &. variable que coniifte la principale caule des agitations du navire. L'equilibre des corps qui nagent au milieu de ces ondes, ell tout different de celui qui convient aux eaux done la furface eft unie & horizontal ; quand le navire ne feroit que fuivre conftamment fa polition d'equilibre , il feroit oblige de faire des balancemens tres-confiderables, que j'appellerai balancemens d'equilibre ,• & les balance- mens abfolus feronc toujours plus grands que les fimples balancemens d'equilibre. C'eft ici un nouveau fujet de reflexion fort eflentiel & tres- important > mais ce fujec nous meneroic extremement loin , ii nous voulions le traiter avec toute l'exaftitude dont il eft fufceptible. Les loix hydrodynamiques connues I'eclairciroient fuffi- famment , moyennant des hypotheses phyfiques bien choilies & telles qui ne peuvent nous ecarter fenfible- ment de la verite. Mais il nous faudroit examiner la figure des lames , le mouvement des eaux, tanc pres la furface qu'a des profondeurs donnees , quelle eft a cha- que inftant & a chaquc profondeur la compreffion des et le Tang age des Vaisse aux. 71 eaux , qui n'eft plus exactement proportionnelle a la colonne verticale terminee par la furface des eaux. C'eft. cette compreffion qui marque la pouffee de l'eau contre chaque element de la carene , & elie ne fauroic etre determined fans connoitre les accelerations & re- tardations du mouvement des eaux , ni par confequent Ja vraie pofition d'equilibre du navire. Toutes ces re- cherches demandent un Traite a part, & je dois me con- tenir dans les homes d'un Memoire , que j'ai peut-etre deja paflee. Je n'expoferai done que le plus precis de mes idees fur cette matiere , 6c je limplifierai les hypo- thefes autant qu'on pent le faire, fans tombtr dans des er;eurs fenfibles. §. X LV I. Si nous fuppofons que le vent fouffle con- ftamment avec la meme force , &: fous la meme direc- tion , que la mer eft a une tres-grande etendue fore profonde & libre , & que le fond de la mer eft uni & horizontal , il n'y a aucun doute que les lames exci- tees par un tel vent , & fous de relies circonftances , ne foient extremement uniformes 8i regulieres. C'eft fous cette forme que nous allons le confiderer. Soit done AB (Fig. V.) la furface horizontale de la mer, ou plutot une ligne de cette furface prife pa- ralleiemenc a la direction du vent j & fuppofons que pendant les agitations des eaux , cette ligne fe change en acdefgb. Toute cette ligne continuee de part & d'autre, formera une courbe continue qui pourra etre exprimee par une feule & meme equation; 2c pour peu qu'on fafle attention a toutes les proprieties que cette courbe doit avoir manifeltement , on voit aflez qu'elle ne fauroit s'eloigner beaucoup de la nature de celle que prend une lougue corde tendue , lorfqu'elle fait des vibrations , en formaat plulieurs nccuds , tels que fonc ici les points c, e , g , &c. Ainfi , pour exprimer la na- ture de notre courbe ondoyante , je me fervirai de l'e- quation y = ajin. An, '- 7r> en entendant par x une 72 Recherches sur le Roulis abfcifle quelconque cl, par y l'appliquee Lm , par a. la plus grande appliquee h d prife au milieu de la lame , par a route la largeur de la lame ce , & enfin par t le demi-cercie , dont le rayon eft egal a l'unire. Suivant cet:e idee, route la ligne acdejgb prend au mcrae inftant la polltion du niveau A B ; les nceuds, tels que c > e ■> g ■> reftant immobiles j chaque ondc , telle que cde, fait des balancemens alternativcment au-deflus 8c au-deffous la droite che s a mefure qu'elle s'eleve ou fe baifle , celle qui lui eft voillne fe baifle ou s'eleve. En differentiant notre equation , on trouve dy =s — d x cof. Arc. -it. Cette equation differentielle mar- que qu'aux points de la plus grande elevation & de la plus grande deprellion , tels que d, f, la furface eft conftamment horizontalc , & que c'eft dans les nceuds que la furface des eaux prend la plus grande pente. La tangente de chaque angle de k fera — . Si done on fup- pofe , par exemple , la plus grande hauteur d'une lame par-deffus la furtace horizontale de la mer faire la fixie- me partie de la largeur de la lame j e'eft-a-dire , ft d h = ^ c e , on aura Tangle d e h = 17° 40'. Je n'ai rien trouve dans aucun Auteur qui determine ni la largeur ni la plus grande hauteur d'une lame 5 il y a cependant apparence qu'en general les lames fonc d'autant plus grandes , que le vent eft plus fort , Si que la mer eft plus profonde. Je remarquerai feulement qu'on fait dans la Phyfique que la moindre circonftance ou la plus petite caufe imaginable fuffit pour fixer les nceuds dans ces fortes de fyftemes , Sc que la nature re- cherche avec un foin fans bornes le fynchronifme dans les variations periodiques combinees. Ces raifons me font founconner, que dans la mer profonde la lame fera precifement un balancement entier dans le terns que le venc emploie pour parcourir la largeur de la lame > & qua ET LE TANGAGE DPS VaISSEAUX. 73 qua mcfure que la profondeur de la mer diminue , lc nombre dcs balancemens augmentera , pour le memo venc en raifon des nombres ou naturels impairs , 6c j'ai plus de penchant pour la derniere opinion. II en eft comme des tons qu'on tire en variant l'embouchure d'un feul & meme tuyau fimple , & qui dans les tuyaux ouverts vont comme les nombres 1,2,3, 5cc. j &. dans les tuyaux bouches , comme les nombres 1,3,5, &- c - Si done un vent produit dans l'Ocean des lames de 300 pies de largeur, ce meme vent pourra produire dans d'autres mers moins libres & moins profondes des lames de 1 00 pies de largeur. Voici une experience qui eclaircit ce fujet : une corde tendue fera ebranlee en pincant une autre corde mife a l'uniflbn ; partagez la premiere en trois parties egales , dont chacune donne la douzieme , & chaque partie fera encore ebranlee. Les grandes lames de l'Ocean repondent aux fons fon- damentaux ; & les petites, excitees par le meme vent^ aux fons acceflbires , qu'on remarque dans chaque corde pincee. Quant a la duree de chaque lame, on ne fau- roit la determiner precifement i mais il eft affez avere J|ue ces durecs font pour les lames femblables en raifon ous-doublee des largeurs des lames. §. XLV1I. M. Newton, pour expliquer la nature des lames, fuppofe, en prenant par-tout e o = c /, un tuyau uniformement large , qui defcende venicalement de chaque point / jufqu'a une certaine profondeur, qui fe replie enfuite horizontalement, & qui enfin remonte verticalement jufqu'au point o ; apres quoi il conlldere le mouvement des lames comme forme par des balance- mens de 1'eau dans toute cette fuite infinie de tuyaux communicans , & il demontre qu'en fuppofant la lon- gueur dechacun de ces tuvaux = L , les balancemens de- viennent ifochrones avec ceuxd'un pendule fimple de la longueur i L. De cette maniere , les balancemens des lames dependent , quant a leur duree , de la profondeur Prix de ijby. K 74 RechercHes svk le Roulis des eaux agitees j & cette profondenr peut etre fuppo- fee proportionnellc a la largeur dc chaque lame. Suppo- fons done la largeur dune lame === x , & la profondenr a laquelle les eaux font agitees = m x ; fuppofons au(h que le vent parcoure 1 1 pies dans une leconde , &C donnons {Implement 3 pies a la longueur du pendulc fimple a fecondes. Dans ces fuppoiitions , le terns que le vent emploie pour parcourir la largeur de la lame , fera = x - fecondes , & le terns d'un balancement entier de la lame fera = \/ 1 -^- — - fecondes , & fi on fait ■. /--i m x -(— x . i m n n -f- n n . , *- = 1/ - , on obticnt x= - pies. Soit, par exemple, «=50,&:;« = 6, la largeur de la lame fera =1550 pies j mais dans les mers peu pro- fondes, cette largeur peut, a mon avis, fe reduire au tiers, ou a lacinquieme, 011 a la feptieme partie, c\:c. II ell vrai cependant que cette man i ere d'envifagcr les balancemens des lames, fouffre beaucoup de difH- cultes 5 car tous ces tuyaux devroient fe croifer j ce qui blefle abfolument l'imagination. Outre cela , on voit que ricn ne fauroit empecher les eaux dans la partie def de rouler vers l'endroit le plus bas ; de forte que le mou- vement alternatif des eaux doit etre manifeftement en partie horizontal &: en partie venical j les balancemens horizontaux feront les plus rapides vers les nceuds, parce que la pente y ell la plus grande ; & ils feront mils au milieu , entre deux neeuds , parce que les eaux n'y ont point de pente. Les balancemens horizontaux doivent retarder les balancemens verticaux, parce que Taction de la pefanteur eft partagee ; & comme cependant tous les balancemens doivent etre abfolument ifochrones & fynchrones , il s'enfuit que les tuyaux communiquans ne fauroient etre partout d'une longueur egale. Je con- fidere done plutot chaque deux demi-lames de & fe ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 75 comme compofees de canaux ou tuyaux emboites les uns dans les autres , Sc que toutes ces paires dc demi- lames alternatives forment chacune un fyftcme a part, fans fe troubler les unes les autres & fans jamais meler letirs eaux. Les extremites de chacun de ces tuyaux font egalenient eloignees du point e\ pres des points d &/, le mouvement des eaux fera prefque puremcnt verti- cal , pendant que pres du point e , ce mouvement eft pour la plus grande partie horizontal. On voit done que les extremites de chaque tuyau font d'autant plus in- clinees , qu'elles font plus proches du point e, Sc que ces tuyaux font plus courts 5 & c'eft-la precife'ment la fource de l'ifochronifme commun a tous les tuyaux. Car fi d'un cote les balancemens font acceleres par la diminution de la longueur du tuyau , ils font d'un au- tre cote retardes par l'inclinaifon des extremites du me- me tuyau. Soit la longueur du tuyau uniformemenc large = A & le finus de Tangle que le tuyau fait avec l'horifon vers fes extremites = s) on aura la longueur du pendule limple ifochrone avec les balancemens des eaux dans ce tuyau = — . II arrivera done, fuivant ces idees , que s foit partout proportionnel a A , pourvu qu'on fuppofe les tuyaux d'une meme largeur dans toute leur longueur. §. X LVI 1 1. II nous refte a examiner les loix hydro- ftatiques , fuivant lefquelles fe fait la pouflee de l'eau, dont la furface n'eft pas horizontale , pour foutenir les corps flottans. C'eft ici la queftion la plus eflentielle. Voici un probleme dont la folution pourra eclaircir en quelque maniere notre queftion. Soit acde (Fig. VI) un canal uniformement large & recourbe , dont la partie b gd foit remplie d'eau qui fe meut dans le fens bed; il eft queftion de determiner la comprefllon dans chaque point g. Qu'on tire les horizontales /W 6c b q , 8c les verticales Kij y6 Recherches sur le Roulis bf 6: gh I. Soit bf— x, g/i = y; la longueur /5 c J = /j la longueur gj=^ y & qu'on nommeTrla hauteur verticale de la colonne qui indique la compreuion cher- chee pour le point g : on aura la force acceleratnce qui anime la partie b c g= '■ — 1 __ % &l celle qui ani- me la partie gd=* — -j & il eft clair que ces deux forces acceleratrices doivent etre egales entre elles , puif- que les vitefles de l'une & de I'autre partie font, durant tout le mouvement , egales entre eiles. Nous avons , AT-(-V — » " y • j done - = 5 ce qui donnc >x—y-i- f x, Cette valeur nous fournit beaucoup de corollaires. (a) Pour un tuyau fimple Sc droit, la compreffion eft partout nulle , de quelque fa^on qu'on l'incline i parce que x = n / , &■ y = — ^{. {b) La formule indique, comme il doit arriver, que la compreffion eft nulle tant au point b qu'au point d> puifque pour le point b , il faut faire y = — ■* &{ = /> gc que pour le point d , il faut fuppofer j = o Sc {c) Au moment que les points b & d font de ni- veau , la compreffion eft la meme que dans les eaux calmes. {d) La formule fatisfait auffi a la converfibilite des extremites b 6c Ji car li on veut rapporter a l'cxtre- mite d, ce que j'ai dit par rapport a l'extremite b, on ▼oit bien qu'il faut fubftituer — x a la place de x, I — j a la place de ^ , &i y->r x a la place dejy. Si Ton fub- ftitue done ces valeurs, on trouve, a la place dey-*-j x t la quantite y -+■ x — ^ x ■> ce qui fait , comme aupara- vant , y ■+■ f •*"• (e) Lorfque le point g eft fort pres du point b, St et le Tang age des Vaisseaux. 77 qu'on nomme cette petite diftance ct, on aura / — ? = «. 6c y = — .*• -h £, en entendant par £ la petite hauteur verticale du point b par-defliis le point g, pris fort pres de l'autre > fubftituant done ces valeurs, on erouve la cornprefllon = £ — fa. Cette compreifion eft done plus petite que fuivant les loix de l'Hydroftatique ordi- naires. (/) Si au contraire, le point g eft fort pres de l'autre cxtremite, favoir du point di & fi on fuppofe la petite diftance gd = oi: on aura ^ = a. & y=C , en enten- dant par £ la petite hauteur verticale du point d par- defius le point g; fur cela la comprelhon de l'eau de- vient = C -+- -f a. , qui eft par confequent plus grande que fuivant les loix hydroftatiques ordinaires. §. XLIX. Pour appliquer, ce que nous venous de trouver, aux lames, il faut examiner quel pent etre le tuyau qui pafle par le point , pour lequcl on cherche la compreffion 5 & quoiqu'on ne puiffe rien determiner de precis la-deffus, on voit cependant que toutes les eaux elevees par-deffus le niveau de la mer calme , font moms comprimees que fuivant les regies communes. La difference pent etre fenfible pres la furface des eaux, commc on voit par les corollaires (e) & (f); car en fuppofant les deux branches verticales pres la furface de l'eau , ce qui fait a. = £ , la compreffion pourra dif- ferer en raifon de 1 a i + j ; & comme f pourroit fort bien faire \ , il s'enfuit que ladite difference pourroit bien s'etendre jufqu'a un fixieme de la compreffion ordinaire. Cependant il n'en faut pas conclurre que le navire plonge plus 011 moins qu'a ['ordinaire, lorfqu'il fe trouve au-deffus ou au-deffous du niveau moyen de la mer, parce que le navire aura lui-meme a-peu-pres le meme mouvement qu'auroit l'eau qu'il deplace. Les refultats de notre probleme font a la verite fort utiles 78 Recherches sur le Roulis pour connoitre a-peu-pres ce qui doit arriver dans difTe- rens cas j mais ils n'admcttent pas un calcul exact. II faut furtout faire attention a la largeur des lames, &: la comparer avec les dimensions du navire, puifqu'il eft tout fimple que les lames fort courtes doivent faire fur le navire un tout autre efiet , que les grandes lames de l'Ocean , fur lefquelles le navire ne reprefentera qu'un aflez petit corps. C'eft furtout ce dernier cas que nous devons examiner avec plus d'attention. §. L. On voit bien que chaque point de la carene pcut etre coniidere comme etant fort pres de l'extre- mite du tuyau , qui paffe par ce point j on voit aufli que lorfque le navire eft cenfe occuper une petite eten- due , chaque point de la carene eft foutenu par une colonne d'eau , dont la hauteur vcrticale eft , en verm des corollaires (e) S: (/) du precedent §. ,=£±:f«., en entendant par £ la hauteur verticale depuis le point en queftion jufqua la furfacede la lame, par a. la pofi- tion du tuyau intercepte entre la furface de la lame & le meme point en queftion , par / la longueur entiere du tuyau , & par x la hauteur verticale entre les deux extremites du tuyau. Remarquons ici que a. doit etre a-pcu-pres proportionnelle a Q , parce que la petite portion de tuyau peut etre confideree comme une ligne droite inclinee , 6: tous les points de la carene repon- dront a-peu-pres a des tuyauxdont les extremites feront egalemcnt inclinees. La quantite ou le rapport de f peut aufli etre cenfe le meme pour tous les tuyaux qui res- pondent aux differens points de la caxene , tant a caufe de la petite etendue de la carene par rapport a la grande largeur de la lame , que parce que la quantite x ne fau- roit manquer d'etre a-peu-pres proportionnelle a /pour des tuyaux peu eloignes entre eux. Toutcs ces conlide- rations nous menent a la conclufion , qu'on peut fup- IT LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 79 pofer pour chaque point de Ja carene la quantite f «, proportionnelle a € ; de forte que la quantite £ + f a peut etre cenfee =nQ, en entendant par /z 1111 nom- bre un peu pins grand ou un peu pins petit que l'unite, fuivant que le vaiiTeau fe trouve au-deiTous ou au-defius du niveau de la mer calme. Nous voyons de-la que chaque point de la carene eft foutenu a peu-pres par une force proportionnelle a la hauteur verticale prife depuis le point en queftion & terminee par la furface des eaux ondoyantes > 8c e'eft ici la propriete principale que je pretendois etablir. §. LI. II fuit de la dite propriete, que quelque cour- bee & inclinee que foit la furface de l'eau , la pouflee de l'eau qui foutient un corps flottant , peut toujours etre confideree comrac concentree dans le centre de gravite de la partic fubmergee cenfee homogene , tout comme dans les eaux calmes, fans tomber dansaucune erreur fenfible , pendant que la pefanteur du corps doic £tre confideree comme concentree dans fon centre de gravite. L'equilibre pour chaque moment demande en- core que les deux dits centres de gravite fe trouvenc dans une fcule & meme verticale > mais nous allons voir qu'un tel equilibre doit neceflairement, faire incli- ner le corps lorfque la furface de l'eau eft inclinee, & nous ne pouvons nous difpenfer de rechercher quelle fera la relation entre 1'inclinaifon de la furface d'eau , & celle du corps fuppofe en equilibre. Pour facili- ter cette nouvelle recherche , nous fuppoferons 1'in- clinaifon de la furface d'eau tres-petite , 8c la furface d'eau, pour la petite etendue que le corps occupe, etre plane. Ces fuppofitions ne pourront nous ecarter fenfi- blement de la verite , 8c les theoremes qui refulteronc feront egalement utiles. Outre ces fuppofitions , nous coniidererons (implement un plan vericalement plonge dans les eaux , 8c parallelement au plan de la cinquieme So Recherches sur. le Roulis figure. Nous fimplifions ainfi la quelbon , arln de pou- voir exprimer, par des formules analytiques,, la llabi- lite ordinaire , fans employer aucun figne fomma- toire. §. LI I. Soic done a prefent AD (Fig. VII) la fur- face horizontale des eaux calmcs, &: que BC marque Tinterfection du plan vertical flottant avec ladire fur- face d'eau > foit le centre de gravite du plan flottant en F, 8c Is centre de gravite de fa partie fubmergee cen- fee homogene en G > qu'on tire par les deux points F & G la ligne EFG, qui, pour lequilibre que nous fuppofons , fera verticale. II ell queftion de determi- ner la pofition d'equilibre du meme plan , lorfqu'on fuppofc la furface d'eau inclinee comme ad, ou de de- terminer Tangle BEL en fuppofant la lignc B C pren- 1 i r • i rr are la poiicion be. Confiderons dabord le plan flottant comme ayant pris la meme inclinaifon que la furface des eaux , deforte que B C foit parvenu dans la pofition m n , Sc que la ligne EFg ait pris la pofition Ej g perpendiculaire a la lisrne m n ■. Tangle G E sr fera eeal a Tangle AEa-, le point g fera encore le centre de gravite de la partie fubmergee confideree comme homogene, puifque cette partie ell la meme quelle etoit avail c l'inclinaifon de la furface d'eau , Sc le point/ fera le centre de gravite du plan. Mais cette pofition du plan ne fauroit etre celle de l'equilibre , puifque la ligne fg n'eft plus ver- ticale i il faut done que la ligne B C , apres avoir pris la pofition m n , fubifle un fecond changement , & quelle prenne la pofition b c , qui remette les points j & g dans la meme verticale ; & on remarquera a cet egard , que dans tous les corps qui ont naturcllement un certain degre de ftabilite , la ligne j g fe rapproche de la verticale en augmentant l'angle B E m. Suppofons maintenant Tangle chcrche mEb=*=ai Tangle donne BEm = S; BC^q>FG dafgssssi la partie fubmergee ET LE TANGAGE t>ES VaISSEAUX. 8l fubmergee du plan = Al> qu'on tire du centre E les petits arcs de cercle fF & G g , avec la verticale/A, ii y aura entre Tangle m E b & Tangle gfh la meme relation que nous avons trouvee dans le premier chapi- tre, puifque, par la petite inclinaifon de la ligne ad, cette relation nc fauroit etre changec j or en appliquant nos formules generates aux angles extremement petits, on trouve gh = ( —r — s J ? , ce qui donne le petit angle gfh = f l z Ms — i ] mais on n'a qua fuppofer le navire etre un prifme conftruit fur un tel plan, pour pouvoir appliquer nos formules auxnavires; remarquons d'ailleurs , que le denominateur fera pour tous les vaif- feaux, quelque figure qu'ils aient , proportionnel a la ftabilite naturelle du vaifieau , Sc que cette ftabilite eft toujours compofee de deux parties, dont Tune depend uniquement de la feftion du vaifieau a fleur d'eau , & Tautre de la hauteur verticale du centre de gravite du vaifieau par-deflus le centre de gravite de la carene. Si nous denotons done gdneralement la premiere partie Prix de 1757. L Sz Recherches sur le Roulis par P, & l'autre par Q, nous aurons generalcment Tangle m E b = jtzTq S & ra »S le * e b = P Suivant la conftru&ion des navircs, leur charge & le left qu'on emploie , le rapport de P a Q eft tantot plus grand, tantot plus petit 5 rnais il eft certain que fouvent la quantite Q va jufqu'a la'moitie, & peut-etre meme jufqu'aux deux tiers de la quantite P. Suppo- fons, par exemple, Q = | P : dans cet exemple Pan- gle EEb fera le double de Tangle BEm; c'cft-a-dire, que l'inclinaifon du navire fera deux fois auffi grande que l'inclinaifon de ia furface des eaux. Si done les eaux etoient inclinees de 1 5 ou zo degres , le navire pour- roit s'inclincr de 30 ou 40 degres, en faifant abstrac- tion de l'erreur que la grandeur de tels angles pent jet- ter fur nos formules , 8c il eft a remarquer que les vail- feaux feront quelquefois obliges de prendre de telles in- clinaifons uniquement pour fe mettre al'equilibre j & ft Ton fait attention qu'ils pourront s'elancer par i'impref- fio'n regue au-dela de l'equilibre , on doit etre effraye de ces enormes agitations qui peuvent arriver, furtout aux roulis 5 car par rapport au tangage , la quantite P eft toujours beaucoup plus grande que Q. II pourroit meme y avoir des corps qui auroient un certain degre de fta- bilite dans les eaux calmes, & qui feroient renverfespar une petite inclinaifon des eaux. §. LIV. Ce font les angles BEb qui forment les balancemens d'etjuilibres dont j'ai fait mention au com- mencement de ce chapitre, & qui pourroient devenir exceffifs, fi on n'y apportoit aucun renude. Ces balan- cemens feront ifochrones & fynchrones avec les balan- cemens des eaux, qui par bonheur fe font beaucoup plus lentement dans les grandes lames que les balance- ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 83 mens naturels du navire, fans quoi Tinclinaifon BEb feroit encore extremement augmentee par les elance- mens qui furviendroiem , a caufe de ]a vitefle des ba- lancemens d'eauilibre , & cela en raifon de 69 a 99 — u, en entendant par 9 le tems d'un balancement entier des lames , & par t le tems d'un balancement naturel du navire {§§. XXV 8c XXVI). Comme cependanc ces ba' lancemens d'eauilibre dependent de la proportion qu'on met entre les quantites P & Q, Ik. qu'on eft le maitre de donner de grands changemens a cette proportion, il ne fera pas difficile d'y remedicr apres en avoir decouvert la nature. On voit qu'une planche qui nageroit fur les eaux , formeroit fes balancemens d'equiiibre parraite- ment egaux aux balancemens des ieaux , & que Tangle mEb deviendroit nul 5 on voit auffi qu'une tres-lon- gue poutre, chargee de plomb par une de fes extremi- ties , conferveroit fa pofition verticale malgre les balan- cemens des eaux ( car je fais abftra&ion des impulfions de l'eau- , ne confiderant ici que l'effet du principe de la pefanteur) > de forte que les angles BEb feroient entierement aneantis. Auffi l'un 6c Tautre cas font-iis parfaitement bien indiques par notre theorie ; car dans le premier cas on peut fuppofer Q = o , comme etant proportionnel a la hauteur verticale entre le centre de gravite de la planche & celui de fa partie fubmergee, laquelle hauteur peut etre cenfee nulle > deforte que Tangle mEb ( = — — Sj devient nul > & dans le fe- cond cas, c'eft Pqui peut etre cenfe nul, a caufe de la petiteffe de la fe&ion de la poutre par la furface des eaux, ce qui donne Tangle BEb (==. pZ~n S J = §. LV. Mais quel eft le but qu'on doit fe propofer a Tegard de ces balancemens > Doit-on tacher d'imiter Texemple de la planche , ou celui de la poutre , on Lij 84 Recherches sur le Roulis quelqu'autre etat moyen ? II me femble que c'cft ab- folument celui de la planche. Car fi on vouloit anean. tir Jes balancemcns d'equilibre, ou les diminuer trop , il arriveroit toujours qu'une moitie du navirc feroic comme noyee , & que l'autre fortiroit trop des eaux > & comme le navire eft toujours fujet a d'autres balan- cemens, ceux-ci pourroient devenir dangereux aux na- vires deja fortement noyes par un cote ou par une moitie. Je luis done d'avis qu'on doit fe propofer d'a- neantir (implement Tangle m E B , & de rendre les ba- lancemens d'equilibre egaux aux balancemcns des eauxj e'eftee que les Marinsappellent obeir a la lame. M. Chau- chot dit, a la fin de la page 38, qu'il ne jam pas que le navire obeijfe trop a la lame ,• mais je ne doute pas qu'il ne foit de mon avis, quant aux lames que j'ap- pelle regulieres j car quant aux lames irregulieres, qui agifTent brufquement 6c fans ordre ni regularite , l'incr- tie de la matiere du navire l'emp£chera bien d'obeir entierement a cette efpece de lames. II eft de confe- quence de diftinguer les lames & d'en examiner les dif- ferens effets , auffi bien que de diftinguer les balance- mens du navire , tels que les balancemens naturels , les balancemens forces & les balancemens d'equilibre. §. LVI. Apres avoir bien etabli la maxime qu'on doit fe propofer a I'egard des balancemens d'equilibre y il eft queftion d'examiner ce qu'on peut faire pour y fatisfaire. J'ai deja dit qu'il faut faire Q = o, & par confequent S = o, e'eft-a-dire, qu'il faut, pour la po- firion droite du navire , faire defcendre le centre de gra- vite du navire jufqu'au centre de gravite de la carene cenfee homogene , 8c fure tomber precifement l'un fur l'autre. Je crois cet article (i eflentiel a tous egards, que je voudrois qu'on y mlt toute lattention requife. Ordi- nairement le centre de gravite du navire eft plus haut que celui de la carene , & il fera difficile de faire tom- ber ces deux points l'un fur l'autre, fi on ne veut donr ET LE TANGAGE DES VaiSSEAUX. 85 ner beaucoup de creux an navire, employer du bon left &. en quantite fuffifante, arranger avec foin tout ce qui doic etre mis fur le vaifTcau , elargir le navire vers la flottaifon afin de hauffer le fecond centre , menager la matiere en tout ce qui eft hors de l'eau , & prodiguer en quelque facon le fer vers le fond du navire. II eft fur qu'avec toutes ces attentions on pourra deprimer le centre de gravite du navire charge jufqu'au centre de gravite de la carene , & encore plus bas fi on le vou- loit. Apres qu'on fera parvenu a mettre les deux centres de gravite dans un feul & meme point, la ftabilite du navire pour les petites inclinaifons ne dependra plus que de la fettion du navire par la furface horizontale de l'eau, & fion appelle q la largeur de cette feet ion, pour une abfeiffe x , prife dans la longueur, la ftabilite fera (implement — °\/ rr<7 i ^ x •> ea entendant par a le petit angle d'inclinaifon (§. XIII). Cette fimple for- mule fervira a reconnoitre par une experience facile A faire , fi Ton aura bien reuili a mettre les deux centres de gravite a la meme hauteur. Si ladite feclion etoic irreguliere , on pourroit trouver la quantite f~ ^' dx par parties, comme M. Bouguer le fait en plufieurs occa- sions. Si cette fection etoit un rectangle, qui eiit pour largeur a, & pour longueur b, la ftabilite en largeur deviendroir. = -^ a 3 b a > & j'ai confeille de la rendre a-peu-pres telle , & de ne s'en ecarter qu'autant que l'arrondiflement des angles le demande ; mais pour la conftruction ordinaire des navires , on pent fuppofer la feftion formee par deux demi-ellipfes, fans tomber dans aucune erreur fenfible, & j'ai demontre, au milieu du §. XIII , qu'alors la ftabilite en largeur devient = ~ a 3 b n , en entendant par a & par b la plus grande largeur &. la plus grande longueur de la feftion. Si Ton exprime en pies les quantites a &ib, la formule donnera un certain nombre de pies cubes d'eau agiflant fur un 86 Recherches sun le Roulis levier pris a volonte; & fi on divife la formule par 28, on aura , au lieu de pies cubes d'eau , des tonneaux a raifon de 1000 liv. chacun, le momentum de la itabi- lite fera done > en tonneaux pour le poids , 8c en pies pour le levier , ■-. Apres avoir calcule cette quan- 1 S70. tite, on pourra appliquer horizontalement & perpen- diculairemenc a la longueur du navire un certain nom- bre de leviers qui debordent le navire , & fufpendre par les extremites de ces leviers des poids aflez forts pour faire pancher le navire de cote d'un angle d'en- viron deux desres ; on mefurera cet angle avec beau- coup de precision , par le moyen d'un bon inftru- ment , & on prendra la fomme de tous les momen- tum des forces appliquees pour faire pancher le na- 'vire. Si on trouve cette fomme egale a " *, ce fera 570 une marque que les deux centres de gravite font reunis dans un meme point 5 fi elle eft plus petite ou plus grande , le centre de gravite du navire fera plus haut ou plus bas que le centre de gravite de la carene j & fi on connoit la folidite de la carene , on pourra exacle- ment determiner de combien le premier centre eft plus haut ou plus bas que l'autre > car fi la fomme des mo- mentum en queftion eft a la quantite --- comme n a m , on aura P : P — Q = /tz : n , & par confe- quent Q = ^— ^ P , & comme Q = ms mais plu- t6t comme tendantes a expliquer la nature du roulis Sc du tangage, & leur variations fuivant les differentes cir- conftances ou le navire fe trouve a chaque moment , 6c meme a diminuer ces balancemens par quelques au- tres attentions ; comme , par exemple , de tacher dc tenir le milieu entre deux nceuds , lorfque les lames prennent par le travers ; de franchir les nceuds, lorfque la lame eft prete a fe rnettre de niveau j de couper la lame fous un ET LE TANGAGE DES VaiSSEAUX. 89 un ancle plus on moins crand , fuivant qu'on craint da- ii' 1 r • r 1 "i vantage le tangage ou le rouhsi de raire rorce de voiles, lorfqu'on n'apprehende pas le vent, d'aiuant qu'an vaif- feau cinglant fera toujours moins agite qu'un vaiffeau flottant j de faire a plufieurs reprifes de faufles routes , mais bien entendues, &c. L'art de biengouvernerne fera pas fans fucces dans ces occafions > & quoique les lames ne foient jamais audi regulieres que je les ai fuppofees dans ce chapitre, nos reflexions n'en feront pas moins utiles. La maxime principale que j'ai pretendu etablir , eft celle de reunir , s'il eft polfible , les deux centres de gravite dans un feul & meme point. CHAPITRE VI. Quelques reflexions parriculieres fur le Tangage. §. LV III. JL/ans tout le cours de ce Memoire, j'ai traite egalement du rvoulis 5c du Tangage ■, &c je n'ai pas manque , toutes les fois que l'occafion le demandoit, de confiderer en particulier l'une ou 1'autre efpece dc balancemens. J'ajouterai cependant encore quelques reflexions par- ticulieres fur le Tangage. La ftabilite eft beaucoup plus grande pour le tangage que pour le roulis, fi on prend des inclinaifons egales de part & d'autre. En fuppofant les centres de gravite du navire & de la carene a la meme hauteur , en confiderant la feclion horizontale du navire a fleur d'eau comme elliptique ou formee par deux demi-ellipfes , & en ne confiderant que de petites inclinaifons , les deux ftabilites feront entre elles comme Prix de 1757. M <>o Recherche s sur le Roulis Je quarre de la longueur au quarre de la largeur. Cette raifon , jointe a la grande refiftance de l'eau , fait que le mouvemenc angulaire du tangage eft beaucoup plus petit que celui du roulis ^ mais la grande diftance de la proue & de la pouppe, depuis l'axe de rotation, fait auffi que leur mouvemenc abfolu ne laifle pas de fur- paffer fouvent celui des flancs dans les roulis > auffi exhauffe-c-on les bords vers la proue &i la pouppe pour prevenir les fuites funeftes de ce mouvemenc ablolu. Le mouvemenc du cangage eft ordinairement arrete brufquement par la grande refiftance de l'eau , qui ne fauroit are deplacee affez vite , & qui eft frappee dans une tres grande furface. U eft fur que la matiere £c le corps du navire fonc fore fatigues par ces rudes coups > mais comme ils arrivent dans un terns ou l'une des deux extremites peut-etre deja extremement baiflee, pendant qu'il lui refte encore beaucoup de mouvemenc , on peut dire que ce font precifement ces violens & fubits efforts qui fauvent le navire. Le tangage ne fauroit re- pondre a la nature des balancemens Hires , parce que la grande refiftance des eaux arretcroit auffitot ces balan- cemens. Le tangage d'iquilibre fera auffi tel qu'il doit ecre fur les grandes lames regulieres, parce que la par- tie de la ftabilice qui depend de la fection du navire a fleur d'eau , eft ici comme infinimenc plus grande que celle qui depend de la hauteur verticale entre les deux centres de gravite > je veux dire que le navire obeira affez bien a la lame par fa longueur , lorfquc la lame eft grande & reguliere. II n'y a done que le tangage ford & forme par des caufes inv>ju!ieres, qui puifie meritcr notre attention. L'inegalite du vent ne fauroic faire ici aucun effort fenfible a caufe de la grande ftabilite ; le mouvement horizontal des eaux contre le navire ne fau- roit faire non-plus un grand effet pour le laire tanglier. En un mot, le tangage exceffif ne fauroit etre produit que par un mouvement fubit 2c violent des eaux du ET LE TANGAGE DES VaISSEAUX. $J bas en-hauc , oli parce que l'eau ceflera fubitement de foutenir le navire dans routes les parties de la carene. Les brifancs d'eau peuvent occafionner ces deux caufes j car lorfque deux lames viennent a fe choquer, les eaux du milieu font extremement comprimees, & cette com- preffion lance les eaux en-haut avec beaucoup de force, apres quoi les eaux des deux lames brifees fe retirenc avec un mouvement contraire 8c laiflent un vuide au milieu. La partie du navire qui fe trouve au milieu de ces eaux comprimees , fera lancee pareillemenc en-haut ; & puis le poids de cette partie , faute d'etre foutenu , caufera un mouvement contraire egalement violent , jufqu'a ce que le navire retrouve les pleines eaux & en foit foutenu dans route la carene 5 apres quoi ce mouve- ment fera arrete affez promptement. §. LIX. Ces agitations irregulieres du navire feront toujours compofees de deux mouvemens j favoir, d'un mouvement de rotation amour de l'axe qui pafTe par le centre de gravite , £c d'un autre par lequel tout le corps du navire montera 011 defcendra un peu avec pre- cipitation •, le mouvement abfolu fe fait fur l'axe de rotation Ipontaneej mais comme le fecond mouvement allegue n'entre pas ici en compte, il taut, dans le tan- gage , toujours confiderer la ligne qui pafTe par le cen- tre de gravite comme l'axe de rotation. Si done cette ligne eft plus proche de la proue que de la pouppe , le mouvement fera plus grand vers la pouppe que vers la proue , & cela arrive en placant le fort du navire plus pres de la proue que de la pouppe $ car le centre de gravite de la carene etant par-la appro- che de la proue, le centre de gravite du navire doit l'etre pareillement. Je confeillerois done de placer le fort du navire au milieu de la carene , a moins qu'on ne pretende expr£s de jetter dans le tangage plus de mouvement fur la pouppe que fur la proue ; il eft fur que le navire n'en filleroit que mieux, quoique quel- M ii «)2 Recherches sur le Rotjlis ques-uns pretendent le contraire. L'autorite de M. Bou- guer devroit fuffire a cenx-ci pour fe defabufer dc ce faux pre|i!ge. II eft vrai , & ce meme illuftre Auteur l'a fort bien demontre , qu'en bicn des cas le navire gouvcrne mieux, tanc par les voiles que par le gouver- nail , lorfqa'il eft renfle vers la proue j mais je doutc que cela loic generalement vrai. Je crois audi que lorf- qu'on ne reuffit pas a bien gouvcrner le navire , c'clt le plus fouvent plutot par la fauce d'une manoeuvre bien entendue , que par aucune mauvaife conftruction du navire ; une manoeuvre reuffira quelquefbis , & man- quera une autrefois , fhnplement parce que la vitefle du navire eft un pen plus grande. Je fuis d'avis qu'il faudroit plutot s'appliquer a perfection ner la maneei:- vre pour toutes les circonftances ou Ton peut fe troi - ver, qu'a gagner un peu plus de facilite a gouverncr par une i onftruction nuifible aux qualites les plus effen- tielles du navire ; pent -etre auffi qu"on ne feroit pas mal d'ajouter a l'ufage du gouvernail celui de longues rames , {implement mobiles d;ins le plan vertical , qui doit etre auffi celui des pales, 5c perpendiculaires a la longueur du navire. II elf fur qu'en plongeant ces pales dans l'eau , elles feroient plus d'efFet que le gouvernail > pour peu qu'on leur donnac de furface , £c qu'on en multipliat le nombrej un gouvernail de movenne gran- deur n 'a qu'environ 50 pie's quarres de furface, & il faut , a caufe de 1'obliquite , lors meme qu'elle eft la plus avantageufe , en retrancher prefque les deux tiers, & enfin le corps de la carene empeche encore l'eau d'agir de toute fa force fur le gouvernail ; d'ou Ton voic aflez. que 1'efFet des pales ne fauroit manquer d'etre con- fiderable, furtout fi on fait duement incliner leurs plans verticaux a I'egard de celles qui ne feroient pas appli- quees au milieu du navire. De pareilles rames pourronc encore etre employees utilemenc dans pluiieurs autrcs occafions & avec un maniement convenable & bicn ET IE TAKG ACE DES VaiSSEAUX. 5)3 execute j elks p. urront merac fervir a moderer nn peu les agitations du navire. §. LX. C'eft a-peu-pres fur le meme principe qu'on doit determiner la quite de I'ejlambot , de laquclle les conft.ruct.eurs ne conviennent pas. Je voudrois que l'in- clinaifon de 1'eftambot , qui eft une piece droite, flit egale a l'inclinailon de la tan^ente de 1'eftravc a l'endroic qui eft a fleur d'eau j on fait que cette eftrave eft une piece combe faifant un arc de cercle de 70 de°;res, Sc par confequeru inegalement inclinee dans route fa lon- gueur. L'elancement de l'eftrave eft fans dome tres-ne- ceflaire ; & fi on pouvoit l'augmenter fans nuire a la force de l'affemblage des pieces qui forment l'eperon , 011 ians tomber dans d'autres inconveniens , on devroit le faire a mon avis j on diminueroit la refiftance de l'eau dans le fillage , & on augmenteroit la ftabilite du na- vire contre le tangage , parce qu'on augmenteroit la feclion du navire a fleur d'eau ; on eleveroit un peu le centre de gravite de la carene , & il feroit d'autant plus facile de le reunir avec celui du navire. Ces memes raifons , excepte la premiere , concourent pour faire augmenterlaquete de 1'eftambot j d'ailleurs, il fera utile de rendre egales & femblables les deux moities de l'a- vant 6c de l'arriere de la feclion horizontale du navire a fleur d'eau, afln de diftribuer egalement fur la prone & fur la pouppe le mouvement du tangage. En fuivanc ma regie fur la quete de 1'eftambot , cette egalite fub- fiftera meme dans le navire lorfqu'il fera un peu incline, au lieu que fi on vouloit elever 1'eftambot tout droit, £c que la proue s'elevat par-defTIis la furlace de la mer, il arriveroit que ladite fe&ion feroit confiderablemenc raccourcie , & que les deux moities en deviendroienc d'autant plus diffemblables. M. Chauchot n'a pas man- que de confeiller pareillement de rendre la proue fem- blable a la pouppe un peu au-defliis 2c au-deflbus de la Jigne de flottaifon. 54 Recherches sur le Roulis §. L X I. II eft naturel de dire, qu'on diminuera en- core le tangage en augmentant la longueur du navire. Ce' qu'il y a de fur , eft que la ftabilite en feroit conn- derablement augmentee. Cependanc comme la quille n'eft deja que trop fujette a s'arquer , il elt a craindrc qu'on n'augmente ce mal en augmentant trop la lon- gueur de la quille j car quand meme on pourroit diftri- Buer la charge d'une maniere que le poids de chaque tranche verticale dn navire perpendiculaire a fa longueur fiit egale au poids de 1'eau deplacee par cette tranche , ce qui feroit apparemment le meilleur moyen pour empecher la quille de s'arquer, on voit afi'ez que cec equilibre ne fubfifteroit plus pendant les agitations de la mer & du navire , qui font prefque contumelies. II fe peut d'ailleurs qu'il y ait une certaine proportion en- tre les dimensions du navire 5c celles de la mane d'eau qui tend a agiter le navire, qu'on doive craindre davan- tage ; & eft-il bien fur qu'on s'eloigne le plus corarau- nement de cette proportion en augmentant la longueur du navire ? Je crois bien qu'on diminuera prefque tou- jours par-la le mouvement angulaire du tangage , 6: que par confequent la mature en fera moins fatiguee ; mais il n'eft pas fur qu'on diminue generalement parlant le mouvement abfolu de la prouc & de la pouppe. II ne faut pas non plus que le navire fe refufe trop a l'impref- fion des lames , ce qu'il pourroit faire a caufe de fa grande mafle , furtout a l'egard des lames irregulieres , qui agifleni avec promptitude , & qui ne repliquent pas leurs efforts. Un navire qui conferveroit fa poiition droite a l'egard de l'horizon , &. qui par confequent n'auroit ni roulis ni tangage , feroit continuellement noye foic par la proue foit par la pouppe , & courroit rifquc de fe remplir d'eau & de couler a fond. II y a tels articles fur lefquels il faut confulter 1'experience plutot que la limplc theorie. §. L X 1 1, On aidera le navire a obeir a la lame en et le Tangage desVaisseaux. 95 Ie chargeant 6c le leftant beaucoup plus vers le milieu que vers les extremites 5 car de cette maniere la matiere da navire oppofe moins d'inertie aux efforts de la lame. Si au contraire on remarquoit au navire trop de promp- titude a obeir aux efforts des eaux agitees, il faudroic jetter plus de charge vers les extremites , & foulager le milieu. Les balancemens libres , s'ils trouvoient lieu dans le tangage , fe feroient plus rapidement dans le premier cas que dans le fecond. Cette reflexion ne doit pas nous prevenir contre la maxime de furcharger le milieu du navire , parce que les balancemens du tangage appar- tiennent prefque uniquement a la claffe des balancemens forces , dont les durees dependent {implement des agita- tions de l'eau. Je dirai a cette occafion que les balance- mens llbres du tangage ne fauroient manquer de s'a- chever beaucoup plus rapidement que ceux du roulis. Je trouve meme qu'ils ne dependent prefque point de la longueur du navire , £c que leur duree eft pour la plus grande partie determinee par la fimple hauteur du tirant d'eau; le pendule ifochrone fera tout au plus egal a cette hauteur 5 mais je ne l'eftime pas fi long, parce qu'il y a plus de matiere vers le milieu du navire , que vers les extremites, qui ont le plus de mouvement. Un parallelipipede, dont la longueur feroit beaucoup plus grande que fa largeur & fa hauteur, s'il etoit uniforme- ment pefant dans toute fa longueur, feroit fes balance- mens, dans le fens de longueur, ifochrones avec un pendule (Tmple , dont la longueur feroit egale a la hau- teur de fon tirant d'eau ; & cette remarque fuflit pour voir la verite de ce que je viens de dire. Ainfi un navire qui a 18 pies de tirant d'eau , fera fes balancemens libres du tan^ao-e en moins de 24 fecondes. Ceux du roulis font plus lents par plufieurs raifons , dont la principale eft a mon avis la hauteur qu'on donne ordi- nairement au centre de gravite du navire par-defllis le centre de gravite de la carene^ laquelle hauteur dimi- t)S Recherches SUR. tE Roulis nue trop fcnhblement la ftabilite da navire dans le fens de fa -Urgeur , &: par confequent la force qui tend a redrefTer le navire. En reuniflant les deux centres de gravite, comme j'ai confeille de faire , autanc qu'il cit poflible , les roulis libres fe feront plus rapidemenr. Ce feroit la un inconvenient, fi les roulis actuels n'etoient prefque toujours des roulis forces & non des roulis libres. Les roulis forces, je le repete , font ifochroncs avec le balancemens des lames , qui le plus fouvent font beaucoup plus lents que les roulis libres du navire. On gagnera done par ^acceleration des roulis libres , parce qu'on evitera prefque toujours ce cas facheux duquel j'ai parle aux §§. XXIII , XXVI Sc XLII , qui arrive lorfque les acces de forces qui agitent le navire font ifochrones avec les balancemens libres du navire. §. LXIII. Voila les principes que j'ai cru pouvoir fervir a la folution de notre queftion j j'efperc qu'ils feront de quelque utilite , tant aux Pilotes qu'aux Con- llrucleurs de Vaiffeaux. Cell: a eux que je laiffe le foin d'en faire ufage avec les precautions neceflaires , fui- vant leurs connoiffances acquifes , les priant feulement de les ecouter fans ce prejuge qui retarde fi fouvent la perfection des arts & des fciences. lis fuppleeront faci- lement a ce que j'ai pu omettre , Si fauront employer ces principes avec beaucoup plus de fucces que je n'ai pu faire dans les circonftances ou je me trouve. FIN. Meniere J<- Jimtnucr k Umilit par M. TiemouMir Prix cte z 7 i De f.a I'lzri/t//? Satfc / v-Ml Hi' E X A M E N Des efforts qu'ont a foutenir toutes les parties d'un Vaifleau dans le Roulis & dans le Tankage. o u RECHERCHES SUR LA DIMINUTION DE CES MOUVEMENS. Piece qui a partage le Prix de l'Academie en 1759. Par M. L. Euler , Direcleur de l'Academie Royale des Sciences & Belles -Lettres de P ruffe. Infequitur clamorque virum Jlridorquc rudentum. Prix de 175^. AVANT-PROPOS. uand on fe propofe de diminuer les mouvemens de Roulis & de Tangage des navires , il ne s'agit pas tant de rendre ces mouvemens reguliers & conformes a ceux d'une pendule , que d'empecher les funeftes effets que leur impetuofire pourroic caufer. M. Chauchot , qui a remporte le premier prix fur cette queftion , a tres-judicieufement remarque , que l'intention de i'Academie Royale des Sciences de Paris etoit de prevenir les rifques auxquels font expofes la mature & l'afTemblage des parties d'un navire , & les incommodites que les Marins eprouvent lorf- que les agitations, d'ou refultent les mouve- mens de roulis & de tangage, deviennent trop violentes. Cependant ce meme Auteur ne femble pas s'etre exprime alTez exa£tement , quand il dit que la trop grande viterTe de ces mouvemens caufe les inconveniens qu'il faut tacher d'evi- ter : car quelque rapide que foit un mouve- ment , des que toutes les parties d'un vaifTeau en font egalement portees , leur affemblage n'en fauroit plus fouffrir , que fi elles fe trou- voient dans un repos parfait. Tant qu'un corps Aij 4 A VANT-P RO P O S. fe meut d'un mouvement uniforme, qui foit le meme dans toutes les parties , leur liaifon mutuelle n'en eprouve aucun effort , quelque rapide que foit le mouvement. Ce n'eft done pas la viteffe meme , quelque grande qu'elle foit , d'ou relultent les incon- veniens dont il eft queftion ; mais leur verita- ble lburce doit etre cherchee dans l'accelera- tion ou retardation du mouvement : & e'eft de-la que naiffent les efforts que les diverfes parties d'un vaiffeau eprouvent, pour changer le mouvement quelles ont aftuellement , &: pour fuivre celui dont le vaiffeau tout entier eft porte. Un corps ne s'oppofe au mouvement, qu'en- tant qu'il eft different de celui quil a deja, &: par cette raifon auffi les parties d'un vaiffeau n'e- prouvent des efforts qu'entant qu'elles font obli- gees de changer leur etat foit de repos ou de mouvement. C'eft done de ce principe que je me propofe de rechercher les efforts auxquels les parties d'un vaiffeau font affu jetties , pendant qu'il eft agite d'une maniere quelconque ; & cette meme recherche decouvrira enfuite les moyens de determiner & de diminuer ces efforts, au- tant que les autres circonftances le permet- tent. 8. fi l . ' ' ' #»SAI ' E X A Z)t'5 efforts qn'ont a foutenir toutes Us -parties dhui vaijjeau dans le Roulis & dans le Tangage. PREMIERE PART IE. Des efforts que PafTemblage des membres eprouve des forces qaelconques dont le navire eft follicite. J. ant qu'un corps n'eft follicite par aucun force, s'il n'eft pas en repos , il fe mouvra uniiormement felon la nieme direction , on il tournera fur foi-mcme autous d'un axe", qui pafle par fon centre de gravite. 6 Recherches sur le Roulis Dans le premier cas, la liaifon des parties du corps ne fouffre rien du tout , & chacume fuit d'elle-mcme le mouvement du corps entier. Mais fi le corps tourne autour d'un axe , les parties en acquerrent tine force centrifuge , par laquelle elles s'eloigneroient adtuellement de l'axe de rotation , fi clles n'etoient pas aflez fortement liees enfemblc. Dans ce cas done , quoique le mouvement foit uni- forme, & qu'aucune force n'agifle fur le corps, la liai- fon des parties eprouve des efforts auxquels elle doic relifter , & qui font egaux aux forces centrifuges de cha- que parrie. Or on connolt tanc la quantite de ces forces que leur direction , qui eft toujours perpendiculaire a l'axe de rotation. II. Un tel mouvement de rotation fe trouve dans le rou- lis 8: le tangage , & quoiqu'il ne foit pas uniforme, on peut neanmoins determiner par la meme regie la force centrifuge de chaque partie du vaifleau , en fachant , pour chaque inftant la viteffe de rotation. Fig. i. Soit G le centre de gravite d'un vaifleau par lequel pafle l'axe , autour duquel fe fait le roulis ou le tan- gage, & qu'on concoive cet axe perpendiculaire au plan de la figure. Qu'a l'inftant prefent le mouvement de rotation foit tel , qu'a la diftance s= d de l'axe la viteffe foit due a la hauteur = u. Qu'on confidere maintenant une partie quelconque du vaifleau M, done la mafle foit = m , & la diftance a l'axe de rotation M G = f. La viteffe de rotation de cette mafle fera done due a la hauteur ^— , & partant fa force centrifuge — dd ? et le Tangage des Vaisseaux. 7 dont la maffe fera follicitee felon la direction MP op- pofee a M G. II faut done que la connexion de cette partie avec le corps du vaiiieau foic afiez forte pour foutenir cec effort. III. Cet effort eft le refultat du feul mouvement de ro~ tation , 6c ne depend point des forces a Taction def- cjuelles le vaiffe u ell alfujetti. Je m'en vais done audi determiner les efforts que les diverfes parties d'un vaiiieau eprouvent de la part des forces actuelles dont le vaiiieau eft follicite , afin que connoiffant toutes les forces qui y agiflent, on foit en etat de determiner les efforts que chaque partie en fou- tient. Alors on n'aura qu'a ajouter enfemble tous ces efforts, pour connoitre la force totale dont l'affemblage de cha- que partie elt follicite j & de-la on jugera aifement 11 l'affemblage eft fuffifant pour foutenir ces forces. Enfuite , quand on ve/ra comment ces efforts qu'e- prouvent toutes les parties d'un vaifleau dependent des forces auxquelles le vaiffeau entier eft affujetti , £c quel- les cir-onltances contribuent a les augmenter on dimi- nuer, il ne fera plus difficile de decouvrir tous les rnoyens poilibles pour adoucir les facheux effets qu'on a a craindre. IV. Pour determiner les efforts que l'affemblage des mem- bres d'un vaiffeau eprouve de la part des forces quelcon- ques qui le follicitent , je commencerai par le cas oil toutes les parties font follicitecs par des forces particu- lieres, qui foient proportionnellesaux maffes de chaque partie , 2c qui agiflent felon la meme direclion. Daus ce cas, il eft evident que toutes les parties re- S Recherches sur le Roulis ccvront le meme mouvement , foic qu'elles foient liees enfcmble, ou non j 6c partant leur aflcmblage n'eprou- vera aucun effort. Puifque la gravite agit felon cette loi cgalement fur tomes les' parties, l'aflemblage des parties dim vaiffeau n'en fouffre rien : d'ou Ton voir, qu'a l'egard des au- tres forces , la liaifon des parties n'eft mife en action qu'en tant que les forces qui follicitent feparemenc chaque partie , nc font pas proportionnelles a leurs maffes, ou qu'elles n'agiffent pas felon la meme direc- tion. V. Fie. i. Confiderons deux corps A & B, lies cnfemble par la corde ah; & dont Tun A foit follicite felon la di- rection fg par une force = P , qui ne fauroit etre mis en mouvement fans que l'autre B fut auffi entralne par Taction de la corde a 6 , dont il s'agit de determiner la force ou la tenfion. Soit cette tendon = T , laquelle tirant le corps A en arriere , celui-ci ne fera follicite que par la force P — T, pendant que l'autre B eft entralne par la force T. Done , puifque ces deux corps doivent recevoir le meme mouvement , il faut que les forces P — T foient proportionnelles aux maffes A 8c B j ou qu'il foit P : A ■+■ B = T : B i d'ou Ton trouve la tenfion cher- chee T= . • P, qui eft egale a la force , que la liaifon de ces deux corps A & B, ou la corde a b doit foutenir. S'il y avoir plufieurs corps lies enfcmble , on deter- mineroit de la meme maniere les efforts que chaque liaifon eprouve. VI. De la meme maniere > fi Ton confidere plufieurs par- ties dans les corps , on pourra determiner les forces dont ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 9 dont chacune fera follicitee. Mais cela fc trouve plus aifement par la theorie de ['acceleration qu'une force follicitante produit dans chaque partie du corps > dans cette recherche, il faut diftinguer deux cas, felon que la direction de la force pafle par le centre de gravite dti corps, ou non. Pour le premier cas , foit AB CD un vaifleau ou Fig. 3 un autre corps quclconque, done la mafle entiere foit = M i Sc que ce corps foit follicite par la force FP = P> dont la direction pafle par le centre de gravite G du corps. Cela pofe, on fait, par Ies principes de la Mecha- nique, qu'une telle force tend a imprimer a toutcs les parties du corps une egale vitefle, felon la direction de la force FP, & que l'acceleration eft exprimee par p — , en fuppofant le corps roide , de forte que les in- tervalles entre toutes fes parties foient inalterables. vi r. Concevons maintenant une partie quelconque Afdc ce corps , dont la maffe foit = mi Si puifqu'elle re- ^oit une acceleration — , felon la direction Mp paral- lele a FP, elle fera mife egalement en mouvement, que (1 elle etoit detachee du corps entier, & quelle flit follicitee a part par une force Mp =p> enforte que V P », mP - = — , & partant p = — • m M ' r * M II faut done que 1'afTemblage qui affermit cette partie au corps entier , faffe cette fonction , &: quelle en foit entrainee par la force trouvee Mp = — • Par confequent, des qu'on fait la maniere dont cette partie eft liee avec le corps entier, foit par des corda- Prix de 17}$. B io Recherches sur. le Roulis crcs ou autrement , il fera aife de determiner les efforts que la liaifon doit foutenir , pour en juger fi elle eft affez forte pour cet effet. II en eft de meme de toutes les parties dont le corps AB D C eft compofe , & par confequent on eft en etat d'afllgner tous les efForts que l'affemblage tout en- tier foutient a caufe de l'a&ion de la force FP—P. VIII. Pour fe former une idee plus jufte de ces efforts , on peut tranfporter l'acceleration felon un fens con- traire fur tout le vaiffeau, pour pouvoir fe reprefenter. le vaiffeau comme etant Sc demeurant en repos. D'ou Ton conclud que la force F P produit le meme effet fur la partie M que fi le vaiffeau demeurant en repos , cette partie etoit follicitee felon la direction ccr.trairc I? par une force — En effet, fi cette partie n'etoit pas attachee, elle feroit qua.fi pouffee en arriere felon la direction M w , relativement au vaiffeau. Cette maniere de fe reprefenter la chofe eft audi la plus propre pour nous faire connoltre 1'effort que l'af- femblage eprouve : car cet effort , par rapport a la par- tie M = m , eft le meme que s'il y avoit effe&ivement vine force M it = — , qui tendroit a arracher cette M partie du corps du vaiffeau j & des qu'une telle force F P commence a agir fur le vaifleau, toutes les parties sen reffentent de la maniere que je viens d'indiquer. IX. Tel eft l'effet d'une force dont la direction paffe par le centre de la myite du vaiffeau > mais fi la direc- ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. II tion de la force FP = P ne pane pas par le centre de gravite G , 1'efFec que chaque membre en refTent eft compofe de deux parties. La premiere partie eft la meme que fi la direction de la force paflbit par le centre de la gravite. Done , fi nous conliderons un membre quelconque M , dont la Fig. ma fie foit = m, celle du vaifleau entier etant ==M, ce membre fera follicite par une force Mp = — , dont la direction Mp eft parallele a FP. Ou bien l'afTemblage qui tient ce membre uni au vaif- feau , eprouvera le meme effort que s'il y avoit applique au membre M une force contraire 6c eeale Mir=— , M qui tendit a 1'arracher du vaifleau. Mais ce n'eft qu'une partie de 1'efrbrt que ce mem- bre M foutient a caufe de la force FP = P. X. L'autre partie doit etre deduite du mouvement de rotation que cette force tend a imprimer au corps. Pour cet effet, il faut tirer du centre de gravite G une perpendieulaire GN, fur la direction FP y & le produit P.G N donne le moment de cette force , qui tend a faire tourner le corps autour d'un axe, qui paffe par G, & qui eft perpendieulaire au plan GFP. Maintenant , par rapport a cette axe , il faut chercher le moment d'inertie du corps, lcquel fe trouve en mul- tipliant tous les elemens de matiere par le quarre de leurs diflance a l'axe de rotation , & en afTemblant tous ces produits dans une fomme. Ce moment d'inertie fera done exprime par une telle formule , Mkk, par laquelle , fi Ton divife le mo- ment de force PGN, ou aura l'acceleration abfolue P.G IV Mkk' Bij II Rechekches sur le Roulis Qu'on tire du membre M, que nous confiderons comme une mafle tres- petite a l'axe de rotation , la perpendiculaire GM, & l'acceleration rotatoire fur ce membre M fera ' — . M k k Ce membre fera done emporte par une force m. P '■ . dans le fens Mr ; ayant tire la droite Mkk > Mr perpendiculaire a MG, felon la direction du mou- vement de rotation que l'a&ion de la force FP doit produire. XI. Done , puifque le membre M , dont nous fuppofons la mafle = m, eprouve, a caufe du mouvement de ro- tation , une force m. - — '-—■ — , felon la direction Mr, Mkk e'eft en vertu de fa connexion avec le corps du vaif- feau qu'il eft emporte par cctte force egale & con- traire. L'efFet done qui en refulte fur 1'aflemblage, fera le meme que sil y avoit une esaie torce m. — > 1 ' ° Mkk acluellement appliquee au membre M, felon la direc- tion MGy oppofee a Mr, qui tacheroit de l'arracher du corps du vaifleau ; de forte que fi 1'aflemblage etoit aneanti, ce membre feroit effectivement emporte par cette force. Or cela doit s entendre de fori etat refpecl:if par rap- port au vaifleau $ car puifque le vaifleau obeit a l'a&ion de la force FP , le membre M n'en etant point en- traine , il en fera de mcHie que fi le vaifleau demcu- rant en repos , le membre M etoit follicite par ladite force. XII, Done le vaifleau etant follicite par une force quel- ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 13 conque F P = P, tous les membres en reflentent des efforts pour rompre leur union mucuelle qu'on connoi- tra, en prenant enfemble les deux forces Mir 6c MG> que nous venons de trouver. Ainfi un membre quelconque M dont la mafle foic = m exerce fur l'affemblage une force compofee de ces deux forces 5 l'une felon Mtc = m. — , & 1'autrc M felon MG=*=m. kk — , ou la direction AfTreft parallele a. F P & MG perpendiculaire a MG. Enfuite GN eft tiree du centre de gravite G per- pendiculairement fur FP, ayant mene par G l'axe de rotation, qui eft perpendiculaire au plan GFP. Aufll eft-il bon de remarquer que la droite MG eft tiree de M . non au point G, mais pcrpendiculairement a l'axe de rotation. II faut encore remarquer que la dire&ion M G perpendiculaire a M G doit etre tiree dans un plan pa- rallele au plan GFP. Enfin je confidere ici la gran- deur du membre M, coramc extremement petite, ou prefque comme un point. XIII. Si le membre M etoit d'une grandeur confiderable , la premiere des deux forces trouvees Mtc =-m. — > demeureroit bien la meme , mais l'autre doit etre trou- vee par la voie d'integration. On concevra le membre entier M partage dans (es elemens inhniment petits , & on cherchera pour cha- cun la force MG , qui lui convient tant par rapporc a la quantite qua la dire£bion , & on determinera par le calcul integral la force equivalente a toutes ces for- ces elementaires , qui fera celle qu'on doit joindre a la premiere MG, 14 Recherches sur le Roulis Mais fi le membre M eft afTez petit par rapport au vaifleau entier, on pourra bien l'envifager comme reuni dans fon centre de gravite , & cela avec d'autant plus de raifon , puifque les recherches dont il s'agit ici ne font pas fufceptibles , par leur nature, dun plus haut degre de preciiion. XIV. Si le vaiflcau eft en meme tems follicite' par plu- fieurs forces , ou on cherchera l'effet de chacune fur les divers membres , pour en conclure 1'effet total que chaqne membre en doit reflentir, ou on reduira toutes les forces follicitantes a une feule. Et c'eft par ce moyen qu'on connoitra les efforts que l'aflemblage de toutes les parties a a foutenir, le vaifleau etant follicite par des forces quelconques. Mais cela doit s'entendre feulement des parties qui ne font pas elles-memes follicitees par aucune force , etant uniquement emportees par leur union avec le corps du vaifleau. Si la queftion regarde la partie qui foutient imme- diatement l'adion de la force externe , il faut encore ajouter cette meme force a celles que nous venons de trouver ci delFus. Ainfi l'aflemblage, dont chaque partie tient au corps du vaifleau , foutient premierement les forces qui font appliquees immediatement a cette partie , &c enfuite encore les forces Mtt & MG qui refultent, felon les regies donnees de Taction, de toutes les forces qui agif- fent fur le vaifleau. XV. D'abord, toutes les parties d'un vaifleau etant ani- mees par la gravite, j'ai deja remarque que puifque la gravite fuit la raifon desroaflcs, raflemblage ne foufTrc rien de ce cote. IT LE TANGAGE DES VaISSEAUX. 15 En effec , fi le vaifleau n'etoit pas foutenu par la pref- fion de l'eau , & qu'il put libremenc tomber en-bas, il n'en refulteroit aucune force pour alterer la liaifon des membres. Mais le vaifleau etant foutenu par la force de l'eau, I'aflemblage fent bien la force de la pefanteur ; or c'eft a caufe de la force meme dont le vaifleau eft foutenu > & cet effet eft tres-conforme aux formules trouvees. Car foit F P la force de l'eau, 5c elle fera egale au poids du vaifleau, on P = M, & la direction F P fera verticale , paflant par le centre de gravite G ; d'ou G N= o, & la force M G—o. Done le membre M agira de meme fur I'aflemblage que s'il etoit follicite verticalement en bas par la force M.Tr = m > qui eft egale a fon propre poids. XVI. Ainfi tant que le vaifleau eft en repos , I'aflemblage des parties ne foutient d'autres efforts que ceux de leur gravite, a l'exception de la furface de la carene, qui eft pouflee par la predion de l'eau. De-la on pourra determiner quelle doit etre la force de I'aflemblage des membres du vaifleau, afin qu'il foit fuffifant pour refifter a ces efforts, & que la figure du vaifleau n'en foit point alteree. C'eft au defaut d'une fuffi ante force de I'aflemblage, que les vaiffeaux changent fouvent de figure , & que la quille s'arque. Comme c'eft on grand inconvenient , quoiqu'il ne regarde pas diredement la queftion propo- fee , il ne fera pas hors de propos de chercher la force que la quille d'un vaifleau a a foutenirj puifque nos principes y conduifent naturellement , & que quelques Auteurs qui ont traite cette matiere , n'ont pas lait re- flexion a toutes les circonftanccs auxquelles il faut avoir egard dans cette recherche. 16 Recherches sur le Roulis XVII. Fig. j. Concevons un vaifleau ABCD, coupe en EF ^t une feclioa verticale on perpendiculaire a la quille CD, & examinons touces les forces qui agiflent fur la partie B E F D pour la feparer, on rompre fon union du refte Jl E F C , que je conlidere comme immobile. Cette parrie B EF D eft d'abord follicitee en-bas par fa gravite , dont la direction pafle par le centre de gra- vite g de cette partie : done ii nous pofons le poids de cette partie ■= p , la verticale gxp fera la direction de cette force. Enfuite , pour avoir la force qui refultc des preiTions de l'eau fur cette partie, concevons cette partie comme feparee & fermee dans la fection EF par un plan ; 8c alors la force de l'eau la poufTera verticalement en-haut, etant egale au poids d'un volume d'eau, quieft egal a la partie fubmergee. Soit done cette force = q , &: fa direction paflera par le centre de gravite o, du volume fubmerge de cetcc partie. Done fi cette partie B EF D etoit feparee du vaifleau , elle feroit follicitee par les deux forces gp=p & oq — q, dont celle-la tireroit en-bas & celle-ci en- haut. XVIII. Mais puifque cette partie n'eft pas feparee du refte du vaifleau, & qu'elle ne foutient aucune preflion par la fettion E F, il en faut retrancher ou appliquer fous une direction contraire la force que la fection EF eprou- veroit de la preffion de l'eau. Soit done e le centre des prefllons de l'eau fur la fec- tion EF de la carene ; fi elle etoit fermee par un plan , & que la preflion totale fur ce plan fut = /-, dont la direction feroic horizontalc , l'aflcmblage en E F fou- tiendroit ET LE TaNGAGE DES VaISSEAUX. I 7 tiendroit Ie meme effort que 11 Ja panic B E F D ecoit tiree par ces trois forces : i°. gp ==/'> lP.o q = q\ & 3 . er-=r. Par confequent la qnille foutient en F ces memes forces qui tendronc a la courber ou rompre en F, en- tant que l'afiemblage des parties fuperieures n'en fou- tient pas une partie. Done le moment de ces trois forces fur le point F ttt. p. F x — q-Fy — r.Fe; & partant , fi cette ex- preffton evanouiffoit , la quille n'eprouveroit aucun ef- fort , 8c il n'y auroit point a craindre qu'elle s'arquat. XIX. Concevons la fedion E F faite par Ie milieu du vaif- feau , puifque e'eft ordinairement la que la quille rif- que le plus d'etre courbee i & dans ce cas on pourra fuppofer q =p. de forte que le moment en queftion eft alors p. x y — r. Fe. Or les extremites du vaiffeau etant ordinairement les plus pefantes, tandis que la carene eft vers ces endroits tres-mince, la force gp eft beaucoup plus eloignee du milieu que la force o q : par confequent le terme p. xy fournit un grand moment pour arquer la quille par le milieu F en-haut. Quelque inevitable que paroifTe cet inconvenient, on le pourra pourtant eviter ou diminuer. Pour cet effet on n'a qu'a faire la fection du milieu fort fpatieufe, & beaucoup plus large par en-haut qu'en- basj le premier fervant a aggrandir la force r, 8c l'au- tre a augmenter 1'intervalle Fe. Cependant les autres circonftances ne permettent pas de changer beaucoup a cet egard. Prix de 1755. i8 RECHERCHES SUR LE R.OULIS SECONDE PARTIE. Des efforts que rafTemblage des membres eprouve pendant que le vaifleau marche, fans etre aflujetti aux mouvemens de roulis & de tangage. A XX. vast que de chercher les efforts dont l'afiem- blage des membres d'un vaifleau eft agite pendant les ofcillations comprifes fous les noms de roulis & de tan- ga^e , il fera bon de determiner ceux qu'il eprouve pendant que le vaifleau marche uniformement , & que la force dont il eft poufle demeure toujours la meme, comme audi la force de la refiftance de l'eau > de forte que le vaifleau ne foit porte que d'un mouvement pro- grefllf. On diftingue ici deux cas , felon que le vaifleau marche direcfement ou obliquement : or dans 1'un 6c l'autre il n'y a que deux forces a confiderer , favoir la force mouvante & celle qui refifte. Ccs deux forces fe tiennent en equilibre , tandis que le vaifleau marche uniformement, mais fi l'une fuipafle l'autre, le mou- vement fera ou accelere ou retarde. XXI. Tant que le vaifleau marche uniformement , puifque ET LE TANGAGE DES VaiSSEAOX. 1$ les forces d'impuliion &: de refiftance fe detruifent, les membrcs du vaiffeau auxquels ces forces ne font pas immediatement appliquees , n'en fentenc aucun effet ; & par confequent ils n'agiffent fur l'affemblagc que par leur propre poids. Mais pour les membres qui recoivent immediatement Je choc ou de 1'impulfion ou de la refiftance, leur af- fcmblage foutient encore ce choc outre leur poids > d'ou il eft aife de determiner les efforts auxquels 1'af- femblaere de tous les membres du vaiffeau eft affu- jetti. Pour les efforts qui tendent a arquer la quille , le mouvement, quoiqu'il foit uniforme, y caufe quelque changemenc , d'ou leur effet eft pour (a plupart dimi- nue j car puifque la refiftance augmente la preffion de l'eau fur la proue, fi nous confiderons la partie BEFD (fig. ^.) comme la proue, la force oq devenant plus grande , il en refultera un moindre moment pour cour- ber la quille j 6c de-la vient fans doute que les vaiffeaux etant en mer font moins affujettis a fe comber que quand ils font en repos. XXII. Quand le mouvement du vaiffeau n'eft pas uniforme, ce qui arrive lorfque les forces d'impullion & de refif- tance ne font pas en equilibre , il fuftira d'examiner deux cas principaux 5 1'un, ou le vaiffeau, etant en- core en repos , recoit fubitement une impulfion j & l'autre, ou le vaiffeau ayant jufqu'ici marche unifo